江西省南昌市2014-2015学年度高三第一轮复习训练题数学(13)(简单几何体)

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2014－2015 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数 学（十三）（简单几何体）
命题人：李玉红 学校：南昌二十三中 审题人：孙建民 学校：南昌市教研室

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 在正四棱锥 P-ABCD 中，点 P 在底面上的射影为 O，E 为 PC 的中点，则直线 AP 与 OE 的位 置关系是 A．平行 B．相交 C．异面 D．都有可能

2．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且 C ? l，直线 AB∩l＝M，过 A，B， C 三点的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必通过 A．点 C 但不过点 M B．点 C 和点 M C．点 A D．点 B

3．设 a,b 为两条直线,α ,β 为两个平面,则下列结论成立的是 A．若 a? α ,b? β ,且 a∥b,则 α ∥β C．若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b B．若 a? α ,b? β ,且 a⊥b,则 α ⊥β D．若 a∥α ,b? α ,则 a∥b

4．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为

5．已知直线 l∥平面 α，a，b 是夹在直线 l 与平面 α 之间的两条线段，则 a∥b 是 a＝b 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知 m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A． m / / n, m ? ? ? n ? ? C． m ? ? , m ? n ? n // ? B． ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n D． m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ?

7．三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 A．

1 2

B．

1 4

C．

2 3

D．

6 4

8．如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 1 E，F，且 EF＝ ，则下列结论中错误的是 2
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A．AC⊥BE

B．EF∥平面 ABCD

C．三棱锥 ABEF 的体积为定值 D．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 9．矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，沿 AC 将矩形 ABCD 折起，使面 BAC⊥面 DAC，则四 面体 ABCD 的外接球的体积为 125 A. π 12 125 B. π 9 125 C. π 6 125 D. π 3

10．在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, E 是棱 DD1 的中点, F 是侧面 CDD1C1 上的动 点,且 B1 F ∥ 平面 A1 BE ,则 F 在平面 CDD1C1 的轨迹的长度是

A． 2a 题号 答案 1 2

B． 3

2a 2
4 5 6

C． a 7 8

D．

a 2
9 10

二、填空题：本大题共 5 小题；每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中的横线上。 11．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 .

2 主视图

左视图

俯视图

12．如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝4，将△ABD 沿对角线 BD 折起到△A′BD 的位置，使点 A′在平面 BCD 内的射影点 O 恰好落 在 BC 边上，则异面直线 A′B 与 CD 所成角的大小为__________． 13．如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为 V，P 是 DD1 的中 点， Q 是 AB 上的动点， 则四面体 PCDQ 的体积是__________．

14．已知正方形 ABCD 的边长为 2，E，F 分别为 BC，DC 的中 点，沿 AE，EF，AF 折成一个四面体，使 B，C，D 三点重 合，则这个四面体的体积为 .

15．正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 在侧面 BCC 1 B 1 及其边界上运动，并且总保持 AP⊥BD 1 , 则动点 P 的轨迹 __________________

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三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。 16．下图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD，EC∥PD，且 PD＝AD＝2EC＝2. (1)画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥 BCEPD 的体积．

17．如图，在几何体 PABCD 中，四边形 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，AB＝PA＝2. (1)当 AD＝2 时，求证：平面 PBD⊥平面 PAC； (2)若 PC 与 AD 所成的角为 45° ，求几何体 PABCD 的体积．

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18． 如图， 平面 ABEF⊥平面 ABCD， 四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形， ∠BAD＝∠FAB 1 1 ＝90° ，BC∥AD 且 BC＝ AD，BE∥AF 且 BE＝ AF，G，H 分别为 FA，FD 的中点． 2 2

(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？

19． 如图,已知 AB ? 平面 ACD,DE∥AB,△ACD 是正三角形, AD ? DE ? 2 AB ,且 F 是 CD 的中 点. (1)求证 AF∥平面 BCE;(2)设 AB=1,求多面体 ABCDE 的体积.

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20．如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩 形, PD ? DC ? 4 , AD ? 2 ,

E 为 PC 的中点.
(1)求证: AD ? PC ; (2)求三棱锥 A ? PDE 的体积; (3) AC 边上是否存在一点 M ,使得 PA // 平面 EDM ,若存在,求出 AM 的长;若不存在,请 说明理由.

P E D A B

C

F 分别在线段 BC 和 AD 上，EF ∥ AB ， 21. 如图， 矩形 ABCD 中，AB ? 3 ，BC ? 4 ．E ，
将矩形 ABEF 沿 EF 折起．记折起后的矩形为 MNEF ，且平面 MNEF ? 平面 ECDF ． （1）求证： NC ∥平面 MFD ； （2）若 EC ? 3 ，求证： ND ? FC ； （3）求四面体 NFEC 体积的最大值．
A F D

B

E

C

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数学(十三)参考答案
一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 A 6 A 7 B 8 D 9 C 10 B

二.填空题：本大题共 5 小题；每小题 5 分，共 25 分 11． 8? 12．

? 2

13．

1 V 12

14．

1 3

15．线段 B 1 C

三.解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 16．解：(1)如图所示： (2)∵PD⊥平面 ABCD，PD ? 平面 PDCE， ∴平面 PDCE⊥平面 ABCD. ∵BC⊥CD，∴ BC⊥平面 PDCE. 1 1 ∵S 梯形 PDCE＝ (PD＋EC)· DC＝ ×3×2＝3， 2 2 1 1 ∴四棱锥 BCEPD 的体积 VBBC＝ ×3×2＝2. CEPD＝ S 梯形 PDCE· 3 3 17．解：(1)证明：当 AD＝2 时，四边形 ABCD 是正方形，则 BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD，BD ? 平面 ABCD，∴PA⊥BD. 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC.∵BD ? 平面 PBD， ∴平面 PBD⊥平面 PAC. (2)解：PC 与 AD 成 45° 角，AD∥BC，则∠PCB＝45° .∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A， ∴BC⊥平面 PAB，PB ? 平面 PAB.∴BC⊥PB.∴∠CPB＝90° －45° ＝45° .∴BC＝PB＝2 2. 1 8 2 ∴几何体 PABCD 的体积为 ×(2×2 2)×2＝ . 3 3 18． 解： (1)证明： ∵G， H 分别为 FA， FD 的中点， ∴GH ∴四边形 BCHG 为平行四边形．[学优] (2)解：∵BE∥AF，BC∥AD，BC∩BE＝B，面 BCE∥面 AFD，∴EC∥平面 AFD. ∵DF ? 面 AFD，∴EC∥DF.∴C，D，E，F 四点共面． 19 ．解： (1) 取 CE 中点 P, 连结 FP 、 BP, 点 ,∴ ∵F 为 CD 的中 1 AD.又∵BC 2 1 AD， ∴GH 2 BC.

FP//DE, 且 FP=

1 1 DE . 又 AB//DE, 且 AB= DE. 2 2

P
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∴AB//FP,且 AB=FP, ∴AF//BP

∴ABPF 为平行四边形,

又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE,

∴AF//平面 BCE (2)∵直角梯形 ABED 的面积为

1? 2 ?2 ? 3, 2

C 到平面 ABDE 的距离为

3 ?2 ? 3 , 2

∴四棱锥 C-ABDE 的体积为 V ?

1 ? 3 ? 3 ? 3 .即多面体 ABCDE 的体积为 3 . 3
又因为 ABCD 是矩形, 所以

20．解：(1)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD

AD ? CD
因为 PD

P

CD ? D , 所以 AD ? 平面 PCD .
D A M

E

又因为 PC ? 平面 PCD , 所以 AD ? PC (2)解:因为 AD ? 平面 PCD , 所以 AD 是三棱锥 A ? PDE 的高. 因为 E 为 PC 的中点,且 PD ? DC ? 4 , 所以 S ?PDE ? 所以 VA? PDE

C
B

1 1 1 S?PDC ? ? ( ? 4 ? 4) ? 4 又 AD ? 2 , 2 2 2 1 1 8 ? AD ? S ?PDE ? ? 2 ? 4 ? 3 3 3
又因为 EM ? 平面 EDM , PA ? 平面 EDM , 所以 PA // 平面 EDM

(3)取 AC 中点 M ,连结 EM , DM , 因为 E 为 PC 的中点, M 是 AC 的中点, 所以 EM / / PA . 所以 AM ?

1 AC ? 5 . 即在 AC 边上存在一点 M ,使得 PA // 平面 EDM , AM 的长为 2

5.
21. 解：（1）证明：因为四边形 MNEF ， EFDC 都是矩形， 所以 MN ∥ EF ∥ CD ， MN ? EF ? CD ． 所以 四边形 MNCD 是平行四边形， 所以 NC ∥ MD ， 因为 NC ? 平面 MFD ，所以 NC ∥平面 MFD ． （2）证明：连接 ED ，设 ED

FC ? O ．

因为平面 MNEF ? 平面 ECDF ，且 NE ? EF ， 所以 NE ? 平面 ECDF ,所以 FC ? NE ． 又 EC ? CD ， 所以四边形 ECDF 为正方形，所以 FC ? ED ．
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所以 FC ? 平面 NED ， 所以 ND ? FC ． （3）解：设 NE ? x ，则 EC ? 4 ? x ，其中 0 ? x ? 4 ． 由（1）得 NE ? 平面 FEC ， 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ? 所以 VNFEC ?

1 1 S?EFC ? NE ? x(4 ? x) ． 3 2

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2． 2 2

当且仅当 x ? 4 ? x ，即 x ? 2 时，四面体 NFEC 的体积最大．

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