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第9讲 直线的交点坐标与距离公式(理)


第 9 讲 直线的交点坐标与距离公式(理)
一、知识点 1.两条直线的交点

2.三种距离 点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 |P1P2|= ?x2-x1? +?y2-y1?
2 2

d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的 距离

d=

|C1-C2|

A2+B2

3.方法规律 (1)经过两条直线交点的直线方程的设法 经过两相交直线 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y +C2)=0(这个直线系方程中不包括直线 A2x+B2y+C2=0)或 m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0. (2)关于中心对称问题的处理方法: ? ?x=2a-x1, ①若点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于 P(a,b)对称,则由中点坐标公式得? ?y=2b-y1. ? ②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点 对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 l1∥l2,由点斜式得到所求直线 方程. (3)关于轴对称问题的处理方法: ①点关于直线的对称 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对 称 , 则 线 段 P1P2 的 中 点 在 l 上 , 而 且 连 接 P1P2 的 直 线 垂 直 于 l , 由 方 程 组

?x +x ?+B?y +y ?+C=0, ? ? ? ? ?A? ? 2 ? ? 2 ? ?y -y ? A? - ?=-1, ? ?x -x ·? ? B?
1 2 1 2 2 2 1 1

可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2,y2)(其中 B≠0,x1≠x2).

②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知 直线与对称轴平行. 二、例题
1

1 [例 1]已知直线 l1:2x+3y+8=0,l2:x-y-1=0,l3:x+ky+k+ =0,分别求满足下列条件的 k 的值: 2 (1)l1,l2,l3 相交于一点;(2)l1,l2,l3 围成三角形.

[例 2]直线 y=2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线,若点 A(-4,2),B(3,1),求点 C 的坐标.

[例 3]在△OAB 中,O 为坐标原点,A(1,cos θ ),B(sin θ ,1),则△OAB 的面积的取值范围是( ?1 3? ?1 3? ?1 3? A.(0,1] B.? , ? C.? , ? D.? , ? ?2 2? ?4 2? ?4 4?

)

[例 4]若动点 A、B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的 最小值为( ) A.3 2 B.2 2 C.3 3 D.4 2

[例 5]若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可 以是:①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°.其中正确答案的是________(写出所有正确答案的序号).

[例 6]已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a ).若△OAB 为直角三角形,则必有( ) 1 1? 1 3 3 ? ? 3 3 3 ? 3 A.b=a B.b=a + C.(b-a )?b-a - ?=0 D.|b-a |+?b-a - ?=0

3

a

?

a?

?

a?

2



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