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求函数值域的常用方法


函数值域的求法 知识点一:值域的概念和常见函数的值域 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域. 知识点二:常见函数的值域: 1.一次函数 y ? kx ? b ? k ? 0? 的值域为 R. ? 4ac ? b 2 ? , ?? ? , a ? 0 2.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? ,当 时的值域为 ? ? 4a ? 2 当 a ? 0 时的值域为 ? ??, ? ? 4ac ? b 2 ? ., 4a ? ? k ? k ? 0 ? 的值域为 ? y ? R y ? 0? . x 4.指数函数 y ? a x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 ? y y ? 0? . 3.反比例函数 y ? 5.对数函数 y ? loga x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 R. 6.正,余弦函数的值域为 ??1,1? ,正,余切函数的值域为 R. 知识点三:求函数值域(最值)的常用方法 一. 直接观察法:根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数 1 例 1、求函数 y= 2 的值域 x ?1 1 2 ? 1 显然函数的值域是: ? 0,1? 解:? x ? 1 ? 1,? 0 ? 2 x ?1 例 2、求函数 y =2- 解:? x 的值域。 2- x ≤2 故函数的值域是:[-∞,2] x ≥0 ? - x ≤0 课后典型练习 2 1:已知函数 y ? ?x ? 1? ? 1 , x ? ?? 1,0,1,2? ,求函数的值域。 2:求函数 y ? x ? 1的值域。 y ? x ? 1 ? x ? 1, ? x ≥ 1? 3:求函数 的值域。 4:求函数 y ? x ? 6 x ? 10 的值域。 2 二、配方法:二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。 2 配 方 法 是 求 二 次 函 数 值 域 最 基 本 的 方 法 之 一 。 对 于 形 如 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 或 2 F ? x? ? a ? ? f ? x ?? ? ? bf ? x ? ? c ? a ? 0 ? 类的函数的值域问题,均可用配方法求解. 2 例 3、求函数 y= x -2x+5,x ? [-1,2]的值域。 2 解:将函数配方得:y=(x-1) +4, ? x ? [-1,2], 由二次函数的性质可知: 当 x =1 时,y min =4 当 x=-1,时 y max =8 故函数的值域是:[4,8] 例 4、求函数的值域: y ? 解 : 设 ?? ? x 6? x 5? ? ? x ? ? 0?? ?4 , 故 , 所 以 ? 3 ? 4 ,?4 y ? ? x ? 6 x ? 5 的值域为 ? 0, 2? . 2 2 2 ? ? ? x2 ? 6 x ? 5 ?? ? ? x2 ? 6x ? 5 ? 0, 则 原 函 数 可 化 为 : y? ? ? ? 0 , ?2 , 所 以 , ? . 又 因 为 三、 判别式法:分子分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为 A( y) x 2 ? B( y) x ? C( y) ? 0 的形式,再利用判别式加以判断。 例 5、求函数的值域 y ? 2 x2 ? x ? 2 x2 ? x ? 1 2 x2 ? x ? 2 x2 ? x ? 1 得 解 : x2 ? x ? 1 ? 0 恒 成 立 , ? 函 数 的 定 义 域 为

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