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第6章 第3讲等比数列及其前n项和


第3讲 等比数列及其前n项和
最新考纲 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式

及前 n 项和公式; 2. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关
系,并能用有关知识解决相应的问题; 3.了解等比数列与指数 函数的关系.

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课堂总结

/> 知识梳理 1.等比数列的定义

如果一个数列从第 ____ 2 项起,每一项与它的前一项的比等 同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常 于_______
公比 ,公比通常用字母q(q≠0)表示. 数叫做等比数列的______

an q 数学语言表达式: =_______ (n≥2,q 为非零常数),或 an-1 an+1 * = q ( n ∈ N ,q 为非零常数). an
基础诊断 考点突破 课堂总结

2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为 a1,公比是 q,则其通项公式为 a1qn-1 an=__________ ; 通项公式的推广:an=amqn-m. (2)等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1

a1?1-qn? a1-anq 1 - q 时,Sn=__________= . 1-q

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课堂总结

3.等比数列及前n项和的性质 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中 (1) 如果 __________

项.即:G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列
G2=ab ?__________. (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 am·an a ·a =__________.
k l

(3) 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即 ak , ak + qm m,ak+2m,?仍是等比数列,公比为_______. (4)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n qn 仍成等比数列,其公比为_______.

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诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩 PPT 展示
( × )

(1)满足 an+1=qan(n∈N*,q 为常数)的数列{an}为等比数列. (2)三个数 a,b,c 成等比数列的充要条件是 b2=ac. ( × ) (3) 数列 {an} 的通项公式是 an = an ,则其前 n 项和为 Sn = a?1-an? . 1-a ( × )

(4)数列{an}为等比数列,则 S4,S8-S4,S12-S8 成等比数列. ( ×)

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2.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10等 于 ( )

A.7
C.-5

B.5
D.-7
3 6 ? ?a4+a7=a1q +a1q =2, 由题意得? 4 5 2 9 ? ?a5a6=a1q ×a1q =a1q =-8,

解析 法一
3 ? ?q =-2, ∴? ? ?a1=1

1 ? 3 ?q =- , 2 或? ∴a1+a10=a1(1+q9)=-7. ? ?a1=-8,

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法 二
? ?a4=4, ? ? ?a7=-2.



? ?a4+a7=2, ? ? ?a5a6=a4a7=-8,

解 得

? ?a4=-2, ? ? ?a7=4



3 ? ?q =-2, ∴? ? ?a1=1

1 ? ?q3=- , 2 或? ∴a1+a10=a1(1+q9)=-7. ? ?a1=-8,

答案 D

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3 . (2014· 大纲全国卷 ) 设等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn. 若 S2 =

3,S4=15,则S6=
A.31 C.63 B.32 D.64

(

)

解析

由等比数列的性质得 (S4 - S2)2 = S2·(S6 - S4) ,即 122

=3×(S6-15),解得S6=63.故选C. 答案 C

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4.(2014·广东卷)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4, 则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________.

解析 由等比数列的性质知 a1a5=a2a4=a2 所以 3=4?a3=2, log2a1 + log2a2 + log2a3 + log2a4 + log2a5 = log2(a1a2a3a4a5) = log2a5 3=5log22=5.
答案 5

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5 . ( 人教 A 必修 5P54A8 改编 ) 在 9 与 243 中间插入两个数,使它 们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.

解析 设该数列的公比为q,由题意知,
243=9×q3,q3=27,∴q=3. 所以插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81. 答案 27,81

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考点一

等比数列中基本量的求解

【例 1】 (1)在等比数列{an}中, a4=2, a7=16, 则 an=________. (2)在等比数列{an}中,a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,则 n =________. (3)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于 15 A. 2 33 C. 4 31 B. 4 17 D. 2 ( )

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解析 2n 3 .


a7 (1)由a =q3=8,知 q=2,所以 an=a4qn-4=2· 2n-4= 4

(2)因为 a3+a6=q(a2+a5), 1 所以 q=2,由 a1q+a1q4=18,知 a1=32, 所以 an=a1qn-1=1,解得 n=6.

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a1q3=1, ?a1q· ? (3)显然公比 q≠1,由题意得?a1?1-q3? =7, ? 1 - q ? ? ? ?a1=4, ?a1=9, 解得? 1 或? 1 (舍去), q=2 q=-3 ? ? ? ? a1?1-q5? ∴ S5 = = 1-q
? 1? 4?1-25? ? ?

31 1 =4. 1- 2

答案 (1)2n-3 (2)6 (3)B

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规律方法

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基

本问题,数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知 三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.

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【训练 1】 在等比数列 {an}中,a2 - a1 =2,且 2a2 为 3a1 和 a3 的 等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.

解 设该数列的公比为 q, 由已知可得 a1q-a1=2,4a1q=3a1 +a1q2, 所以 a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得 q=3 或 q=1. 由于 a1(q-1)=2,因此 q=1 不合题意,应舍去. 故公比 q=3,首项 a1=1. 3n-1 所以数列的前 n 项和 Sn= 2 .

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考点二 等比数列的性质及应用 【例 2】 (1) 公比为 2的等比数列 {an} 的各项都是正数,且 a3a11

=16,则log2a10=
A.4 C.6 B.5 D.7

(

)

S6 S9 (2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若S =3,则S = 3 6 ( A.2 8 C.3 7 B.3 D.3
基础诊断 考点突破 课堂总结

)

解析 (1)法一 由等比中项的性质得 a3a11=a2 又数列 7=16, {an}各项为正,所以 a7=4.所以 a10=a7×q3=32.所以 log2a10 =5. 法二 设等比数列的公比为 q,由题意知,an>0,则 a3· a11 a10 2 1 2 2 =a7=? 3 ? = 6a10=24,所以
?q ? ? ?

2

10 5 a2 10=2 ,解得 a10=2 .

故 log2a10=5.

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(2)由等比数列的性质得:S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列, S6-S3 S9-S6 于是, 由已知得 S6=3S3, ∴ S = , 即 S9-S6=4S3, S6-S3 3 S9 7 S9=7S3,∴S =3. 6
答案 (1)B (2)B

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规律方法

(1)在解决等比数列的有关问题时, 要注意挖掘隐

含条件,利用性质,特别是性质“若 m+n=p+q,则 am· an = ap · aq”,可以减少运算量,提高解题速度.(2)在应用相应 性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适 当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.

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【训练 2】 (1)已知 x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3 成等比 数列,则 xyz 的值为 A.-3 C.-3 3 =10,则 a4a5a6 等于 A.5 2 C.6 B.7 D.4 2 B.± 3 D.± 3 3 ( ) ( )

(2)已知各项均为正数的等比数列 {an}中,a1a2a3=5,a7a8a9

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解析

(1)由等比中项知 y2=3,∴y=± 3,

又∵y 与-1,-3 符号相同,∴y=- 3,y2=xz, 所以 xyz=y3=-3 3. (2)把 a1a2a3,a2a3a4,?,a7a8a9 各看成一个整体,由题意知 它们分别是一个等比数列的第 1 项、第 4 项和第 7 项,这里 的第 4 项刚好是第 1 项与第 7 项的等比中项.因为数列{an} 的各项均为正数, 所以 a4a5a6= ?a1a2a3?· ?a7a8a9?= 5×10= 5 2.

答案 (1)C (2)A

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考点三 等比数列的判定与证明 【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,

bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

(1)证明 ∵an+Sn=n,①
∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1, ∴2(an+1-1)=an-1,

深度思考

若本题除去第 (1)

问后如何求 bn ?在这里给大

家介绍一种方法:构造法,
如本例中构造等比数列 {an - 1}.

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课堂总结

an+1-1 1 ∴ = ,∴{an-1}是等比数列.又 a1+a1=1,∴a1 an-1 2 1 =2, 1 1 ∵首项 c1=a1-1,∴c1=-2,公比 q=2.又 cn=an-1, 1 1 ∴{cn}是以-2为首项,以2为公比的等比数列.

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课堂总结

(2)解 由(1)可知

? 1? ?1? - ?1? n 1 ? ? ? ?n, cn=?-2?· =- ? ? ?2? ?2?

?1? ∴an=cn+1=1-?2?n. ? ?

∴当 n≥2

? ?1? ?1? - ? n 时,bn=an-an-1=1-?2? -?1-?2?n 1?= ? ? ? ? ? ?

?1? - ?1? ?1? n 1 n ? ? ? ? =? ?n. - ?2? ?2? ?2? ?1? 1 又 b1=a1=2代入上式也符合,∴bn=?2?n. ? ?

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规律方法

证明数列{an}是等比数列常用的方法:一是定义

an 法,证明 =q(n≥2,q 为常数);二是等比中项法,证明 an-1 a2 an+1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反 n=an-1· 例即可,也可以用反证法.

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【训练 3】 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数 分别加上 2,5,13 后成为等比数列{bn}中的 b3,b4,b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn, 求证: 数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

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课堂总结

(1)解 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d,依 题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2, 5 由 b3=b1· 2 ,即 5=b1· 2 ,解得 b1=4.
2 2

5 所以{bn}是以4为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 5 n-1 bn=4· 2 =5· 2n-3.
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5 n ? 1 - 2 ? 4 5 n-2 (2)证明 数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2 -4,即 1-2 5 Sn+4=5· 2n-2. 5 Sn+1+4 5· 2n-1 5 5 所以 S1+4=2, n-2=2. 5 =5· 2 Sn+4 5 5 因此{Sn+4}是以2为首项,2 为公比的等比数列.

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[思想方法] 1.已知等比数列{an} 1 2 (1)数列{c· an}(c≠0),{|an|},{an},{a }也是等比数列. n (2)a1an=a2an-1=?=aman-m+1.

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2.判断数列为等比数列的方法 an+1 (1)定义法: a =q(q 是不等于 0 的常数,n∈N*)?数列{an} n an 是等比数列;也可用 =q(q 是不等于 0 的常数,n∈N*, an-1 n≥2)?数列{an}是等比数列.二者的本质是相同的,其区别 只是 n 的初始值不同. (2)等比中项法: a2 n∈N*)?数列{an} n+1=anan+2(anan+1an+2≠0, 是等比数列.

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[易错防范] 1.特别注意q=1时,Sn=na1这一特殊情况.

2 .由 an + 1 = qan , q≠0 ,并不能立即断言 {an} 为等比数列,还
要验证a1≠0. 3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1

分类讨论,防止因忽略 q = 1 这一特殊情形而导致解题失
误. 4.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n未必成等比数列(例如:当公比q=-1 且 n为偶数时, Sn ,S2n -Sn , S3n- S2n 不成等比数列;当 q≠ -1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数

列),但等式(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)总成立.
基础诊断 考点突破 课堂总结


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