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江西省南昌市2014-2015学年度高三第一轮复习训练题数学(13)(简单几何体)


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2014-2015 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数 学(十三)(简单几何体)
命题人:李玉红 学校:南昌二十三中 审题人:孙建民 学校:南昌市教研室

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,

共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 在正四棱锥 P-ABCD 中,点 P 在底面上的射影为 O,E 为 PC 的中点,则直线 AP 与 OE 的位 置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.都有可能

2.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且 C ? l,直线 AB∩l=M,过 A,B, C 三点的平面记作 γ,则 γ 与 β 的交线必通过 A.点 C 但不过点 M B.点 C 和点 M C.点 A D.点 B

3.设 a,b 为两条直线,α ,β 为两个平面,则下列结论成立的是 A.若 a? α ,b? β ,且 a∥b,则 α ∥β C.若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b B.若 a? α ,b? β ,且 a⊥b,则 α ⊥β D.若 a∥α ,b? α ,则 a∥b

4.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为

5.已知直线 l∥平面 α,a,b 是夹在直线 l 与平面 α 之间的两条线段,则 a∥b 是 a=b 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知 m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A. m / / n, m ? ? ? n ? ? C. m ? ? , m ? n ? n // ? B. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n D. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ?

7.三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 A.

1 2

B.

1 4

C.

2 3

D.

6 4

8.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 1 E,F,且 EF= ,则下列结论中错误的是 2
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A.AC⊥BE

B.EF∥平面 ABCD

C.三棱锥 ABEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 9.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折起,使面 BAC⊥面 DAC,则四 面体 ABCD 的外接球的体积为 125 A. π 12 125 B. π 9 125 C. π 6 125 D. π 3

10.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, E 是棱 DD1 的中点, F 是侧面 CDD1C1 上的动 点,且 B1 F ∥ 平面 A1 BE ,则 F 在平面 CDD1C1 的轨迹的长度是

A. 2a 题号 答案 1 2

B. 3

2a 2
4 5 6

C. a 7 8

D.

a 2
9 10

二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 11.已知下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为 .

2 主视图

左视图

俯视图

12.如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4,将△ABD 沿对角线 BD 折起到△A′BD 的位置,使点 A′在平面 BCD 内的射影点 O 恰好落 在 BC 边上,则异面直线 A′B 与 CD 所成角的大小为__________. 13.如图,长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为 V,P 是 DD1 的中 点, Q 是 AB 上的动点, 则四面体 PCDQ 的体积是__________.

14.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E,F 分别为 BC,DC 的中 点,沿 AE,EF,AF 折成一个四面体,使 B,C,D 三点重 合,则这个四面体的体积为 .

15.正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 P 在侧面 BCC 1 B 1 及其边界上运动,并且总保持 AP⊥BD 1 , 则动点 P 的轨迹 __________________

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 16.下图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC=2. (1)画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥 BCEPD 的体积.

17.如图,在几何体 PABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,AB=PA=2. (1)当 AD=2 时,求证:平面 PBD⊥平面 PAC; (2)若 PC 与 AD 所成的角为 45° ,求几何体 PABCD 的体积.

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18. 如图, 平面 ABEF⊥平面 ABCD, 四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB 1 1 =90° ,BC∥AD 且 BC= AD,BE∥AF 且 BE= AF,G,H 分别为 FA,FD 的中点. 2 2

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?

19. 如图,已知 AB ? 平面 ACD,DE∥AB,△ACD 是正三角形, AD ? DE ? 2 AB ,且 F 是 CD 的中 点. (1)求证 AF∥平面 BCE;(2)设 AB=1,求多面体 ABCDE 的体积.

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20.如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩 形, PD ? DC ? 4 , AD ? 2 ,

E 为 PC 的中点.
(1)求证: AD ? PC ; (2)求三棱锥 A ? PDE 的体积; (3) AC 边上是否存在一点 M ,使得 PA // 平面 EDM ,若存在,求出 AM 的长;若不存在,请 说明理由.

P E D A B

C

F 分别在线段 BC 和 AD 上,EF ∥ AB , 21. 如图, 矩形 ABCD 中,AB ? 3 ,BC ? 4 .E ,
将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (1)求证: NC ∥平面 MFD ; (2)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (3)求四面体 NFEC 体积的最大值.
A F D

B

E

C

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数学(十三)参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 A 6 A 7 B 8 D 9 C 10 B

二.填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分 11. 8? 12.

? 2

13.

1 V 12

14.

1 3

15.线段 B 1 C

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.解:(1)如图所示: (2)∵PD⊥平面 ABCD,PD ? 平面 PDCE, ∴平面 PDCE⊥平面 ABCD. ∵BC⊥CD,∴ BC⊥平面 PDCE. 1 1 ∵S 梯形 PDCE= (PD+EC)· DC= ×3×2=3, 2 2 1 1 ∴四棱锥 BCEPD 的体积 VBBC= ×3×2=2. CEPD= S 梯形 PDCE· 3 3 17.解:(1)证明:当 AD=2 时,四边形 ABCD 是正方形,则 BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD,∴PA⊥BD. 又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC.∵BD ? 平面 PBD, ∴平面 PBD⊥平面 PAC. (2)解:PC 与 AD 成 45° 角,AD∥BC,则∠PCB=45° .∵BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAB,PB ? 平面 PAB.∴BC⊥PB.∴∠CPB=90° -45° =45° .∴BC=PB=2 2. 1 8 2 ∴几何体 PABCD 的体积为 ×(2×2 2)×2= . 3 3 18. 解: (1)证明: ∵G, H 分别为 FA, FD 的中点, ∴GH ∴四边形 BCHG 为平行四边形.[学优] (2)解:∵BE∥AF,BC∥AD,BC∩BE=B,面 BCE∥面 AFD,∴EC∥平面 AFD. ∵DF ? 面 AFD,∴EC∥DF.∴C,D,E,F 四点共面. 19 .解: (1) 取 CE 中点 P, 连结 FP 、 BP, 点 ,∴ ∵F 为 CD 的中 1 AD.又∵BC 2 1 AD, ∴GH 2 BC.

FP//DE, 且 FP=

1 1 DE . 又 AB//DE, 且 AB= DE. 2 2

P
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∴AB//FP,且 AB=FP, ∴AF//BP

∴ABPF 为平行四边形,

又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE,

∴AF//平面 BCE (2)∵直角梯形 ABED 的面积为

1? 2 ?2 ? 3, 2

C 到平面 ABDE 的距离为

3 ?2 ? 3 , 2

∴四棱锥 C-ABDE 的体积为 V ?

1 ? 3 ? 3 ? 3 .即多面体 ABCDE 的体积为 3 . 3
又因为 ABCD 是矩形, 所以

20.解:(1)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD

AD ? CD
因为 PD

P

CD ? D , 所以 AD ? 平面 PCD .
D A M

E

又因为 PC ? 平面 PCD , 所以 AD ? PC (2)解:因为 AD ? 平面 PCD , 所以 AD 是三棱锥 A ? PDE 的高. 因为 E 为 PC 的中点,且 PD ? DC ? 4 , 所以 S ?PDE ? 所以 VA? PDE

C
B

1 1 1 S?PDC ? ? ( ? 4 ? 4) ? 4 又 AD ? 2 , 2 2 2 1 1 8 ? AD ? S ?PDE ? ? 2 ? 4 ? 3 3 3
又因为 EM ? 平面 EDM , PA ? 平面 EDM , 所以 PA // 平面 EDM

(3)取 AC 中点 M ,连结 EM , DM , 因为 E 为 PC 的中点, M 是 AC 的中点, 所以 EM / / PA . 所以 AM ?

1 AC ? 5 . 即在 AC 边上存在一点 M ,使得 PA // 平面 EDM , AM 的长为 2

5.
21. 解:(1)证明:因为四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, 所以 MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . 所以 四边形 MNCD 是平行四边形, 所以 NC ∥ MD , 因为 NC ? 平面 MFD ,所以 NC ∥平面 MFD . (2)证明:连接 ED ,设 ED

FC ? O .

因为平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF , 所以 NE ? 平面 ECDF ,所以 FC ? NE . 又 EC ? CD , 所以四边形 ECDF 为正方形,所以 FC ? ED .
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所以 FC ? 平面 NED , 所以 ND ? FC . (3)解:设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 . 由(1)得 NE ? 平面 FEC , 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ? 所以 VNFEC ?

1 1 S?EFC ? NE ? x(4 ? x) . 3 2

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2

当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大.

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