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§7.4.2运用平面向量的坐标求内积


运用平面向量的坐标
求内积

§7.4.2

向量的内积(数量积)的概念

? ? ? ? 把乘积 a b cos ? 叫做 a与 b的内积(或数量积). ? ? ? ? 即a ? b ? a b cos ?

向量的内积的运算律

向量内积满足以下运算律 ? ? ?

? ⑴ a ?b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ⑵ ? ( a ? ? ) ? ( ?a ) ? b ? a ? ( ? b ) b ? ? ? ? ? ? ⑶ (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c 注意:向量的数量积运算不满足结合律.

这是向量内积 的几何求法

向量的内积的常用结论

? ? 同向时,? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ⑴当 a、b a ? b ? a b , 特别地 a ? a ? a , a ? a ? a ? ? ? ? 反向时,? ? ⑵当 a、b a ?b ? ? a b , ? ? 时,? ? ⑶当 a ? b a ? b ? 0.

你会吗? ? ? ? ? ? ? ? ① a ? 8, b ? 4,〈a , b〉 30 ,求a ? b . ? ? ? ? ? ? ? ②已知 a ? 4, b ? 4, a ? b ? 8 2, 求a与b的夹角? . ??? ??? ? ? ③在?ABC中,若 AB ? BC ? 0,判断?ABC的形状. 填空:

? ? 若i 是x轴上的单位向量, j 是 y轴上的单位向量, ? ? ? ? ? ? ? ? 则i ? i =___, j ? j =___, i ? j =___, j ? i =___.

? ? ? 已知 i ,j 是直角坐标平面上的单位向量, ? ( x1 , y1 ) , a ? ? ? ,你能用坐标表示 a ? b 吗? b ? ( x2 , y2 ) ? ? ? ? ? ? 探究: a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2i ? y2 j ) ? ? ? ? ? ? ? ? 这是向量内积 ? x1 x2i ? i ? x1 y2i ? j ? x2 y1 j ? i ? y1 y2 j ? j ? ? ? ? ? ? ? 的坐标求法 ? 因为 i ? i ? j ? j ? 1, i ? j ? j ? i ? 0, ? ? 所以 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
定理: 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和.

? ? ? ? 推论: a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? ? a ?b ? ? x1 x2 ? y1 y2 cos a , b〉 ? ? ? 〈 ? . 2 2 2 2 a b x1 ? y1 ? x2 ? y2

? ? ? ? ?1?已知a ? (4, ?3), b ? (?1, 2), 求a ? b ; ? ? ? ? ? 2 ?已知a ? (?2,3), b ? (0, ?3), 求3a ? 2b. ? ? 解:?1? a ? b ? 4 ? (?1) ? (?3) ? 2 ? ?10. ? ? ? 2 ? ? 3a ? (?6,9), 2b ? (0, ?6) ? ? ? 3a ? 2b ? (?6) ? 0 ? 9 ? (?6) ? ?54.

? ? ? ? ? 3?已知a ? (?2, 4), b ? (6,1), 求a ? b . ? ? ? ? ? ? ? 4 ?已知a ? (?2,3), b ? (0, ?3), 求(a ? b ) ? (a ? b ).

? ? ?? ? ? ? ? 已知 a ? (3,?1), b ? (1, ?2), 求 a ? b , , , a, 〉 a b 〈 b . ? ? 解: a ? b ? 3 ?1 ? (?1) ? (?2) ? 3 ? 2 ? 5, ? a ? 32 ? (?1) 2 ? 10,

π ? ? a, b〉 . 〈 ? 4

? b ? 12 ? (?2)2 ?? 5. ? ? 5 2 a ?b ? ? , ? cos a, b〉 ? ? ? 〈 ? 2 10 ? 5 a b ?

? ? ?? ①已知 a ? (?2, 0), b ? (0, 2), 求〈a, 〉 b . ? ? ? ②已知 a ? (2,1), a ? 2b ? (4,5), 求cosθ 的值.

? ? 解:?1? ? a ? b ? 6 ? (?2) ? 3 ? 4 ? 0, ? ? ?所以a ? b. ? ? ? 2 ? ? a ? b ? 1? 0 ? (- 2)? 3 ? ?6 ? 0 ? ? ?所以a与b 不互相垂直.

判断下列各组向量是否垂直: ? ? ? ? ?1? a ? (6,3),b ? (?2,4); ? 2 ? a ? (1, ? 2),b ? (0,3).

? ? ? ? 已知a ? (?2, 4), b ? (6, m), 且a ? b ,求m.

已知 A(1 2),B(2,,C (?2,5). , 3) 求证: ? AC AB ??? ? 证明: AB ? (2, ? (1 2) ? (11) ? 3) , ,,
AC ? (?2, ? (1,) ? (?3,, 5) 2 3) ??? ??? ? ? ? AB ? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0.

所以 AB ? AC.

已知:A(1, 2),B(2,3),C(-2,5), 求证:△ABC是直角三角形.

? ? ? ? ? ? (1)已知a ? (3,4),b ? (2, ? 1),且(a ? mb) ? (a ? b),求m的值. ? ? ? ? ? ? (2)已知a ? (1,2), b ? (n,1),且(a ? 2b) ? (2a ? b),求n的值. ? ? ? ? b (1,5) ( 解: 1) a ? mb ? (3 ? 2m,4 ? m), a ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ( ? ? ? a ? mb)(a ? b) ? a ? mb) a ? b) 0 ( ? 23 即(3 ? 2m)1 ? 4 ? m) 5 ? 0 ? m ? ? ( ? 3 ? ? ? ? (2) a ? 2b ? (1 ? 2n, 4), 2a ? b ? 2 ? n,3) ( ? ? ? ? ? a ? 2b) 2a ? b) ( ( ? 1 ? 1 ? 2n) 3 ? 4 ? 2 ? n) 0, ? n ? ( ? ( ? 2 ??? ? ???? 在Rt△ABC中, AB ? (2,3), AC ? (1, m), 求m的值.

向量的内积的坐标表示
定理: 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和.

? ? ? ? 若a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则a ? b ? x1 x2 +y1 y2

? ? 推论: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 x1 x2 ? y1 y2 ? ? . cos a , b〉 〈 ? x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2

课外作业:P59习题


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