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高中数学课本中的定理、公式、结论的证明


数学课本中的定理、公式、结论的证明
数学必修一
第一章 集合(无) 第二章 函数(无) 第三章 指数函数和对数函数 1.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a ? 1, M > 0 ,N > 0, (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (2) log a
M ? log a M - log a N

; N

那么

(3) loga M n ? n loga M (n ? R) . 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明: (性质 1)设 loga M ? p , log a N ? q ,由对数的定义可得 ∴ MN ? a p ? a q ? a p ?q , ∴ log a (MN ) ? p ? q , 即证得 loga MN ? loga M ? loga N . 证明: (性质 2)设 loga M ? p , log a N ? q , 由对数的定义可得 ∴
M ap ? q ? a p ?q , N a
M ? a p , N ? aq , M ? a p , N ? aq ,

M ? p ? q, N M ? log a M - log a N . 即证得 log a N

∴ log a

证明(性质 3)设 log a M ? p ,由对数的定义可得
∴M ?a ,
n np

M ? ap ,

∴ loga M n ? np , 即证得 loga M n ? n loga M .

第四章 函数应用(无)

数学必修二
第一章 立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明. 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.

2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

3、直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.

4、平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

证明:设直线 l 的方向向量为 a,平面 ?,? 的法向量分别为 u,r(建立立体几何问

题与向量之间的联系) ,
因为 l ? ? , 所以 a||r, 即 a= k r( k ? R ) (把立体几何问题转化为空间向量问题) , 又 l ? ?, 所以 a ? u ? a ? u=0(把立体几何问题转化为空间向量问题) , 所以 k u ? r=0 ? u ? r ? ? ? ? (把空间向量的结果转化为几何结论) , 所以平面 ? 与平面 ? 互相垂直, 5、直线与平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该 直线平行.

6、平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.

7、直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.

另法

8、平面与平面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面,

如图所示:已知? ? ? ,? ? ? =MN, AB在?内,AB ? MN于B点。 求证:AB ? ? .
证明:在平面?内做直线BC ? MN, 则?ABC是二面角? -MN-?的 平面角, ? ? ? ?, ??ABC =90?, ? AB ? BC 又AB ? MN, ? AB ? ?

9 三垂线定理及逆定理

另法证明:已知:如图,直线 l 与平面 ? 相交与点 A,l 在 ? 上的射影 OA 垂直于 a, a ?? 求证: l ⊥ a 证明: 过 P 作 PO 垂直于 ? ∵PO⊥α ∴PO⊥ a 又 a ⊥OA ,PO∩OA=O ∴ a ⊥平面 POA ∴a ⊥l

(三垂线定理的逆定理)若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线,则它垂直于这条直线在该 平面内的投影 第二章 解析几何初步(无)

数学必修三 数学必修四
第一章 诱导公式
公式:
sin(??) ? -sin? cos(??) ? cos? tan(??) ? ?tan?
y P(x,y)

三角函数

如图:设 ? 的终边与单位圆(半径为单位长度 1 的圆)交 于点 P(x,y),则角- ? 的终边与单位圆的交点必为 P?(x,-y).由正弦函数、余弦函数的定义,即可得 sin ? =y, cos ? =x, sin(- ? )=-y, cos(- ? )=x, 所以:sin(- ? )= -sin ? , cos(- ? )= cosα 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的- ? 诱导公式,
? -sin? 公式: sin(? ? ?) cos(? ? ?) ? -cos?

?
M
O

??

x

P′(x,-y) (4-5-2)

tan( ? ? ?) ? tan?

y 它刻画了角 ? + ? 与角 ? 的正弦值(或余弦值)之间的关 ? 系,这个关系是:以角 终边的反向延长线为终边的角的正弦值 (或余弦值)与角 ? 的正弦值(或余弦值)关系,设角 ? 终边圆 P(x,y) 180 ? ? ? ? ? M′ 交于点 P( x,y),则角 终边的反向延长线,即 ? + 角的终边 M O x 与单位圆的交点必为 P?(-x,-y)(如图 4-5-1) . P′(-x,-y) 由正弦函数、余弦函数的定义,即可得 sin ? =y, cos ? =x, sin( ? + ? )=-y, cos( ? + ? )=-x, (4-5-1) 所以 :sin( ? + ? )=-sin ? ,cos( ? + ? )=-cos ? . 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。 相关诱导公式 公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )=sinα k∈z cos(2kπ +α )=cosα k∈z tan(2kπ +α )=tanα k∈z 公式二: sin ( π +α ) = - sinα cos ( π +α ) = - cosα tan ( π +α ) =tanα 公式三:sin(-α )=-sinα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα tan(π -α )=-tanα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )=-sinα cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα 公式六: π /2±α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )=cosα cos(π /2+α )=-sinα tan(π /2+α )=-cotα sin(π /2-α )=cosα cos(π /2-α )=sinα tan(π /2-α )=cotα
?

第二章 平面向量 1、共线向量定理(p82 例 3) 内容:如图 A,B,C 为平面内的三点,且 A,B 不重合,点 P 为平面内任一点,若 C 在直 线 AB 上,则有 PC ? ? PA ? (1 ? ? )PB 证明:由题意, BC 与 BA 共线,
A

? BC ? ?BA
BC ? PC ? PB, BA ? PA ? PB ? PC ? PB ? ? ( PA ? PB)

C

B P

化简为: PC ? ? PA ? (1 ? ? )PB 2、平面向量基本定理(p83)

内容:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意一向 量 a ,存在唯一一对实数 ?1 , ? 2 ,使得 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . 证明:如图过平面内一点 O,作 OA ? e1 , OB ? e2 , OC ? a ,过点 C 分别作直线 OA 和直线 OB 的平行线,交 OA 于点 M,交 OB 于点 N,有且只有一组实数,使 得 OM ? ?1 OA, ON ? ?2 OB
? OC ? OM ? ON ? OC ? ?1 OA ? ?2 OB
e2 N a O M e1 B C

即 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .

A

3、平行向量定理(p88) 内容:若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例; 若两个向量相对应的坐标成比例,则两向量平行, 证明:设 a, b 是非零向量,且 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) 若 a // b ,则存在实数 ? 使 a ? ? b ,且由平面向量基本定理可知

x1 i ? y1 j ? ?( x2 i ? y2 j) ? ?x2 i ? ?y2 j.
? x1 ? ?x2 ①, y1 ? ?y 2 ②
① ? y 2 ? ② ? x2 得: x1 y 2 ? x2 y1 ? 0

x1 x 2 ? y y ? 0 , y ? 0 a , b 2 若 1 (即向量 不与坐标轴平行)则 1 y 2

4、余弦定理证明(p93) 内容:在 ?ABC 中,a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,则

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ?
证明:如图在 ?ABC 中,设 AB ? c, BC ? a, AC ? b 则
a 2 ? a ? BC ? ( AC ? AB )( AC ? AB )
2 2

? AC ? 2 AC ? AB ? AB
2

2

2

? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB
? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

2

2 2 2 ? ?a ? b ? c ? 2bc cos A ? 2 ?c ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 同理可证: ?

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 所以 ?

5、点到直线距离公式证明(p99)

向量法

定义法 证:如图,根据定义,点 M 到直线 l 的距离是点 M 到直线 l 的垂线段的长,如图 1,
B 设点 M 到直线 l 的垂线为 l ,垂足为 Q,由 l ? l 可知 l 的斜率为 A
'

'

'

? l 的方程:
'

y ? y0 ?

B ( x ? x0 ) A 与 l 联立方程组

解得交点

Q(

B 2 x0 ? ABy0 ? AC A2 y0 ? ABx0 ? BC , ) A2 ? B 2 A2 ? B 2

B 2 x0 ? ABy0 ? AC A2 y0 ? ABx0 ? BC 2 | PQ |2 ? ( ? x ) ? ( ? y0 ) 2 0 A2 ? B 2 A2 ? B 2 ? A2 x0 ? ABy0 ? AC 2 ? B 2 y0 ? ABx0 ? BC 2 ?( ) ?( ) A2 ? B 2 A2 ? B 2 A2 ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 B 2 ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 ? ? ? ( A2 ? B 2 ) 2 ( A2 ? B 2 ) 2 A2 ? B 2

y

P
Q

l

l'

x

图1

? PQ |?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

第三章

三角恒等变形

1、两角差的余弦公式证明 cos(α ﹣β )=cosα cosβ +sinα sinβ

证明 :如图,在平面直角坐标系中,以原点为圆心, 作一单位圆,再以原点 为顶点,x 轴非负半轴为始边分别作角α ,β ,且α >β .若α ,β 均为锐角时, 设它们的终边分别交单位圆于点 P1(cosα ,sinα ) ,P2(cos β ,sinβ ) ,即有两单位向量 β , 根据向量数量积的性质得: ① 又根据向量数量积的坐标运算得: =cosα cosβ +sinα sinβ ② ③ ,它们的所成角是α ﹣

由①②得 cos(α ﹣β )=cosα cosβ +sinα sinβ

由诱导公式可证明当α ,β 均为任意角时③式仍成立, 2、两角和的余弦公式证明

cos(? ? ? ) ? cos ?? ? (?? )?

=(略)

3、两角和(差)的正弦公式证明 内容: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? , sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 证明:
sin(? ? ? ) ? cos[

?
2

? (? ? ? )] ? cos[(

?
2

? ? ) ? ? ] ? cos(

?
2

? ? ) cos ? ? sin(

?
2

? ? ) sin ?

? sin ? cos ? ? cos? sin ?
? sin ? cos ? ? cos? sin ?

sin(? ? ? ) ? cos[

?
2

? (? ? ? )] ? cos[(

?
2

? ? ) ? ? ] ? cos(

?
2

? ? ) cos ? ? sin(

?
2

? ? ) sin ?

4、两角和(差)的正切公式证明 内容: 证明:
tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?



tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

sin ? cos ? cos? sin ? ? sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ? cos? cos ? cos? cos ? tan( ? ? ?) ? ? ? ? cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ? cos? cos ? sin ? sin ? ? cos? cos ? cos? cos ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?
sin ? cos ? cos? sin ? ? sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ? cos? cos ? cos? cos ? tan( ? ? ?) ? ? ? ? cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ? cos? cos ? sin ? sin ? ? cos? cos ? cos? cos ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?
考题(2010 四川理 19) 1 证明两角和的余弦公式 C? ?? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? ; ○ 2 由 C? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ?? : sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ? . ○ 解:①如图,在直角坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作 出角 α 、β 与-β ,使角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交 ⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于 P4.则 P1(1,0),P2(cosα ,sinα ) , P3(cos(α +β ),sin(α +β )),P4(cos(-β ),sin(-β ))

由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α +β )-1]2+sin2(α +β )=[cos(-β )-cosα ]2+[sin(-β )-sinα ]2 展开并整理得:2-2cos(α +β )=2-2(cosα cosβ -sinα sinβ ) ∴cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ ; ②由①易得 cos(π -α )=sinα ,sin(π 2-α )=cosα sin(α +β )=cos[

? ? -(α +β )]=cos[( -α )+(-β )] 2 2

=cos(

? ? -α )cos(-β )-sin( -α )sin(-β ) 2 2

=sinα cosβ +cosα sinβ ;

数学必修五
第一章 数列 1、 等差数列通项公式
已 知 等 差 数 列 { a n } 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 证 明 数 列 { a n } 的 通 项 公 式 为

an ? a1 ? (n ? 1)d ???
证明:由等差数列的定义可知:

说明:用“叠加法”证明等差数列的通项公式,需要验证对 a1 同样成立

2、 等差数列前 n 项和
内容:

?an ? 是 等 差 数 列 , 公 差 为
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d? 2 2

d , 首 项 为 a1 , S n 为 其 前 n 项 和 , 则

S n ? a1 n ?

证明:由题意, S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? .......? (a1 ? (n ? 1)d ) ① 反过来可写为: S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? .......? (an ? (n ? 1)d ) ② ①+②得:2 S n
S n?

? a1 ? n ? a1 ? n.......? a1 ? n ???????????
n个

所以,

n(a1 ? a n ) 2 ③,

把 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入③中,得

3、等比数列通项公式
已 知 等 比 数 列 { a n } 的 首 项 为 a1 , 公 比 为 q , 证 明 数 列 { a n } 的 通 项 公 式 为

an ? a1qn-1 ???
类比等差数列通项公式的证明,用“叠乘法”证明

3、 等比数列前 n 项和

? ? 内 容 : an 是 等 比 数 列 , 公 比 为 q , 首 项 为 a 1 , S n 为 其 n 前 项 和 , 则
?na1 , (q ? 1) ? ? a1 ? a n q a1 (1 ? q n ) ? , (q ? 1) 1? q 1? q Sn ? ? =
2 n?1 证明: S n ? a1 ? a1q ? a1q ? .......? a1q ①

qSn ? a1q ? a1q 2 ? a1q 3 ? .......? a1q n ②
n ①—②得: (1 ? q)S n ? a1 ? a1q ,

当 q ? 1 时,

Sn

?

a1 ? a1q n a1 (1 ? q n ) ? 1? q 1? q
S n ? na1

③把 an ? a1q

n ?1

代入③中,得

Sn

?

a1 ? a n q 1? q

当 q ? 1 时,很明显

?na1 , (q ? 1) ? ? a1 ? a n q a1 (1 ? q n ) ? , (q ? 1) 1? q 1? q Sn ? ? 所以, =

考题(2013 陕西文)

17.设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和.

(Ⅰ) 若 {an } 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式; (Ⅱ) 若 a1 ? 1, q ? 0 , 且对所有正整数 n, 有 Sn ?
解:(Ⅰ) 设公差为 d,则 an

1 ? qn . 判断 {an } 是否为等比数列. 1? q

? a1 ? (n ? 1)d

?S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n?1 ? a n ? 2S n ? (a1 ? a n ) ? (a2 ? a n?1 ) ? ? ? (a n?1 ? a1 ) ? (a n ? a1 ) ? S ? a ? a ? ? ? a ? a n n ?1 2 1 ? n
? 2S n ? n(a1 ? a n ) ? S n ? n(a1 ? a n ) n ?1 ? n(a1 ? d) . 2 2

(北师大版数学必修五---课本证明方法)

( Ⅱ)

a1 ? 1,q ? 0,由题知q ? 1,

?n ? N *,S n ?

1? qn 1 ? q n?1 1 ? q n q n ? q n?1 ? an?1 ? S n?1 ? S n ? ? ? ? qn 1? q 1? q 1? q 1? q

?1 a n ? ? n?1 ?q

n ?1 n?2

? a n ? q n?1,n ? N * .
? 1,公比 q ? 1 的等比数列,

所以, 数列 {an } 是首项 a1

2、 (2013 陕西理)17.设 {an } 是公比为 q 的等比数列.
(Ⅰ) 推导 {an } 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是等比数列. 解:(Ⅰ) 分两种情况讨论, ① 当q ? 1时,数列 {an }是首项为a1的常数数列,所以 S n ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1. ② 当q ? 1时,S n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? qSn ? qa1 ? qa2 ? ? ? qan?1 ? qan . 上面两式错位相减:( 1 - q)S n ? a1 ? (a2 ? qa1 ) ? (a3 ? qa2 )? ? (an ? qan?1 ) ? qan ? a1 ? qan .

? Sn ?

a1 ? qan a (1 ? q n ) ?. 1 , 1- q 1- q
(q ? 1) (q ? 1)

?na1 , ? ③综上, S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?

(北师大版数学必修五---课本证明方法)

(Ⅱ) 使用反证法, 设 {an } 是公比 q≠1 的等比数列, 假设数列 {an ? 1} 是等比数列.则 ①当 ?n ? N *,使得an ? 1 =0 成立,则 {an ? 1} 不是 等比数列, ②当 ?n ? N *,使得an ? 1 ? 0 成立,则

an?1 ? 1 a1q n ? 1 ? ? 恒为常数 an ? 1 a1q n?1 ? 1

? a1q n ? 1 ? a1q n?1 ? 1 ? 当a1 ? 0时, q ? 1 ,这与题目条件 q≠1 矛盾,
③综上两种情况,假设数列 {an ? 1} 是等比数列均不成立,所以当 q≠1 时, 数列 {an ? 1} 不是等比数 列,

第二章

解三角形
C b a

1、正弦定理证明(p45)
内容:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。 即
a b c ? ? . sin A sin B sin C
A

已知:在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,
a b c ? ? . 求证: sin A sin B sin C

D

B

证明:方法 1 利用三角形的高证明正弦定理 (1)当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,

根据锐角三角函数的定义,有 CD ? b sin A

CD ? a sin B ,
?

a b ? 由此,得 sin A sin B ,同理可得
a b

c
sinC

b
sin B ,

c ? ? 故有 sin A sin B sin C .从而这个结论在锐角三角形中成立. (2)当 ? ABC 是钝角三角形时,过点 C 作 AB 边上的高,

C

交 AB 的延长线于点 D,根据锐角三角函数的定义, 有 CD ? a sin ?CBD ? a sin ?ABC , CD ? b sin A ,
a

b

a

由此,得
a

sin A

?

b
sin ?ABC

c

,同理可得
c

sinC

?

b
sin ?ABC

A

B

D

故有 sin A

?

b
sin ?ABC

?

sin C .

(3)在 Rt ?ABC 中,
a b ? ?c ? sin A sin B ,

sin A ?

a b , sin B ? , c c

? C ? 90?, sin C ? 1.

?

a b c ? ? . sin A sin B sin C

a

由(1)(2)(3)可知,在 ? ABC 中, sin A 方法 2. 外接圆证明正弦定理

?

b
sin B

?

c
sin C 成立.

在△ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结 BO 并延长交圆于 B′,设 BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°,∠C =∠B′, ∴sinC=sinB′= sin C ? sin B ? ? ∴

c .? 2R

c ? 2 R .? sin C a b ? 2 R, ? 2 R .? 同理,可得 sin A sin B a b c ? ? ? 2 R .? ∴ sin A sin B sin C
这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式?

a b c ? ? .? sin A sin B sin C

方法 3. 向量法证明正弦定理

方法 4. 等面积法(略)

2、余弦定理证明(p49)
内容: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之 积的两倍,即

证明:方法 1 向量法证明 方法 2 三角形证明 (过程如下考题)

考题(陕西 2011 年文、理 18)
叙述并证明余弦定理, 解 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角 的余弦之积的两倍,或:在 ? ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有

证法一 如图

??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? a 2 ? BC ? BC ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) ? AC ? 2 AC ? AB ? AB
???? 2 ???? ??? ? ??? ?2 ? AC ? 2 AC ? AB COSA ? AB
? b2 ? 2bc cos A ? c2

即 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 同理可证 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B
c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

证法二 已知 ? ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, 建立直角坐标系,则 C (b cos A, b sin A), B(c,0) ,
? a 2 ? BC 2 ? (b cos A ? c) 2 ? (b sin A) 2

? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A
? b2 ? c2 ? 2bc cos A

同理可证 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B
c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

第三章

不等式 (无)

数学选修 2-1
第一章 常用逻辑用语(无) 第二章 空间向量与立体几何 1、空间向量基本定理:

2、线面垂直判定定理(p40 例 1) 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.

3、面面平行判定定理(p40 例 2) 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

4、三垂线定理(p41 例 3)

考题(2012 陕西理 18 题) (1) 如图, 证明命题 “ a 是平面 ? 内的一条直线,b 是 ? 外的一条直线 ( b 不垂直于 ? ) , c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真. (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)

【解析】 (Ⅰ)证法一 如图,过直线 b 上一点作平面 ? 的垂线 n ,设直线 a ,b ,c ,n 的方向向量分别是 a ,b ,c ,n ,

则b ,

c , n 共 面 . 根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 , 存 在 实 数 ? , ? 使 得 c ? ?b ? ?n , 则

a ? c ? a ? (?b ? ?n) ? ? (a ? b) ? ? (a ? n) ,因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,
又因为 a ? ? , n ? ? ,所以 a ? n ? 0 ,故 a ? c ? 0 ,从而 a ? c . 证法二 如图,记 c ? b ? A , P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点,过 P 作 PO ? ? ,垂足为 O ,则

O ? c .? PO ? ? , a ? ? ,

? 直线 PO ? a ,又 a ? b , b ? 平面 PAO , PO ? b ? P ,
?a ?

平面 PAO ,又 c ? 平面 PAO ,

?a ?

?a ? c .

(Ⅱ)逆命题为: a 是平面 ? 内的一条直线, b 是平面 ? 外的一条直线( b 不垂直于 ? ) , c 是直线

b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c .逆命题为真命题

第三章 圆锥曲线与方程 1、椭圆标准方程
( )的推导

解、以



所在直线为 轴,线段

的中点为原点建立直

角坐标系;(建系)



是椭圆上任意一点,设

,则



;(设点)





;(列式、代换)

移项平方后得



整理得,



两边平方后整理得,

(化简)

由椭圆的定义知,

,即

,∴

,令

,其中

,代入上式,



,两边除以

,得:





2、抛物线标准方程 y2=2px(p>0)的推导 解:如图所示,建立直角坐标系系,设|KF|= p ( p >0),
p p 那么焦点 F 的坐标为 ( ,0) ,准线 l 的方程为 x ? ? , 2 2

D

y M

p 2 p 2 设抛物线上的点 M(x,y) ,则有 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
化简方程得 y 2 ? 2 px

K O
王新敞
奎屯 新疆

F

x

(1)

? p ? 0?

王新敞
奎屯

新疆

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 3、双曲线标准方程 a ( a ? 0 , b ? 0 )的推导

解、取过焦点 F1、F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系。
设 M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为 2c(c>0) ,则 F1(-c,0) 、F2(c,0) ,又设 点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a<2c). 由定义可知,双曲线上点的集合是 P={M|||MF1|-|MF2||=2a}.

即: 化简,整理得:
M y

移项两边平方得

F1

O

F2

x

两边再平方后整理得

由双曲线定义知

考题(课本 p76 习题 3-2 第 9 题) (2012 陕西理 13.文 14)右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面 宽 4 米,水位 下降 1 米后,水面宽 米.
【答案】 2 6 【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点 O 的坐标为(0,0) , 设 l 与抛物线的交点为 A、B,根据题意知 A(-2,-2) ,B(2,-2) 设抛物线的解析式为 y ? ax2 ,则有 ? 2 ? a ? ?? 2? ,∴ a ? ?
2

1 2

∴抛物线的解析式为 y ? ?

1 2 x 2

水位下降 1 米,则 y=-3,此时有 x ? ∴此时水面宽为 2 6 米,

6或x?? 6

数学选修 2-2
第一章 推理与证明 直线与平面平行的性质定理(p15 例 6) 如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该 直线平行

数学选修 2-3 数学选修 4-4 数学选修 4-5
柯西不等式:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 若 a、b、c、d 为实数,则 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) 或 | ac ? bd |? a ? b ? c ? d

2 2 2 2 2 2 2 2 证法: (综合法) (a ? b ) (c ? d )? a c ? a d?

b2 c ?2

b2 d 2

? (ac ? bd )2 ? (ad ? bc)2 ? (ac ? bd )2 .


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