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第六章 第3讲 等比数列及其前n项和


第3讲 等比数列及其前n项和

抓住3个考点

突破4个考向

揭秘3年高考

考点自测
1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,且4a1,2a2,a3 成等差数列,则S4=________.
解析 设数列{an}的公比为 q,则 4a2=4a1+a3,∴4a1q=

r />4 1 - 2 4a1+a1q2,即 q2-4q+4=0,∴q=2.∴S4= =15. 1-2

答案

15

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2.已知三数x+log272,x+log92,x+ log32成等比数列, 则公比为________.
解析 因 为 (x + log92)2 = (x + log272)(x + log32) , 所 以 1 x=- log3 2, 4

? ?2 ? ? 1 1 ?x+ log32? =?x+ log32?(x+log32),解得 2 3 ? ? ? ?

x+log32 x-4x 所以公比 q= = =3. x+log92 x-2x

答案

3

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3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等 比数列,且a+3b+c=10,则a=________.
解析 由 c,a,b 成等比数列可将公比记为 q,三个实数 a,b,c,待定为 cq,cq2,c.由实数 a、b、c 成等差数列 得 2b=a+c,即 2cq2=cq+c,又等比数列中 c≠0,所以 1 2q -q-1=0,解得 q=1(舍去)或 q=- ,又 a+3b+c 2
2

a 5 =a+3aq+q=- a=10,所以 a=-4. 2

答案

-4

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1 4. (2012· 南京学情调研)在等比数列{an}中, 若 a1= , a =-4, 2 4 则|a1|+|a2|+…+|a6|=________.

解析

1 3 由题意, 得-4= · q, 所以 q=-2, 从而|a1|+|a2| 2

1 63 +…+|a6|= +1+2+4+8+16= . 2 2 63 答案 2

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5.(2012· 苏北四市调研(一))在等比数列{an}中,已知 a1+a2 1 = ,a3+a4=1,则 a7+a8+a9+a10=________. 2 1 解析 a1+a2=a1+a1q= ,a3+a4=a1q2+a1q3=1,∴q2 2
=2, a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4)q
6

?1 ? 3 =?2+1?· 2 =12. ? ?

答案

12

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考点梳理
1.等比数列的定义及通项公式
(1)等比数列的定义:如果一个数列从第二项起,每一项与

同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比 前一项的比等于____________
数列, 这个常数叫做等比数列的公比, 通常用字母 q 表示, an+1 q (n∈N*). 定义的表达式为 a =___ n

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(2)等比中项:如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a

± ab (ab>0). 与 b 的等比中项, 且 G=_______ 在等比数列中,
从第二项起每一项(有穷数列最后一项除外)都是它前一项

an-1· an+1 (n∈N*且 n≥2). 与后一项的等比中项, 即 a2 n=__________
(3)等比数列的通项公式: 若等比数列的首项为 a1, 公比为

a1qn-1 ,若已知第 m 项 am 和公比 q,则 an q,则 an=________ amqn-m . =________
(4)等比数列的公比公式:q
n-1

an an n- m = 或 q =a . a1 m
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2.等比数列的常用性质 qn-m (n,m∈N+). (1)通项公式的推广:an=am· _______ (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+), ak· al=am· an . 则_____________
?1? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a ?, ? n?

an 2 ? {an},{an· bn}, b ?仍是等比数列. ? n?

?

?

(4)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n -Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.

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3.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,

na1 ; 当q=1时,Sn=_____
a1?1-qn? a1-anq 1-q 当 q≠1 时, Sn=___________ = . 1-q
q等于不等 于1的讨论

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三种方法 等比数列的判断方法有: an + 1 an (1)定义法: 若 a =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数 a n n- 1
且 n≥2),则{an}是等比数列.
* (2)中项公式法: 在数列{an}中, an≠0 且 a2 = a · a ( n ∈ N ), + + n 1 n n 2

则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c· qn(c,q均是

不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列. 注 前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.
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等比数列基本量的计算

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32 【训练 a4= ,且 例1 1】 等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3· 9 公比 q∈(0,1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前n项和Sn=21,求n的值.
32 解 (1)∵a3· a4=a1· a6= , 9 又 a1+a6=11,
2

32 故 a1,a6 看作方程 x -11x+ =0 的两根, 9 32 1 又 q∈(0,1)∴a1= ,a6= , 3 3 1 1 5 a6 ∴q = = ,∴q= , a1 32 2 32 ?1?n-1 1 ?1?n-6 ? ? = · ? ? . ∴an= · 3 ?2? 3 ?2? 1? 64? (2)由(1)知 Sn= ?1-2n?=21,解得 n=6. 3? ?
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【练习】 已知数列{an}是等比数列,且an>0. (1)若a2-a1=8,a3=m. ①当m=48时,求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}是唯一的,求m的值; (2)若a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8, k∈N*, 求a2k+1+a2k+2+…+a3k的最小值.

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(1)①由

? ?a1q-a1=8, a2-a1=8,a3=m=48,得? 2 ? ?a1q =48,

? ?a1=16-8 解得? ? ?q=3+ 3

3,

? ?a1=16+8 或? ? ?q=3- 3.

3,

所以数列{an}的通项公式为 an=(16-8 3)(3+ 3)n-1 或 - an=(16+8 3)(3- 3)n 1. ②要使满足条件的数列{an}是唯一的,即关于 a1 与 q 的方 ? ?a1q-a1=8, 程组? 2 有唯一正数解. ? ?a1q =m 所以方程 8q2-mq+m=0 有唯一解. 则 Δ=m2-32m=0,解得 m=32 或 m=0. 因为 a3=m>0,所以 m=32,此时 q=2. 经检验,当 m=32 时,数列{an}唯一,其通项公式为 an= 2n+2.
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(2)由 a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8,得 a1(qk-1)(qk-1+qk-2+…+1)=8,且 q>1. 则 a2k + 1 + a2k + 2 +…+ a3k = a1q2k(qk - 1 + qk - 2 +…+ 1) = ? k ? 1 8q2k ? ? =8?q -1+qk-1+2?≥32, k q -1 ? ? 1 k k 当且仅当 q -1= k ,即 q= 2,a1=8( 2-1)时,等 q -1 号成立.所以 a2k+1+a2k+2+…+a3k 的最小值为 32.
k

[方法总结] 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基 本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn一般可以“知 三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.

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等比数列的判定或证明

【例2】 已知数列{an}的前n项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an -an-1 (n≥2),且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
审题视点 (1)由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1转化成an 与an+1的递推关系,再构造数列{an-1}. (2)由cn求an再求bn.
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(1)证明

∵an+Sn=n,①

∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, an+1-1 1 ∴ = ,∴{an-1}是等比数列. an-1 2 1 又 a1+a1=1,∴a1= , 2 1 1 ∵首项 c1=a1-1,∴c1=- ,公比 q= .又 cn=an-1, 2 2 1 1 ∴{cn}是以- 为首项, 为公比的等比数列. 2 2
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(2)解

由(1)可知

? 1? ?1?n-1 ?1?n ? ? ? ? , cn=?-2?· =- ? ? ?2? ?2?

?1?n ∴an=cn+1=1-?2? . ? ?

∴当 n≥2

?1?n ? ?1?n-1? 时,bn=an-an-1=1-?2? -?1-?2? ? ? ? ? ? ? ?

?1?n-1 ?1?n ?1?n =?2? -?2? =?2? . ? ? ? ? ? ? ?1?n 1 又 b1=a1= 代入上式也符合,∴bn=?2? . 2 ? ?

[方法总结] 注意判断一个数列是等比数列的方法,另外第
(2)问中要注意验证n=1时是否符合n≥2时的通项公式,能 合并的必须合并.
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考向三

等比数列的性质及应用

【例3】 (1)在等比数列{an}中,已知a4a7=- 512,a3+a8=124,且公比为整数,求 a10; (2)已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数 列{bn}是等差数列,且b7=a7,求b5+b9的 值;

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(1)a4· a7=a3· a8=-512, ? ? ? a8=-512, ?a3· ?a3=-4, ?a3=128, ∴? 解之得? 或? ? ? ? ?a3+a8=124, ?a8=128 ?a8=-4.
? ?a3=-4, 当? ? ?a8=128

a8 时,q = =-32,∴q=-2. a3
5

a3 ∴a1= 2=-1,∴a10=a1q9=-1×(-2)9=512. q ? ?a3=128, a8 1 1 5 ? 当 时,q = =- ,q=- . a3 32 2 ? a =- 4 ? 8 1 又∵q 为整数,∴q=- 舍去. 2 综上所述:a10=512.

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等比数列的综合应用
【例 4】 (2012· 南京四校调研)记公差 d≠0 的等差数列{an}的 前 n 项和为 Sn,已知 a1=2+ 2,S3=12+3 2.

(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn;
(2)记 bn=an- 2,若自然数 n1,n2,…,nk,…满足 1≤n1 <n2<…<nk<…,并且 bn1,bn2,…,bnk,…成等比数列, 其中 n1=1,n2=3,求 nk(用 k 表示);

(3)试问:在数列{an}中是否存在三项ar,as, at(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比数列?若存在, 求出此三项;若不存在,请说明理由.
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(1)∵a1=2+ 2,S3=3a1+3d=12+3 2,∴d=2.

n?a1+an? ∴ an = a1 + (n - 1)d = 2n + 2 , Sn = = n2 + ( 2 + 2 1)n. (2)∵bn=an- 2=2n,∴bnk=2nk. b3 又∵数列{bnk}的首项 bn1=b1=2,公比 q= =3, b1 ∴bnk=2· 3k-1.∴2nk=2· 3k-1,即 nk=3k-1.

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(3)假设存在三项 ar,as,at 成等比数列,则 a2 at , s =ar· 即有(2s+ 2)2=(2r+ 2)(2t+ 2), 整理得(rt-s2) 2=2s-r-t. 2s-r-t 若 rt-s ≠0,则 2= , rt-s2
2

2s-r-t ∵r,s,t∈N ,∴ 2 是有理数,这与 2为无理数矛 rt-s
*

盾; 若 rt-s2=0, 则 2s-r-t=0, 从而可得 r=s=t, 这与 r<s<t 矛盾.综上可知,不存在满足题意的三项 ar,as,at.

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