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2014届高考理数二轮专题复习权威课件(新课标通用)第1讲 集合与常用逻辑用语、复数


专题一

突破高考客观题常考问题

第1讲 第2讲 第3讲 式定理

集合与常用逻辑用语、复数 平面向量与算法初步、推理与证明 不等式、线性规划、计数原理与二项

核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第1讲

r />集合与常用逻辑用语、 复数

第1讲
核 心 知 识 聚 焦

集合与常用逻辑用语、复数

—— 体验高考 —— 1.[2012· 新课标全国卷改编] 已知集合A={1,2,3,4},B= {(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}, ① 则B中 所含元素的个数 为 ____________. [答案] 6
[解析] 由题意得,当x=4时,y =3,2,1,共3种情形;当x=3时,y =2,1,共2种情形;当x=2时,y= 1,共1种情形,共计6种可能,所以集 合B中的元素个数为6.

——主干知识 ——
? 集合的概 念与表示 关键词:概 念、表示、元素的 性质、元素与集合 关系,如①.

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第1讲
核 心 知 识 聚 焦

集合与常用逻辑用语、复数

—— 体验高考 ——
2.[2010· 浙江卷改编] 设 P= {x︱x<4},Q={x︱x2<4},则 P,Q ② 之间的 关系 是____________.
[答案] Q?P.

——主干知识 ——
? 集合间的 基本关系 关键词: 子集、 相等、空集,如②.

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第1讲
核 心 知 识 聚 焦

集合与常用逻辑用语、复数

—— 体验高考 —— 3.[2013· 北京卷改编] 集合 A ={-1,0,1},B={x|-1≤x<1}, 则 A∩B③= ________.
[答案] {-1,0}
[解析] 集合 B 中含有整数-1, 0,故 A∩B={-1,0}. 4.[2012· 广东卷改编] 全集 U ={1,2,3,4,5,6},M={1,2, 4},则 ?UM④= ________.

——主干知识 ——
? 集合的运 算 关键词: 交集、 并集,如③.全集、 补集,如④.

[答案] {3,5,6}.
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第1讲
核 心 知 识 聚 焦

集合与常用逻辑用语、复数

—— 体验高考 —— 5. [2013· 福建卷改编] 若集合 A = {1 , a} , B = {1 , 2 , 3} , 则 “a=3”是“A?B”⑤ 的 ________ 条件.
[答案] 充分不必要条件
[解析] 当a=3时,A={1,3},A ?B;当A?B时,a=2或a=3,故为 充分不必要条件.

——主干知识 ——
? 充要条件 关键词:充要 条件与集合的关 系、含参问题,如 ⑤.

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第1讲
核 心 知 识 聚 焦

集合与常用逻辑用语、复数

—— 体验高考 —— 6. [2013· 四川卷改编] 设 x∈Z, 集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数 集.若命题 p:?x∈A,2x∈B,则
是________.

——主干知识 ——
? 量词 关键词:任 意、存在、全称命 题、特称命题、命 题的否定.如⑥.

[答案] ?x∈A,2x?B.

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第1讲
核 心 知 识 聚 焦

集合与常用逻辑用语、复数

—— 体验高考 —— 7.[2013· 安徽卷改编] 设i为虚 数单位,z是z复数的共轭复数.若 z·zi+2=2z⑦ ,则z=________.

——主干知识 ——
? 复数 关键词:虚数 单位、共轭复数、 复数运算.如⑦.

[答案] 1+i
[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则 z=a-bi.因为z· zi+2=2z,所以2+(a2 +b2)i=2a+2bi.根据复数相等的充要 条件得2=2a,a2+b2=2b,解得a= 1,b=1,故z=1+i.
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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

—— 基础知识必备 ——

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

—— 基础知识必备 ——

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

? 考向一 高考中集合常见问题 考向:元素的性质、集合之间的关系与运算、集合 与不等式解法的综合.
命 题 考 向 探 究

例 1 (1)若集合 ,B={x|x2<2x},则 A∩B=( ) A.{x|0<x<1} B.{x|0≤x<1} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1} (2)已知集合 A={0,1},B={y|y2=1-x2,x∈A}, 则 A∪B 的子集的个数为( ) A.4 B.7 C.8 D.16

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

[答案] (1)A (2)C
[ 解 析 ] (1) 集 合 = {x|0≤x<1} , B = {x|x2<2x}={x|0<x<2},所以 A∩B={x|0<x<1}.(2)当 x= 0 时,可得 y=± 1,当 x=1 时,可得 y=0,故 A∪B={0, 1,-1},其子集的个数是 23=8.

命 题 考 向 探 究

小结:在涉及到方程解集、不等式的解集的集合问题 中,要先求出集合,然后再按照集合的运算规律进行 计算;在列举集合的元素时要注意集合元素的性质, 特别是集合元素的互异性.

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

命 题 考 向 探 究

变式题 (1)集合 P={x∈Z|0≤x<2},M={x∈Z|x2 ≤4},则 P∩M 等于( ) A.{1} B.{0,1} C.[0,2) D.[0,2] (2)已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∩B= B,则 m 等于( ) A.0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

[答案] (1)B (2)B

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)集合P{0,1},集合M={-2,-1,0, 1,2},所以P∩M={0,1}.(2)A∪B=B?B?A.所以m =3或m= m,但m≠1,解得m=0或3.

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

命 题 考 向 探 究

? 考向二 高考中常用逻辑用语常见问题 考向:充要条件的判断、含有逻辑连接词的命题真假的 判断、全称命题和特称命题. 例2 (1) 已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a= 3”是“A?B”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

(2)[2013· 湖北卷] 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各 跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在 指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范 围”可表示为( )
命 题 考 向 探 究

A.(綈p)∨(綈q) C.(綈p)∧(綈q)

B.p∨(綈q) D.p∨q

[答案] (1) A (2)A

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

命 题 考 向 探 究

[解析] (1) 当a=3时,A={1,3},A?B;当A?B 时,a=2或a=3,故选A. (2)“至少一位学员没降落在 指定区域”即为“甲没降落在指定区域或乙没降落在指 定区域”,故选A. 小结:充要条件的判断实际上就是从正反两个方面 判断命题的真假,注意利用集合与充要条件的关系判断 充要条件;“或”、“且”、“非”类似集合中的 “并”、“交”、“补”;全称命题的否定是特称命 题,特称命题的否定是全称命题.

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

变式题 (1)设集合

? ?1 P=?x∈R? x ? ?

? ? ≥1,Q={x∈R|ln(1- ?

命 题 考 向 探 究

x)≤0},则“x∈P”是“x∈Q”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.必要条件 D.既不充分也不必要条件 π (2)设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 2 ,命题 π q:函数 y=cos x 的图像关于直线 x= 2 对称,则下列的判 断正确的是( ) A.p 为真 B. 为假 C.p∧q 为假 D.p∨q 为真

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

[答案] (1)D

(2)C

命 题 考 向 探 究

x-1 1 [解析] (1)不等式 x ≥1,即 x ≤0,解得0<x≤1,所 以集合P={x|0<x≤1};不等式ln(1-x)≤1,即0<1- x≤1,解得0≤x<1,所以集合Q={x|0≤x<1}.由于集合 P,Q互不包含,所以“x∈P”是“x∈Q”的既不充分也 不必要条件.(2)命题p和命题q均为假命题,故选C.

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

? 考向三 复数的概念与运算 考向:复数的概念、复数的运算、复数的几何意 义.
命 题 考 向 探 究

例3 (1)若复数z满足:z+1=(z-1)i,则复数z的共 轭复数z=( ) A.-i B.i C.1-i D.1+i (2)定义运算(a*b)· (c*d)=ad-bc,复数z满足 (z*1)· (i*i)=1+i,则复数z在复平面内对应点P的坐标为 ________.

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

[答案] (1)B

(2)(2,-1)

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)设z=a+bi,因为z+1=(z-1)i,所以a+bi +1=(a+bi-1)i,即a+1+bi=-b+(a-1)i,则 ?a+1=-b, ? ? 解得a=0,b=-1,即z=-i,所以复数z的 ?a-1=b, ? 共轭复数z=i.(2)设z=a+bi,则(z*1)· (i*i)=z· i-i=(a+ bi)i-i=-b+(a-1)i=1+i,即a=2,b=-1,所以z在 复平面内对应点P的坐标为(2,-1).

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

方法指导

1.复数中的常用结论

(1)对于实数 a,b,有|a|=|b|?a2=b2,但对于不全是 实数的两个复数,上述关系不成立;
命 题 考 向 探 究

(2)对于任意复数 z,有 (3)两个复数不能比较大小, 如果给出的两个形式上的 复数具有大小关系,则说明它们都是实数.

小结:复数的一般形式是z=a+bi(a,b∈R),在含有 复数的方程中,只要设出复数的一般形式,再根据复数相 等的充要条件,就把问题转化为关于实数的方程组问题, 即复数问题实数化.

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

命 题 考 向 探 究

i-2 变式题 (1)已知 i 为虚数单位,则复数 =( ) 1+2i A.i B.-i 4 3 4 3 C.-5-5i D.-5+5i (2)若复数 z=(a2+2a-3)+(a-1)i(i 为虚数单位)为纯 虚数,则实数 a 的值为( ) A.-3 B.-3 或 1 C.3 或-1 D.1

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

[答案] (1)A

(2)A

命 题 考 向 探 究

i-2 (i-2)(1-2i) 5i [解析] (1) = = 5 =i.(2)若复 1+2i (1+2i)(1-2i) ?a2+2a-3=0, ? 2 数z=(a +2a-3)+(a-1)i为纯虚数? ? 解 ?a-1≠0, ? 得a=-3.

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

—— 创新意识 ——
[灵活使用集合语言解答集合问题] 1.高考对集合的考查主要是集合的运算,以 考查交集为主. 2.集合运算的难点是使用描述法形式给出的 集合,要明白集合是数集还是点集,代表元素的属 性是怎样的.一般会涉及解方程、解不等式等. 3.在集合运算中,注意集合语言的转换,即 文字语言、符号语言、图形语言三者之间的互相转 化.特别是图形语言中,常使用Venn图、数轴、几 何图形等处理集合问题,使得集合运算简洁、直 观.

命 题 立 意 追 溯

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

示例

[2012· 重庆卷] 设平面点集A=(x,y)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

)(y-

1 2 2 x)· x ≥0,B= (x,y)|(x-1) +(y-1) ≤1 ,则A y- ∩B所表示的平面图形的面积为( ) π 3 3 4 A. π B. π C. π D. 4 5 7 2

命 题 立 意 追 溯

图1-1-1

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

命 题 立 意 追 溯

[解析] D 平面点集A表示的平面区域就是不等式 ?y-x≥0, ?y-x≤0, ? ? 组? 1 与? 1 表示的两块平面区域,而平 ?y-x ≥0 ?y-x ≤0 ? ? 面点集B表示的平面区域为以点(1,1)为圆心,以1为半 径的圆及圆的内部,作出它们所示的平面区域,如图所 示,图中的阴影部分就是A∩B所表示的平面图形.由 1 于圆和曲线y= x 关于直线y=x对称,因此阴影部分所表 π 1 示的图形面积为圆面积的2,即为 2 .

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

命 题 立 意 追 溯

小结:本题考查抽象概括数学语言的能力,数学语 言的考查体现在文字语言—符号语言—图形语言三者之 间的互相之 ? 1? 间的转化.条件1:(y-x) ?y- x ? ≥0(符号语言)—— ? ? 不等式的解集(文字语言)——平面坐标系中平面区域表 示(图形语言);条件2同条件1;结论:A∩B(符号语 言)——表示条件1与条件2图形的公共点(文字语言)—— 平面坐标系中平面区域表示(图形语言).

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

跟踪练 (1)设全集是实数集, M={x||x-1|>x-1}, N ={x|y=2 2x-x2}, 则图 1-1-1 中阴影部分表示的集 合是( ) 图 1-1-2 B.{x|0≤x≤2} D.{x|x<0}

命 题 立 意 追 溯

A.{x|1<x≤2} C.{x|1≤x≤2} (2)设集合 ?m A=(x,y)? 2 ≤(x-2)2+y2≤m2,x,y∈R, ? B={(x, y)|2m≤x+y≤2m+1, y∈R}, A∩B≠ x, 若 ?,则实数 m 的取值范围是________.
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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

[答案] (1)C

?1 (2)?2,2+ ?

? 2? ?

16 [解析] (1)1+ =(1-i)6=[(1-i)2]3=(-2i)3= i 8i. 3+i 3 (2) z= +i =|1- 3 i|+i3=2-i,故z的共 i 轭复数为2+i.
命 题 立 意 追 溯
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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

—— 教师备用例题 ——
[备选理由]例 1、例 2 从知识的横向联系上处理集合 问题,可以考向 1 中使用,例 3 是常用逻辑用语的内部综 合,可作为逻辑用语的总结之用。


N ? ?(

B ? ?( x, y ) ?1 ? x ? 1, ?1 ? y ? 1?
1

1.


x,


?


y) 2



A ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1

?

?

, 合


? x


1



,? 表x示 的 ? 2

?x

区域的面积是



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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

[答案] 12 ? ?

2 2 [ 解 析 ] x1 ? x ? x2 , y1 ? y ? y2 代 入 x1 ? y1 ? 1 , 得

( x ? x2 ) 2 ? ( y ? y2 ) 2 ? 1 ,其中圆心在区域 ?( x, y) ?1 ? x ? 1, ?1 ? y ? 1? 内变

动,变动过程中形成如图所示的平面区域,这个区域含有原有 的正方形区域,以及四个四分之一圆形区域,四个边长为 2,1 的 矩形其余,故其面积是 4 ? 4 ? 2 ?1 ? ? ? 12 ? ? 。

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

例 2 集合 U={(x, y)|x∈R, y∈R}, M={(x, y)||x|+|y|<a}, P={(x,y)|y=f(x)},现给出下列函数:①y=ax;②y=logax; ③y=sin(x+a);④y=cos ax.若 0<a<1 时,恒有 P∩(?UM)=P, 则所有满足条件的函数 f(x)的编号是________.

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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数
[答案] ①②④

[解析] 集合 U 为坐标平面上的所有点组成的集合,集合 M 为坐标平面上的一个正方形区域, 集合 P 是函数图像上的点 组成的集合.P∩(?UM)=P 等价于 P∩M=?,如图 1-1-2 所 示,由于 y=ax(0<a<1)的图像单调递减且过点(0,1),故其图 像与区域 M 无公共点;同理 y=logax(0<a<1)的图像也与区域 M 无公共点;函数 y=sin(x+a)的图像与 y 轴的交点坐标是(0, sin a),当 0<a<1 时,sin a<a,所以函数 y=sin(x+a)的图像与 区域 M 存在公共点;函数 y=cos ax 的图像与 x 轴的交点中离 区域 M
? ? ? ? π ? ? ?π 最接近的两个交点的坐标是?- ,0?,? ,0?, ? 2a 2a ? ? ? ?
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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数

π π-2a2 由于 -a= >0,故两个点不在区域 M 内,函数 2a 2a y=cos ax 的图像与 y 轴的交点坐标为(0,1),这个点也不在区 域 M 内,结合余弦函数图像的特征可知函数 y=cos ax 的图像 与区域 M 无公共点.

图 1-1-2
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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数
例 3 给出下列说法: π 1 ①命题“若 α= ,则 sin α = ”的否命题是假命题; 6 2

②p:?x0∈R,sin x0>1,则綈 p:?x∈R,sin x≤1; π ③“φ = 2 +2kπ (k∈Z)”是“函数 y=sin(2x+φ)为偶函 数”的充要条件; ? π? 1 ? ? ④命题 p:“?x∈?0, ?,使 sin x+cos x= ” ,命题 q: 2 2? ? “在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B”,那么命题(綈 p)∧q 为真命题. 其中正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1
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第1讲

集合与常用逻辑用语、复数
π 1 ①中命题的否命题是“若 α≠ 6 ,则 sin α≠2” ,

[解析] B

5π 1 这个命题是假命题,如 α= 6 时 sin α=2,故说法①正确;根据 对含有量词的命题的否定方法,说法②正确;y=sin(2x+φ)为偶
? π π? 函数的充要条件是φ=kπ+ 2 (k∈Z), 说法③不正确; x∈?0, ? 当 ? ? 2? ?

时恒有 sin x+cos x>1,故命题 p 为假命题,綈 p 为真命题,根据 正弦定理 sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B,命题 q 为真 命题,故(綈 p)∧q 为真命题,说法④正确.

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