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2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案


2013 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题
一、填空题(每小题 8 分,满分 64 分) 1、已知 sin ? ? cos ? ,cos ? ? sin 2? ,则 sin 2 ? ? cos 2 ? ? _______.

2、不等式 x ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? x 的解集为_________.解: (??, ?1) ?

(2, ??).
6 3 2

3、已知

(

表示不超 过 x 的最大整数),设方程
2

1 ? 2012 x ? { x} 的两 2013

个不同实数解为 x1 , x2 ,则 2013 ? ( x1 ? x2 ) ? __________.解:

4、在平面直角坐标系中,设点 A( x, y )( x, y ? N ) ,一只虫子从原点 O 出发,沿 x 轴
*

正方向或 y 轴正方向爬行(该虫子只能在整点处改变爬行方向),到达终点 A 的不同路线 数目记为 f ( x, y ) . 则 f (n, 2) ? _______.解:

1 (n ? 1)( n ? 2). 2

5、将一只小球放入一个长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点 P 到 这三个面的距离分别为 4、5、5,则这只小球的半径为___________.解:3 或 11.

6、将

2013 n ?1 表示成两个 (n ? N * ) 型分数的乘积的不同方法数是________.(其中 2012 n

ab 与 ba 是同一种表示方法)解:24.

7、设 E 为正方形 ABCD 边 AB 的中点,分别在边 AD、BC 上任取两点 P、Q,则∠PEQ 为锐角的概率为__________.解:

3 ? ln 4 . 4

8、已知实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根,则使得
2

(a ? b)2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ? ra 2 9 成立的正实数 r 的最大值为____________.解: rmax ? . 8

二、解答题(第一道小题满分 16 分,后两道小题每题满分 20 分) 9 、 已 知 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , a1 ? 1, a2 ? 3 , 且 对 任 意 n ? N * , 都 有
2 an?1 ? an an ? 2 ? 2 .问:是否存在常数 ? ,使得 an ? an? 2 ? ? an?1 对任意 n ? N * 都成立?

2 解:在 an ?1 ? an an ? 2 ? 2 中,令 n ? 1 ,得 a3 ? 7.

若存在常数 ? 使得 an ? an ? 2 ? ? an ?1 ,则 a1 ? a3 ? ? a2 ? ? ? .
2 2 * ∵ an ?1 ? an an ? 2 ? 2 ,∴ an ? an ?1an ?1 ? 2(n ? 2, n ? N ) .
2 2 2 2 ∴ an ?1 ? an ? an an ? 2 ? an ?1an ?1 ? an ?1 ? an ?1an ?1 ? an ? an an ? 2 .

8 3

由于 an ? 0 ,上式两边同除以 an an ?1 ,得 所以,

an ?1 ? an ?1 an ? an ? 2 ? (n ? 2). an an ?1

an ? an ? 2 an ?1 ? an ?1 a ? a3 8 ? ??? 1 ? . an ?1 an a2 3

即存在常数 ? ?

8 ,使得 an ? an ? 2 ? ? an ?1 对任意 n ? N * 都成立. 3
x2 6 6 ,0), D( ,0) ,设 A,B,M 是椭圆 ? y 2 ? 1 上三点,满足 4 2 2

10、已知两点 C (?

???? 3 ??? 4 ??? ? ? ? OM ? OA ? OB ,点 N 为线段 AB 的中点,求 | NC | ? | ND | 的值. 5 5
解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 由 OM ?
2 x12 x2 2 2 ? y1 ? 1, ? y2 ? 1. 4 4



???? ?

? ? 3 ??? 4 ??? 3 4 3 4 OA ? OB ,得 M ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 5 5 5 5 5 5

∵M 在椭圆

3 4 ( x ? x )2 x2 3 4 ? y 2 ? 1 上, 5 1 5 2 ? ? ( y1 ? y2 )2 ? 1. 4 4 5 5
x1 x2 ? y1 y2 ? 0. 4
x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2



综合①②得,

又线段 AB 的中点为 N (

x1 ? x2 2 ) 2 y1 ? y2 2 1 x12 1 x2 1 xx ∴ 2 2 2 ?( ) ? ( ? y1 ) ? ( ? y2 ) ? ( 1 2 ? y1 y2 ) 4 2 4 4 4 4 2 4 (
?
上式表明,点 N 在椭圆

1 1 1 ? ? . 4 4 2

x2 6 6 ? 2 y 2 ? 1 上,且该椭圆两焦点恰为 C (? ,0), D( ,0) 两点. 2 2 2

所以,由椭圆定义有 | NC | ? | ND |? 2 2. 11、 已知 m ? n(m, n ? N ) , 两个有限正整数集合 A, B 满足: A |?| B |? n,| A ? B |? m |
*

? ( 这 里 用 | X | 表 示 集 合 X 的 元 素 个 数 ) . 平 面 向 量 集 {uk , k? A

?

B满 足 }

?u
i? A

?
i

?

?u
j?B

?
j

? 1 . 证明:

k ? A? B

?

? | uk |2 ?

2 . m?n

证明:不妨设 A ? {1, 2,?, n}, B ? {n ? m ? 1, n ? m ? 2,?, 2n ? m}. 令 a1 ? a2 ? ? ? an?m ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 n ?m ? 1,

an?m?1 ? an?m? 2 ? ? ? an ? 4.
由柯西不等式,

2n?m

注意到 从而,

?a
i ?1

i

? 2(n ? m) ? 4m ? 2(n ? m). 2 . m?n

k ? A? B

?

2n?m ? ? | uk |2 ? ? | ui2 | ? i ?1


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