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浙江省杭州市重点高中2013年4月高考命题比赛高中数学参赛试题-19


2013 年高考模拟试卷数学卷(理科) 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么

棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) V ? Sh
如果事件 A、B 相互独立,那么 其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

棱锥的体积公式

V ?
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 棱台的体积公式

1 Sh 3

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高

Pn (k ) ? C P (1 ? P)
k n k

n ?k

(k ? 0,1,2,?, n)

1 V ? h ( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3

球的表面积公式 其中 S1,S2 分别表示棱台的上、下底面积,h
S ? 4?R 2

表示棱台的高

球的体积公式

4 V 球 ? ?R 3 3 其中 R 表示球的半径
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求.

1 1 ? ? 1. 根据浙江卷改编) ( 已知 i 是虚数单位, 1 ? i 1 ? i 则
A. i B. ?i C. 1 D. ?1





2. (根据考试说明样卷改编) 已知 a, b 是实数, “ | a ? b |?| a | ? | b | ” “ ab ? 0 ” ( 则 是 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



3.(根据广东一模试题改编)已知函数 f ( x ) 的图像如图所示,则 f ( x ) 的 解析式可能是( A. C. ) B. D.

f ( x) ? x2 ? 2ln x f ( x) ?| x | ?2ln x

f ( x) ?| x | ? ln x f ( x) ? x2 ? ln x


4. (根据湖北卷改编)已知数列 A. C.

{an } 的前 n 项和 Sn ? 3n ? 2, n ? N * ,则(
B. D.

{an } 是递增的等比数列

{an } 是递增数列,但不是等比数列 {an } 不是等比数列,也不单调(原创)

{an } 是递减的等比数列

2 2 5.若圆 x ? y ? 4 x ? 2my ? m ? 6 ? 0 与 y 轴的两交点 A, B 位于原点的同侧,则实数 m 的取值

范围是 A. m ? ?6



) B. m ? 2 或 ?6 ? m ? ?1 D. m ? 3 或 m ? ?1 开 始 i=1, s=0 否 是 输出 S 结 束

C. m ? 3 或 ?6 ? m ? ?2

1 1 1 1 ? ? ??? 2012 的 6. (根据辽宁试题改编)如图给出的是计算 2 4 6
值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( A. i ? 1005 C. i ? 1005 B. i ? 1006 D. i ? 1006 )

7.(根据优化方案改编)已知实数 x, y 满足

?y ? 0 ? ?y ? x ?1? 0 ? y ? 2x ? 4 ? 0 ?

1 s=s+ 2i
i=i+1 ,若 z ? y ? ax )

取得最大值时的最优解 ( x, y ) 有无数个,则 a 的值为 (

A.1 B.2 C.0 D. ?1 8. (根据浙江模拟卷改编)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1] 1 3 时,f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点个数为 ? ? ( ). A.5 B.6 C.7 D.8
2 2

y B A F 1 O F 2 x

x y ? 2 ?1 2 b 9. (根据哈尔滨模拟卷改编)如图,F1,F2 是双曲线 C: a
(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别 交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | :| AF2|=3:4 : 5,则双曲线的离心 率为 ( ) A. 13 B. 15 C.2 D. 3
3 2

10.(根据安徽一模试题改编)对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设

f '( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f ??( x) 是 f '( x) 的导数,若方程 f ''( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称


( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点” 。某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐
? 1 ? ? 2 ? ? 2012? 1 3 1 2 5 g? ? ? g? ? ? ... ? g ? ? x ? x ? 3x ? ? 2013? ? 2013? =( 3 2 12 ,则 ? 2013?

点” 任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。设函数 ;

g ( x) ?

)

A.2011 B.2012 C.2013 D.2014 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.(原创)已知展开式

( x ? 1) 6 ? a0 ? a1 x ? ? ? a6 x 6 ,则 a0 ? a6 的值为
?



f ( x) ? sin x sin( x ? ) 3 的最小正周期为 12. (原创)函数



13.(根据北京卷改编)如图,若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同,且均为面 积等于 2 的等腰直角三角形,则该几何体的体积为 . 14. (根据江西卷改编)连接抛物线 y2=4x 的焦点 F 与点 M(0,1)所得的线段与抛物线交 于点 A,设点 O 为坐标原点,则△OAM 的面积为__________ 15 . 根 据 安 徽 模 拟 卷 改 编 ) 已 知 (

?an ? 是 一 个 公 差 大 于

0 的等差数列,且满足

a3 a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 .

?b ? T 对任意的 n ? N , ? 1 (n ? N ) , 记数列 n 的前 n 项和为 n , 不等式 恒成立,则实数 m 的最小值是 .


bn ?

4

a

2 n ?1

?

?

Tn ?

m 100

16. (原创)某高校进行自主招生面试时的程序如下:共设 3 道题,每道题答对给 10 分、答

2 错倒扣 5 分(每道题都必须回答,但相互不影响) .设某学生对每道题答对的概率都为 3 ,则
该学生在面试时得分的期望值为 分.

2 17.(根据浙江高考题改编)若不等式 ?1 ? ax ? bx ? c ? 1 的解集为 (?1,3) ,则实数 a 的取值范

围是 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 . 原 创 ) 本 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 在 ?ABC 中 , A D ? B C, 垂 足 为 D , 且 ( ( A B D: D C: A ? 2 : 3 :. D 6 (Ⅰ)求 ?BAC 的大小; (Ⅱ)设 E 为 AB 的中点,已知 ?ABC 的面积为 15,求 CE 的长.

E

B

D

C

19.(根据天津卷改编)(本题满分 14 分)现有 4 个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙 两个项目可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己 去参加哪个项目联欢,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于 2 的人去参 加乙项目联欢.

(I)求这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率; (II)求这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率; (III)用 X , Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记 量 ? 的分布列与数学期望 E? .

? ? X ?Y

,求随机变

20.(根据广东卷改编)(本题满分 14 分)如图,在三棱锥 A ? BCD 中,

A

?ABC ? ?BCD ? ?CDA ? 90? , AC ? 6 3, BC ? CD ? 6 ,
设顶点 A 在底面 BCD 上的射影为 E . (Ⅰ)求证: CE ? BD ; (Ⅱ)设点 G 在棱 AC 上,且 CG ? 2GA , 试求二面角 C ? EG ? D 的余弦值. B E

G

D C

21. (根据温州一模改编) (本题满分 15 分) 如图, 在矩形 ABCD 中,AB ? 8, BC ? 4, E , F , G, H 分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设 OP ? ? OF , CQ ? ? CF (? ? 0) . (Ⅰ)求直线 EP 与 GQ 的交点 M 的轨迹 ? 的方程;
2 2 2 (Ⅱ)过圆 x ? y ? r (0 ? r ? 2) 上一点 N

?

?

?

?

y G M C Q F B x

D H A

o E

P

作圆的切线与轨迹 ? 交于 S , T 两点,
2 若 NS ? NT ? r ? 0 ,试求出 r 的值. ? ?

2 22.(根据全国卷改编)(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ln x

(Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ? cos 2 x ,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量 xi (i ? 1, 2,3) 使得

f ( xi ) ? g ( xi ) 的值相等,若存在,请求出 a 的范围,若不存在,请说明理由?

2013 年高考模拟试卷数学答题卷 选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 题号

5

6

7

8

9

10

选项

填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11 12 15 16

13 17

14

解答题(共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分)如图,在 ?ABC 中, AD ? BC ,垂足为 D ,且 BD : DC : AD ? 2:3:6 . A (Ⅰ)求 ?BAC 的大小; (Ⅱ)设 E 为 AB 的中点,已知 ?ABC 的面积为 15,求 CE 的长.

E

B

D

C

19. (本题满分 14 分)现有 4 个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加 者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联 欢,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于 2 的人去参加乙项目联欢. (I)求这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率; (II)求这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率; (III)用 X , Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记 量 ? 的分布列与数学期望 E? .

? ? X ?Y

,求随机变

20. (本题满分 14 分)如图,在三棱锥 A ? BCD 中,

A

?ABC ? ?BCD ? ?CDA ? 90? , AC ? 6 3, BC ? CD ? 6 ,
设顶点 A 在底面 BCD 上的射影为 E . E (Ⅰ)求证: CE ? BD ; B B (Ⅱ)设点 G 在棱 AC 上,且 CG ? 2GA , 试求二面角 C ? EG ? D 的余弦值.

G

D D C C

21. (本题满分 15 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 8, BC ? 4, E , F , G, H 分别为四边的中点, 且都在坐标轴上,设 OP ? ? OF , CQ ? ? CF (? ? 0) . (Ⅰ)求直线 EP 与 GQ 的交点 M 的轨迹 ? 的方程;
2 2 2 (Ⅱ)过圆 x ? y ? r (0 ? r ? 2) 上一点 N

?

?

?

?

y G M H A o E P C Q F B x

D

作圆的切线与轨迹 ? 交于 S , T 两点,

2 若 NS ? NT ? r ? 0 ,试求出 r 的值.

?

?

2 22. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ln x

(Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ? cos 2 x ,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量 xi (i ? 1, 2,3) 使得

f ( xi ) ? g ( xi ) 的值相等,若存在,请求出 a 的范围,若不存在,请说明理由?

2013 年高考模拟试卷数学参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题5分,共 50分) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 D 5 C 6 C 7 A 8 B 9 A 10 B

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题4分,共 28 分) 11. 2

4 12. 3

13.?

3 14. - 2 2

15.100

16.15

1 1 ?a? 2 17. 2 ?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18. (本小题满分14 分)

1 1 tan ?BAD ? , tan ?CAD ? 3 2, 解: (I)由已知得

……………………………………2 分

1 1 ? 3 2 ?1 tan ?BAC ? tan(?BAD ? ?CAD) ? 1 1 1? ? 3 2 则 ,

…………………5 分

又 ?BAC ? (0, ? ) ,故

?BAC ?

?
4. .…………………7 分
A

(II)设 BD ? 2t (t ? 0) ,则 DC ? 3t , AD ? 6t ,
2 由已知得 15t ? 15 ,则 t ? 1 ,

E

故 BD ? 2 , DC ? 3, AD ? 6 ,

…………………………………10 分

B

D

C

AE ?


AB ? 10, AC ? 3 5 2 , …………………12 分

由余弦定理得 CE ? 5 . ……………………………………14 分 19. (本小题满分 14 分)

1 解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为 3 ,去参加乙项目联欢的概率 2 A 为 3 . 设 “ 这 4 个 人 中 恰 有 i 人 去 参 加 甲 项 目 联 欢 ” 为 事 件 i , (i ? 0,1, 2,3, 4) , 则

2 i 1 P( Ai ) ? C4 ( )i ( ) 4?i 3 3 .
( Ⅰ ) 这 4 个 人 中 恰 好 有 2 人 去 参 加 甲 项 目 联 欢 的 概 率

2 8 2 1 P( A2 ) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? 3 3 27 -------------------4 分
(Ⅱ)设“这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件 B ,

B ? A3 ? A4 ,

2 1 3 1 4 1 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( )3 ( ) ? C4 ( ) 4 ? 3 3 3 9. 故

∴这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为

1 9 .-------------------8 分
(III) ? 的所有可能取值为 0,2,4.

8 P(? ? 0 )? P (A ) ? 2 27



P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ?

40 17 , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? , 81 81

所以 ? 的分布列是

?

0

2

4

P
E? ?
分 20. (本小题满分14 分)

8 27

40 81

17 81

148 8 1 .-----------------------------------------------------------------------------------------------12

证明: (I)方法一:由 AE ? 平面 BCD 得 AE ? CD , 又 AD ? CD ,则 CD ? 平面 AED , 故 CD ? DE ,…………………………………………3 分 同理可得 CB ? BE ,则 BCDE 为矩形,又 BC ? CD , 则 BCDE 为正方形,故 CE ? BD .…………………6 分 方法二:由已知可得 AB ? BD ? AD ? 6 2 ,设 O 为 BD 的中点,则 AO ? BD, CO ? BD , 则 BD ? 平面 AOC ,故平面 BCD ? 平面 AOC ,则顶点 A 在底面 BCD 上的射影 E 必在

OC ,故 CE ? BD .
(II)方法一:由(I)的证明过程知 OD ? 平面 AEC ,过 O 作 OF ? EG ,垂足为 F ,则易 证得 DF ? EG ,故 ?OFD 即为二面角 C ? EG ? D 的平面角,……………………………9 分 由已知可得 AE ? 6 ,则 AE ? AG ? AC ,故 EG ? AC ,则
2

OF ?

CG ?2 3 2 ,

又 OD ? 3 2 ,则 DF ? 30 ,……………………………………………………………… 12 分

cos ?OFD ?


10 10 5 ,即二面角 C ? EG ? D 的余弦值为 5 .………………………14 分

方法二: 由(I)的证明过程知 BCDE 为正方形,如图建立坐 标系,则 E (0,0,0), D(0,6,0), A(0,0,6), B(6,0,0), C(6,6,0) ,

可得 G(2, 2, 4) ,…………………………………………9 分 则 ED ? (0,6,0), EG ? (2,2,4) ,易知平面 CEG 的一个法向量为 BD ? (?6,6,0) ,设平面 DEG 的一个法向量为
? ? ?

?

n ? ( x, y,1) ,则由

?? ? ? n? ED ? 0 ?? ? ? n? EG ? 0 ?
?

得 n ? (?2,0,1) ,…………11 分

?

cos? BD? n ? ?


?

?

BD? n
? ?

?

?

BD n
分 21. (本小题满分15 分)

10 5

10 ,即二面角 C ? EG ? D 的余弦值为 5 .………………14

解: (I)设 M ( x, y ) ,由已知得 P(4? ,0), Q(4, 2 ? 2? ) ,

则直线 EP 的方程为 分

y?

x ?x ?2 y?? ?2 GQ 的方程为 2? 2 ,直线 , ………………………4

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 消去 ? 即得 M 的轨迹 ? 的方程为 16 4 .……………………………6 分
(II)方法一:由已知得

NS NT ? ON

2

,又 ON ? ST ,则 OS ? OT ,……………8 分

x2 y 2 ? ?1 2 2 2 设直线 ST : y ? kx ? m(m ? ?2) 代入 16 4 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?16 ? 0 ,


S ( x1, y1 ), T ( x2 , y2 ) ,
x1 ? x2 ? ? 8km 4m2 ? 16 , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 .…10 分

y G S o E N T H A F B x C



D

x x ? y1 y2 ? 0 , 由 OS ? OT 得 1 2


km( x1 ? x2 ) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? m2 ? 0 ,
2 2

则 5m ? 16(1 ? k ) , ……………………12 分

r?
又 O 到直线 ST 的距离为

m 1 ? k ,故
2

r?

4 5 ? (0, 2) 5 .

经检验当直线 ST 的斜率不存在时也满足. …………………………………15 分

方法二:设

N ( x0 , y0 ) ,则 x02 ? y02 ? r 2 ,且可得直线 ST 的方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 …10 分

x2 y 2 ? ?1 ( y 2 ? 4x02 ) x2 ? 8r 2 x0 x ? 4r 4 ?16 y02 ? 0 , 代入 16 4 得 0

x02 (1 ? 2 )( x2 ? x0 )( x0 ? x1 ) ? r 2 2 NS NT ? ON x ( x ? x2 ) ? x1x2 ? r 2 ,…12 分 y0 由 得 ,即 0 1 8r 2 x0 2 ? 4r 4 ? 16 y02 4 5 ? r2 r? ? (0, 2) 2 2 y0 ? 4 x0 5 则 ,故 .…………………………15 分
22. (本小题满分15 分)

f ' ( x) ? 4 x ?
解: (I)由已知得

4 4( x 2 ? 1) ? x x , …………………………………………2 分

' 则当 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,可得函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数, ' 当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,可得函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数, …………………………5 分

故函数 f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 2 . .……………………………………………6 分 (II)若存在,设 在

f ( xi ) ? g ( xi ) ? m(i ? 1, 2,3) ,则对于某一实数 m 方程 f ( x) ? g ( x) ? m
上 有 三 个 不 等 的 实

(0, ??)

根, …………………………………………………………………8 分 设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? m ? 2x ? a ln x ? cos 2 x ? m ,
2

F ' ( x) ? 4 x ?


a ? 2sin 2 x( x ? 0) x 有两个不同的零点. ………………………10 分
2 2

方法一: a ? 4x ? 2x sin 2x( x ? 0) 有两个不同的解,设 G( x) ? 4x ? 2x sin 2 x( x ? 0) , 则 G ( x) ? 8x ? 2sin 2 x ? 4 x cos 2 x ? 2(2 x ? sin 2 x) ? 4 x(1 ? cos 2 x) ,
'

设 h( x) ? 2 x ? sin 2 x ,则 h ( x) ? 2 ? 2cos 2 x ? 0 ,故 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,
'

则当 x ? 0 时 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 2 x ? sin 2 x ,…………………………………12 分 又 1 ? cos 2 x ? 0 ,则 G ( x) ? 0 故 G ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, ……………………14 分
'

则 a ? 4x ? 2x sin 2x( x ? 0) 至多只有一个解,故不存在.………………………15 分
2

a 0 ? 4 x ? 2sin 2 x ? ( x ? 0) x 方法二:关于方程 的解,
当 a ? 0 时,由方法一知 2 x ? sin 2 x ,则此方程无解, ……………………………12 分

a H ( x) ? 4 x ? 2sin 2 x ? ( x ? 0) x 当 a ? 0 时,可以证明 是增函数,则此方程至多只有一个解,
故不存在.………………………………………………………………………………15 分



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