tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

3.3.2 简单的线性规划问题


第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题

应用举例
【引例】: 某工厂用A、B两种配 件生产甲、乙两种产 品,每生产一件甲产 品使用4个A配件并耗 时1h,每生产一件乙 产品使用4个B配件并 耗时2h,该厂每天最 多可从配件厂获得16 个A配件和12个B配件 ,按每天工作8h计算 ,该厂所有可能的日 生产安排是什么? 如果若干年后的你成为某

数据分析表: 工厂的厂长,你将会面对 设甲、乙两种产品的日生产分别为 x , y 件, 生产安排、资源利用、人 每件耗时 A配件( B配件( 力调配的问题 …… x ? 2 y ? 8 个) ?个) (h)

?4 x ? 16 ? 甲产品 1 , 且0 x, y 满足约束条件为 x, y ? N ? 4 ?4 y ? 12 乙产品 2 0 4 ? ? x, y ? 0 日生产 作出约束条件所表示的平面区域,如图所示 ? 12 ? 16 ?8 满足

设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? 4 ? ? 4 y ? 12 3 ?x ? 0 x 8 4 ? ? ?y ? 0 0 将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内 所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y 都是有意义的.

y

应用举例
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:

【优化条件】: 若生产一件甲产 品获利2万元,生 产一件乙产品获 利3万元,采用哪 种生产安排获得 利润最大?

当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?

把z=2x+3y变形为y=这是斜率为距为

2 z x+ , 3 3

2 , 在y轴上的截 3

z 的直线, 3

当点P在可允许的取值范围变化时,

z 求截距 的最值,即可得z的最值. 3

解:求利润z=2x+3y的最大值.

y

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

4 3
M(4,2)

4

0

x 8 1 y ? ? x?4 2
2 z y ? ? x? 3 3

Zmax ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 14

?x ? 2y ? 8 象这样关于x,y一次不等 ? 4 x ? 16 式组的约束条件称为 ? ? 线性约束条件 4 y ? 12 ? ?x ? 0 Z=2x+3y 称为目标函数 ,( 因这里 ? 目标函数为关于 x,y 的一次式 , 又 ? ?y ? 0 称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,

满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最值的可行解叫做这个 问题的最优解 变式:若生产一件甲产品获利1万元, 生产一件乙产品获利3万元,采用哪种 生产安排利润最大?

变式:求利润z=x+3y的最大值.

y

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

3

4 N( 2, 3)

4

0

1 z y ? ? x? 3 3

x 8 1 y ? ? x?4 2

zmax ? 2 ? 3? 3 ? 11

解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行 域有公共点且纵截距最大或最小的直线
(注意y的系数“+,-”)

(3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。
先定可行域和平移方向,再找最优解。

最优解一般在可行域的顶点处取得

? 解线性规划应用问题的一般步骤: ? 1、理清题意,列出表格; ? 2、设好变元,列出线性约束条件 (不等式组)与目标函数; ? 3、准确作图; ? 4、根据题设精确度计算。

例1 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg 的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1食物B含有 0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪, 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求, 同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少 kg?

分析:将已知数据列成表格
食物/kg
A

碳水化合物/kg

蛋白质/kg

脂肪/kg

B

0.105 0.105

0.07 0.14 0.06

0.14 0.07 0.06

日常饮食含量

0.075

解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B, 总成本为z,那么

?0.105x+0.10 y ? 0.075 ?7 x ? 7 y ? 5 ?0.07x+0.14 y ? 0.06 ?7 x ? 14 y ? 6 ? ? ? ? ?0.14x ? 0.07 y ? 0.06 ? ?14x ? 7 y ? 6 ?x ? 0 ?x ? 0 ? ? ? ? ?y ? 0 ?y ? 0
目标函数为:z=28x+21y

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域

4 z 把目标函数z=28x+21y 变形为 y ? ? x ? 3 28 4 它表示斜率为 ? 3
随z变化的一组平行直 y 6/7 线系

的截距,当截距最 小时,z的值最小。

z 28 是直线在y轴上

5/7

M

3/7

如图可见,当直线 z=28x+21y 经过可 行域上的点M时,截距 最小,即z最小。

o

3/7

5/7

6/7 x

?7 x ? 7 y ? 5 ? ?14x ? 7 y ? 6 ? x ? ? ? 得M点的坐标为: ? ?y ? ? ?
所以zmin=28x+21y=16

M点是两条直线的交点,解方程组

1 7 4 7

由此可知,每天食用食物A143g,食物B约 571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低 ,最低成本为16元。

例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥 料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙种肥料需 要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝 酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。若生产1车皮甲种 肥料能获得的利润是10000元,生产1车皮乙种肥料能获得利 润是5000元,那么生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生 最大的利润? 解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数, 能够产生利润Z=x+0.5y万元,于是满足以下条件:
y

?4x+y ≤10 ?18x+15y ≤ 66 ? ? ?x ≥ 0 ? ?y ≥ 0

x

o

目标函数为Z=x+0.5y,可行域如图: 把Z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,它表示斜率 为-2,在y轴上的截距为2z的一组直线系。 由图可以看出,当直线经过可行域上的点M时, 截距2z最大,即z最大。
y

容易求得M点的坐标为(2,2), 则Zmax=2+0.5=3

答:生产甲种、乙种肥料各 2车皮,能够产生最大利 润,最大利润为3万元。

M(2,2) x

o

例3、要将两种大小不同规格的钢板截成A、 B 、 C 三种规格,每张钢板可同时截得三种 规格的小钢板的块数如下表所示 :
钢板类型 规格类型

A规格

B规格

C规格

第一种钢板 第二种钢板

2 1

1 2

1 3

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18, 27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三 种规格成品,且使所用钢板张数最少。
解:设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张,可得

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

y

打网格线法

目标函数

B(3,9)
A(18/5,39/5)

z=x+y

C(4,8)

x+y =0 0 2x+y=15 x+2y=18 x+3y=27 作出一组平行直线z= x+y, 当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解, 在可行域内打出网格线, 将直线x+y=11.4继续向上平移, 经过可行域内的整点 B(3,9) 和 C(4,8) 且和原点距 离最近的直线是x+y=12,它们是最优解. 答:(略) x

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

调整优值法
y
B(3,9)
A(18/5,39/5)

目标函数 z = x+y

C(4,8)

x+y =0

0 2x+y=15 x+y=12 x+2y=18 x+3y=27 作出一组平行直线z = x+y, 当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解. 作直线x+y=12 解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)

直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解

[练习]解下列线性规划问题:
1、求z=2x+y的最大值,使式中的x、y满足约
束条件:

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

y

x+y=1
A

目标函数: Z=2x+y y=x

Zmin=-3

O B C

x

y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)

2x+y=0

Zmax=3

练习题
2、某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分
别为3000元、2000元,甲、乙产品都需要在A、B两 种设备上加工,在每台A、B上加工1件甲所需工时分别 为1h、2h,加工1件乙所需工时分别为2h,1h.A、B两 种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h。如何 安排生产可使收入最大?

解: 设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收
入为Z千元,目标函数为Z=3x+2y,满足的条件是

? x+2y ≤ 400 ?2x+y ≤ 500 ? ? ?x ≥ 0 ? ?y ≥ 0

3 z Z= 3x+2y 变形为 y ? ? x ? 2 2 3 它表示斜率为 ? 的直线系,Z与这条直线的截距有关。 2 当直线经过点M时,截距最大,Z最大。

? x ? 2 y ? 400 解方程组 ? ?2 x ? y ? 500
Z 的最大值Zmax = 3x+2y=800(千元) 故生产甲产品200件, 为80万元。

可得M(200,100) Y

500

200

乙产品100件,收入最大,
O

M X

250

400


二元一次不等式表 示平面区域

结:
直线定界, 特殊点定域 约束条件 目标函数

用应

简单的线性规划

可行解 可行域

求解方法:画、 移、求、答

最优解


推荐相关:

高中数学必修5新教学案:3.3.2简单的线性规划问题(1)

高中数学必修5新教学案:3.3.2简单的线性规划问题(1)_数学_高中教育_教育专区。必修 5 3.3.2 简单的线性规划问题(学案)(第 1 课时) 【知识要点】 1.目标...


《3.3.2简单的线性规划问题》教案

3.3.2简单的线性规划问题》教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。课题名称:简单的线性规划问题 (教案) 学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上...


3.3.2简单的线性规划问题(检测试题)

3.3.2简单的线性规划问题(检测试题)_数学_高中教育_教育专区。3.3.2简单的线性规划问题(检测试题)3.3.2 简单的线性规划问题(检测试题)双基达标 A.该直线的...


3.3.2简单的线性规划问题(二)

3.3.2简单的线性规划问题(二)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 3.3.2简单的线性规划问题(二)_数学_高中教育_教育专区。简单的...


教案:3.3.2简单的线性规划问题(1)

教案:3.3.2简单的线性规划问题(1)_数学_高中教育_教育专区。必修 5 3.3.2 简单的线性规划问题(教案)(第 1 课时) 【教学目标】 1.知识与技能:使学生了解...


教案:3.3.2简单的线性规划问题(2)

教案:3.3.2简单的线性规划问题(2)_数学_高中教育_教育专区。3.3.2 简单的线性规划问题(2) 知能目标解读 1.了解线性规划的意义,掌握目标函数的约束条件,二元...


§3.3.2简单的线性规划问题的综合应用复习(两课时)

§3.3.2简单的线性规划问题的综合应用复习(两课时)_数学_高中教育_教育专区。萧振高中高二数学导学案 主备:陈才旭 复备: 审核: 日期: 2016-9-22 §3.3....


高中数学必修5新教学案:3.3.2简单的线性规划问题(1)

高中数学必修5新教学案:3.3.2简单的线性规划问题(1)_数学_高中教育_教育专区。必修 5 3.3.2 简单的线性规划问题(学案)(第 1 课时) 【学习目标】 1.目标...


(人教A版)数学必修五 :3-3-2《简单线性规划问题》教案(含答案)

(人教A版)数学必修五 :3-3-2《简单线性规划问题》教案(含答案)_数学_高中教育_教育专区。教学设计 3.3.2 简单线性规划问题?? 从容说课 本节课先由师生共同...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com