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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教案 理 新人教A版


§9.4
2014 高考会这样考

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.考查直线与圆的相交、相切问题,判断直线与圆、圆与圆的位置关

系;2.计算弦长、面积,考查与圆有关的最值;根据条件求圆的方程. 复习备考要这样做 1.会用代数法或几何法判定点、 直线与圆的位置关系; 2.掌握圆的几何

性质,通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题,体会用 代数法处理几何问题的思想.

1. 直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0 (A +B ≠0), 圆:(x-a) +(y-b) =r (r>0),
2 2 2 2 2

d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的
判别式为 Δ . 方法 位置关系 相交 相切 相离 2. 圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1) +(y-b1) =r1(r1>0), 圆 O2:(x-a2) +(y-b2) =r2 (r2>0). 方法 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 [难点正本 疑点清源] 1. 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与“几何法” 是从不同的方面和思路来判断的.
1
2 2 2 2 2 2

几何法

代数法 Δ >0 Δ =0 Δ <0

d<r d=r d>r

几何法: 圆心距 d 与 r1, 代数法: 两圆方程联立组成方程组的

r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2

解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

d=|r1-r2|(r1≠r2)
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

2. 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用根与系数关系及弦长公式 |AB|= 1+k |xA-xB| = ? 1+k ?
2 2

[? xA+xB?

2

-4xAxB].

1. (2011?重庆)过原点的直线与圆 x +y -2x-4y+4=0 相交所得弦的长为 2,则该直线 的方程为________. 答案 2x-y=0 解析 圆的方程化为标准形式为(x-1) +(y-2) =1,又相交所得弦长为 2,故相交弦 为圆的直径,由此得直线过圆心(1,2),故所求直线方程为 2x-y=0. 2. 若圆 x +y =1 与直线 y=kx+2 没有公共点,则实数 k 的取值范围为__________. 答案 (- 3, 3) 解析 由圆与直线没有公共点, 可知圆的圆心到直线的距离大于半径, 也就是 解得- 3<k< 3,即 k∈(- 3, 3). 3. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y =4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 答案 (-13,13) 解析 由题设得,若圆上有四个点到直线的距离为 1,则需圆心(0,0)到直线的距离 d 满 足 0≤d<1. ∵d=
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

k2+1

>1,

|c| = ,∴0≤|c|<13,即 c∈(-13,13). 12 +5 13
2 2 2

|c|

4. 从圆 x -2x+y -2y+1=0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦 值为 A. 1 2 3 B. 5 C. 3 2 D.0 ( )

答案 B 解析 圆的方程整理为(x-1) +(y-1) =1,C(1,1),
2 2

2

∴sin∠APC=

1 5



则 cos∠APB=cos 2∠APC =1-2??
2

? 1 ?2 3 ?= . ? 5? 5
2 2 2

5. 圆 C1:x +y +2x+2y-2=0 与圆 C2:x +y -4x-2y+1=0 的公切线有且仅有( A.1 条 答案 B 解析 ⊙C1:(x+1) +(y+1) =4, 圆心 C1(-1,-1),半径 r1=2. ⊙C2:(x-2) +(y-1) =4,圆心 C2(2,1),半径 r2=2. ∴|C1C2|= 13,∴|r1-r2|=0<|C1C2|<r1+r2=4, ∴两圆相交,有两条公切线.
2 2 2 2

)

B.2 条

C.3 条

D.4 条

题型一 直线与圆的位置关系 例1 已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1) +(y+1) =12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. 思维启迪:直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数;最 短弦长可用代数法或几何法判定.
? ?y=kx+1, 方法一 (1)证明 由? 2 ? ?? x-1? +? y+1?
2 2

2

=12,

消去 y 得(k +1)x -(2-4k)x-7=0, 因为 Δ =(2-4k) +28(k +1)>0, 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 则直线 l 被圆 C 截得的弦长 |AB|= 1+k |x1-x2|
2 2 2

2

2

3

=2

8-4k+11k =2 2 1+k

2

4k+3 11- 2, 1+k

4k+3 2 令 t= 2 ,则 tk -4k+(t-3)=0, 1+k 3 当 t=0 时,k=- ,当 t≠0 时,因为 k∈R, 4 所以 Δ =16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0, 4k+3 故 t= 2 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7. 1+k 方法二 (1)证明 圆心 C(1,-1)到直线 l 的距离 d= |k+2| 1+k
2

,圆 C 的半径 R=2 3,

k2+4k+4 11k2-4k+8 2 R2-d2=12- = ,而在 S=11k -4k+8 中, 2 2 1+k 1+k
Δ =(-4) -4?11?8<0, 故 11k -4k+8>0 对 k∈R 恒成立, 所以 R -d >0,即 d<R,所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 由平面几何知识, 知|AB|=2 R -d =2
2 2 2 2 2 2

8-4k+11k ,下同方法一. 2 1+k

2

方法三 (1)证明 因为不论 k 为何实数, 直线 l 总过点 P(0, 1), 而|PC|= 5<2 3=R, 所以点 P(0,1)在圆 C 的内部,即不论 k 为何实数,直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P. 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 由平面几何知识知过圆内定点 P(0,1)的弦, 只有和 AC (C 为圆心)垂直时才最短, 而此时点 P(0,1)为弦 AB 的中点,由勾股定理,知|AB|=2 12-5=2 7, 即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. 探究提高 (1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系, 也可利用直线的方程 与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系; (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法. (2012?安徽)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a) +y =2 有公共点,则实数 a 的取值范围是 ( ) B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
2 2

A.[-3,-1] C.[-3,1] 答案 C

解析 由题意知,圆心为(a,0),半径 r= 2.

4

若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离小于或等于半径, 即 |a-0+1| ≤ 2,∴|a+1|≤2.∴-3≤a≤1. 2

5

题型二 圆与圆的位置关系 例2

a 为何值时,圆 C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0 和圆 C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3
=0. (1)外切;(2)相交;(3)外离;(4)内切. 思维启迪:(1)分别表示出两圆的圆心坐标和半径;(2)利用圆心距与两圆半径的关系求

解. 解 将两圆方程写成标准方程.

C1:(x-a)2+(y+2)2=9, C2:(x+1)2+(y-a)2=4.
∴两圆的圆心和半径分别为

C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2,
设两圆的圆心距为 d, 则 d =(a+1) +(-2-a) =2a +6a+5. (1)当 d=5,即 2a +6a+5=25 时,两圆外切, 此时 a=-5 或 a=2. (2)当 1<d<5,即 1<2a +6a+5<25 时,两圆相交,此时-5<a<-2 或-1<a<2. (3)当 d>5,即 2a +6a+5>25 时,两圆外离,此时 a>2 或 a<-5. (4)当 d=1,即 2a +6a+5=1 时,两圆内切,此时 a=-1 或 a=-2. 探究提高 判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的 关系,一般不采用代数法. 已知圆 C 与圆 C1:x +y -2x=0 相外切,并且与直线 l:x+ 3y=0 相切于 点 P(3,- 3),求圆 C 的方程. 解 设所求圆的圆心为 C(a,b),半径长为 r,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

则圆 C 的标准方程为(x-a) +(y-b) =r , ∵C(a,b)在过点 P 且与 l 垂直的直线上, ∴

b+ 3 = 3.① a-3

|a + 3b| 又∵圆 C 与 l 相切于点 P,∴r= .② 2 ∵圆 C 与圆 C1 相外切,∴ ? a-1? 由①得 3a-b-4 3=0, 从而由②③④可得 4a -26a+49=|2a-6|+1,④ 解得?
?a=4 ? ? ?b=0
2 2

+b =r+1.③

2

,或?

?a=0 ?b=-4 3

,此时,r=2 或 r=6.

6

即所求的圆 C 的方程为 (x-4) +y =4 或 x +(y+4 3) =36. 题型三 直线与圆的综合问题 例3 已知⊙M:x +(y-2) =1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. 4 2 (1)若|AB|= ,求|MQ|、Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程; 3 (2)求证:直线 AB 恒过定点. 思维启迪:第(1)问利用平面几何的知识解决;第(2)问设点 Q 的坐标,从而确定点 A、B 的坐标与 AB 的直线方程. 2 (1)解 设直线 MQ 交 AB 于点 P,则|AP|= 2, 3 又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ, 得|MP|= 8 1 2 1- = , 9 3
2 2 2 2 2 2 2

|MA| 又∵|MQ|= ,∴|MQ|=3. |MP| 设 Q(x,0),而点 M(0,2),由 x +2 =3, 得 x=± 5,则 Q 点的坐标为( 5,0)或(- 5,0). 从而直线 MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0. (2)证明 设点 Q(q,0),由几何性质,可知 A、B 两点在以 QM 为直径的圆上,此圆的方 程为 x(x-q)+y(y-2)=0,而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦,即为 qx-2y+3=0,
2 2

? 3? 所以直线 AB 恒过定点?0, ?. ? 2?
探究提高 在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用,如在直线与 圆相交的有关线段长度计算中,要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线 段长度放在一起综合考虑,不要单纯依靠代数计算,这样既简单又不容易出错. 已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程. 解 (1)如图所示,|AB|=4 3,将圆 C 方程化为标准方程为(x+2)
2 2 2 2

+(y-6) =16, ∴圆 C 的圆心坐标为(-2,6),半径 r=4,设 D 是线段 AB 的中点, 则 CD⊥AB, ∴|AD|=2 3,|AC|=4.C 点坐标为(-2,6).

7

在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2. 设所求直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为:y-5=kx,即 kx-y+5=0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式: 3 得 k= . 4 故直线 l 的方程为 3x-4y+20=0. 又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为 x=0. ∴所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y), → → 则 CD⊥PD,即CD?PD=0, ∴(x+2,y-6)?(x,y-5)=0, 化简得所求轨迹方程为 x +y +2x-11y+30=0.
2 2

|-2k-6+5|

k2+? -1?

2

=2,

与圆有关的探索问题

典例:(12 分)已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存在两点 A、B 关于直线 y =kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在, 说明理由. 审题视角 (1)假设存在两点 A、B 关于直线对称,则直线过圆心. → → (2)若以 AB 为直径的圆过原点,则 OA⊥OB,转化为OA?OB=0. 规范解答 解 圆 C 的方程可化为(x-1) +(y+2) =9,圆心为 C(1,-2).假设在圆 C 上存在两 点 A、B 满足条件, 则圆心 C(1,-2)在直线 y=kx-1 上,即 k=-1.[3 分]
2 2

2

2

于是可知,kAB=1. 设 lAB:y=x+b,代入圆 C 的方程, 整理得 2x +2(b+1)x+b +4b-4=0, 则 Δ =4(b+1) -8(b +4b-4)>0,即 b +6b-9<0.
2 2 2 2 2

8

解得-3-3 2<b<-3+3 2.[7 分] 设点 A、B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 2 则 x1+x2=-b-1,x1x2= b +2b-2. 2 由题意知 OA⊥OB,则有 x1x2+y1y2=0, 也就是 x1x2+(x1+b)(x2+b)=0. ∴2x1x2+b(x1+x2)+b =0.[10 分] ∴b +4b-4-b -b+b =0,化简得 b +3b-4=0. 解得 b=-4 或 b=1,均满足 Δ >0, 即直线 AB 的方程为 x-y-4=0,或 x-y+1=0.[12 分] 答题模板 第一步:假设符合要求的结论存在. 第二步:从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解. 第三步:确定符合要求的结论存在或不存在. 第四步:给出明确结果. 第五步:反思回顾,查看关键点,易错点及答题规范. 温馨提醒 (1)本题是与圆有关的探索类问题,要注意充分利用圆的几何性质答题.(2) 要注意解答这类题目的答题格式. 使答题过程完整规范. (3)本题的易错点是转化方向不 明确,思路不清晰.
2 2 2 2 2

方法与技巧 1. 过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 1 先求切点与圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率为- ,由点斜式方程可求切线方

k

程.若切线斜率不存在,则由图形写出切线方程 x=x0. 2. 过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)几何方法 当斜率存在时,设为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y+y0-kx0=0.由圆心到 直线的距离等于半径,即可得出切线方程. (2)代数方法 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入圆方程,得一个关于 x 的一元 二次方程,由 Δ =0,求得 k,切线方程即可求出. 3. 两圆公共弦所在直线方程求法
9

若两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x 和 y 就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 4. 圆的弦长的求法 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则? ? =r -d . ?2?
2 2

2

2

?l?2

(2) 代 数 法 : 设 直 线 与 圆 相 交 于 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 两 点 , 解 方 程 组
?y=kx+b, ? ? 2 ?? x-x0? +? ?

y-y0?

2

=r ,

2

消 y 后得关于 x 的一元二次方程, 从而求得 x1+x2, x1x2,

则弦长为 |AB|= ? 1+k ? 失误与防范 1. 求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可 以用勾股定理或斜率之积为-1 列方程来简化运算. 2. 过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得 一条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解.
2

[? x1+x2?

2

-4x1x2](k 为直线斜率).

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. “a=3”是“直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 相切”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A |a-3+4| 2 2 解析 若直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 相切,则有 =2 2,即|a+ 2 1|=4,所以 a=3 或-5.但当 a=3 时,直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 一定相 切,故“a=3”是“直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 相切”的充分不必要条件. 2 . (2012?重庆 ) 对任意的实数 k ,直线 y = kx + 1 与圆 x + y = 2 的位置关系一定是 ( ) B.相切 D.相交且直线过圆心
2 2 2 2 2 2 2 2

(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.相离 C.相交但直线不过圆心 答案 C

解析 ∵x +y =2 的圆心(0,0)到直线 y=kx+1 的距离

2

2

10

d=

|0-0+1| 1 = ≤1, 2 2 1+k 1+k

又∵r= 2,∴0<d<r. ∴直线与圆相交但直线不过圆心. 3. 过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x +y -4y=0 所截得的弦长为 A. 3 答案 D 解析 过原点且倾斜角为 60°的直线方程为 3x-y=0, 圆 x +(y-2) =4 的圆心(0,2) | 3?0-2| 2 2 到直线的距离为 d= =1,因此弦长为 2 R -d =2 4-1=2 3. 3+1 4. 直线 y=kx+3 与圆(x-2) +(y-3) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 3,则 k 的取值 范围是 ( B.?- )
2 2 2 2 2 2

(

)

B.2

C. 6

D.2 3

? 3 ? A.?- ,0? ? 4 ?
C.[- 3, 3] 答案 B

? ?

3 3? , ? 3 3?

? 2 ? D.?- ,0? ? 3 ?

解析 如图,若|MN|=2 3,则由圆与直线的位置关系可知圆心到 直线的距离满足 d =2 -( 3) =1. ∵直线方程为 y=kx+3, |k?2-3+3| ∴d= =1, 2 1+k 解得 k=± 3 . 3 3 3 ≤k≤ . 3 3
2 2 2

若|MN|≥2 3,则-

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 设直线 ax-y+3=0 与圆(x-1) +(y-2) =4 相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3, 则 a=________. 答案 0 解析 d= 即 d=1,
2 2 2

|a+1|
2

,由已知条件 d +3=4, a +1 =1,解得 a=0.
2 2

2

|a+1|

a2+1
2

6. 若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0 (a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________.
11

答案 1 解析 方程 x +y +2ay-6=0 与 x +y =4. 1 2 相减得 2ay=2,则 y= .由已知条件 2 -?
2 2 2 2

a

3?

2

1 = ,

a

即 a=1. 7. (2012?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y -8x+15=0,若直线 y=
2 2

kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大
值是________. 答案 4 3
2 2

解析 圆 C 的标准方程为(x-4) +y =1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2, 即 |4k-2| 4 2 ≤2.整理,得 3k -4k≤0.解得 0≤k≤ . 2 3 k +1

4 故 k 的最大值是 . 3 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)求过点 P(4,-1)且与圆 C:x +y +2x-6y+5=0 切于点 M(1,2)的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为 A(m,n),半径为 r,
2 2

则 A,M,C 三点共线,且有|MA|=|AP|=r, 因为圆 C:x +y +2x-6y+5=0 的圆心为 C(-1,3),
2 2

n-2 2-3 ? ?m-1=1+1 则? ? ? ? m-1? 2+? n-2?


2

= ?

m-4?

2

+?

n+1?

2

=r

解得 m=3,n=1,r= 5, 所以所求圆的方程为(x-3) +(y-1) =5. 9. (12 分)已知点 A(1,a),圆 x +y =4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切,求 a 的值及切线方程. 解 (1)由于过点 A 的圆的切线只有一条,则点 A 在圆上,故 1 +a =4,∴a=± 3.
2 2 2 2 2 2

当 a= 3时,A(1, 3),切线方程为 x+ 3y-4=0; 当 a=- 3时,A(1,- 3),切线方程为 x- 3y-4=0, ∴a= 3时,切线方程为 x+ 3y-4=0,

a=- 3时,切线方程为 x- 3y-4=0.

12

(2)设直线方程为 x+y=b,由于直线过点 A,∴1+a=b, ∴直线方程为 x+y=1+a,即 x+y-a-1=0. |a+1| 又直线与圆相切,∴d= =2,∴a=±2 2-1. 2 ∴切线方程为 x+y+2 2=0 或 x+y-2 2=0.

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2012?天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1) +(y-1) =1 相 切,则 m+n 的取值范围是 ( )
2 2

A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) 答案 D 解析 圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 的距离为 ? 1 2 所以 m+n+1=mn≤ (m+n) , 4 所以 m+n≥2+2 2或 m+n≤2-2 2. 2. (2011?江西)若曲线 C1:x +y -2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同的交点, 则实数 m 的取值范围是 A.(- C.[- 3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3 B.(- 3 3 ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 )∪( ,+∞) 3 3 ( )
2 2

|m+n|

m+1?

2

+?

n+1?

2

=1,

D.(-∞,-

答案 B 解析 C1:(x-1) +y =1,
2 2

C2:y=0 或 y=mx+m=m(x+1).
当 m=0 时,C2:y=0,此时 C1 与 C2 显然只有两个交点; 当 m≠0 时,要满足题意,需圆(x-1) +y =1 与直线 y=m(x+1) 有两交点,当圆与直线相切时,m=± 3 3 ,即直线处于两切线之间时满足题意,则- 3 3
13
2 2

<m<0 或 0<m< 综上知-

3 . 3

3 3 <m<0 或 0<m< . 3 3

3.(2011?大纲全国)设两圆 C1、 C2 都和两坐标轴相切, 且都过点(4,1), 则两圆心的距离|C1C2| 等于 A.4 答案 C 解析 ∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1), ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b), 则有(4-a) +(1-a) =a ,(4-b) +(1-b) =b , 即 a,b 为方程(4-x) +(1-x) =x 的两个根, 整理得 x -10x+17=0,∴a+b=10,ab=17. ∴(a-b) =(a+b) -4ab=100-4?17=32, ∴|C1C2|= ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( B.4 2 C.8 D.8 2

)

a-b?

2

+?

a-b?

2

= 32?2=8.

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 若过点 A(a,a)可作圆 x +y -2ax+a +2a-3=0 的两条切线,则实数 a 的取值范围为 ______________.
2 2 2

? 3? 答案 (-∞,-3)∪?1, ? ? 2?
解析 圆方程可化为(x-a) +y =3-2a,
? ?3-2a>0 由已知可得? 2 ?a >3-2a ?
2 2

3 ,解得 a<-3 或 1<a< . 2
2 2

5. 若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 C:x +4x+y -5=0 在第一象限内的部分有 交点,则 k 的取值范围是__________. 答案 (0, 5) 解析 圆的标准方程为(x+2) +y =9,令 x=0 得圆与 y 轴的两个 交点为(0,± 5),如图,直线 kAM= 5.若过定点 M(-1,0)且斜率 为 k 的直线与圆 x +4x+y -5=0 在第一象限内的部分有交点,则
2 2 2 2

k 的取值范围是 0<k< 5.

?1 ? 2 2 6. 过点 M? ,1?的直线 l 与圆 C:(x-1) +y =4 交于 A、B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小 ?2 ?
时,直线 l 的方程为______________.

14

答案 2x-4y+3=0 1 1- 2? 1? 解析 由题意得,当 CM⊥AB 时,∠ACB 最小,从而直线方程 y-1=- ?x- ?,即 0-1? 2? 2x-4y+3=0.

15

三、解答题 7.(13 分)已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1: x+2y+7=0 相切. 过 点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点. (1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程. 解 (1)设圆 A 的半径为 R,

由于圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切, |-1+4+7| ∴R= =2 5. 5 ∴圆 A 的方程为(x+1) +(y-2) =20. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意; ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2), 即 kx-y+2k=0. 连接 AQ,则 AQ⊥MN. ∵|MN|=2 19, ∴|AQ|= 20-19=1, 则由|AQ|= |k-2|
2 2 2

3 =1,得 k= , 4 k +1

∴直线 l:3x-4y+6=0. 故直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0.

16


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