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人教版高中数学必修四和必修五知识点归纳


高中数学必修四知识点
张趁

第一章 三角函数

任意角与弧度制; 单位圆

任意角的 三角函数

三角函数线; 三角函数的图 像和性质

三角函数模 型的简单应 用

同角三角函数的 基本关系式

诱导公式

1.1任意角与弧度制
教学目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握 区间角的集合的书写. 理解弧度的意义;了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系; 熟记特殊角的弧度数 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. “角度制”与“弧度制”的区别与联系

难点突破
1 、 终 边 相 同 的 角 的 集 合 : S = { ? | ? = k ? 3 6 0 + ? ,k ? Z } ,
?

相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等, 终 边 相 同 的 角 有 无 数 个 , 它 们 之 间 相 差 360 的 整 数 倍 。 2、 象 限 角 和 轴 线 角 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 若 角 的 顶 点 与 坐 标 原 点 重 合 , 角 的 始 边 与 x轴 的 正 半 轴 重 合 , 此 时 , 角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角,如果角 的终边与坐标轴重合,就说这个角不属于任何象限,称之 为轴线角或象限界角。 例:已知角?是第三象限角,则
?

?
2

是第几象限角。

3、 角 的 集 合 的 表 示 方 法 不 是 唯 一 的 , 如 , 终 边 在 Y轴 负 半 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为 { x |x = k ? 3 6 0 -9 0 ,k ? Z } , 也 可 以 表 示 为 { x |x = k ? 3 6 0 + 2 7 0 ,k ? Z }
4、 角 度 与 弧 度 的 互 化 1 =
?

?

?

?

?

?
180

r a d ? 0 .0 1 7 4 5 r a d ,

? 180 ? 1r a d = ? ? ? ? ?

?

? 5 7 .3 0

?

1.2任意角的三角函数
教学目的: 1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式; 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 4、能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联 系; 5.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 教学重点: 正弦、余弦、正切线的概念。 同角三角函数的基本关系式 教学难点: 正弦、余弦、正切线的利用。 三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用

难点突破
1、 设 ? 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , ? 的 终 边 上 任 意 一 点 P的 坐 标 是 ( x , y ), 它 与 原 点 的 距 离 是 r (r= x + y > 0 ), 则 sin ? =
2 2

y r

, cos ? = 3 4

x r

, ta n ? =

y x

(x ? 0 )

如 、 若 ? 的 终 边 上 有 一 点 P (-4 , a ), sin ? c o s ? =

,则 a 的 值 是 (



2、 三 角 函 数 在 各 象 限 的 符 号 : 第 一 象 限 全 为 正 , 第 二 象 限 正 弦 为 正 , 第三象限正切为正,第四象限余弦为正。 如 : s i n ? - c o s ? > 1, 则 角 ? 在 第 ( )象限。

3、 已 知 角 ?的 一 个 三 角 函 数 值 , 求 其 他 三 角 函 数 值 时 , 如 果 应 用 平 方 关 系 求三角函数值,就要进行分类讨论,先确定角的终边所在的象限,再进 一步确定三角函数值的符号。 如 : 已 知 ? 是 第 二 象 限 角 , ? =tan 1 2 , 则 co s ? = ( )

1.3诱导公式
教学目标 ⑴理解正弦、余弦的诱导公式. ⑵培养学生化归、转化的能力. 教学重点 掌握诱导公式四、五的推导,能观察分析公式的特点,明确公式用途,熟练驾 驭公式.

教学难点 运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明.

难点突破
1、六个诱导公式可以利用口诀简化记忆“奇变偶不变,符号看象限”
sin( 180 ? ? ? ) ? ? sin ?
?
2 ? ? ) ? cos ?

cos( 180 ? ? ? ) ? ? cos ?
?
2 ? ? ) ? sin ?

tan( 180 ? ? ? ) ? tan ?

sin(

cos(

2、三角函数的简化过程口诀: 负化正,正化小,化到锐角就行了. 如:求下列函数值:
(1) cos 65 ? 6 , ( 2 ) sin( ? 31 ? 4 ), ( 3 ) sin 670 ? , ( 4 ) tan 580 ? .

如、已知 sin( ? ? ? ) ?

4 5

, 且 sin ? cos ? ? 0 , 求

2 sin( ? ? ? ) ? 3 tan( 3? ? ? ) 4 cos( ? ? 3? )

的值 .

1.4正弦、余弦函数的图象
教学目的: (1)利用单位圆中的三角函数线作出 的图象,明确图象的形状; ? (2)根据 cos x ? sin( x ? 2 ) 关系 ,作出 y ? cos x , x ? R 的图象; (3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有 关问题; (4)要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义; 教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 正、余弦函数的周期性

教学难点:作余弦函数的图象。 正、余弦函数周期性的理解与应用

难点突破
1、通过几何法(单位圆)引导学生画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图像,根据作 图过程总结出画三角函数图像的五点法,但要指出在精确度要求不高时,才会经常采用 五点法作图辅助解题。
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

Y=tanx

?

3 2

?

??

?

?
2

0

?
2

?

3 2

?

x

2、根据三角函数图像总结它们的定义域、值域、奇偶性、最值、单调性、对称 轴、对称中心、最小正周期等性质。

3 、 一 般 地 , 如 果 T 为 函 数 f (x ) 的 周 期 , 则 n T (n ? z ) 也 是 函 数 f(x ) 的 周 期 。 4、 判 断 三 角 函 数 的 奇 偶 性 首 先 要 看 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 , 若 满 足 , 再 看 f (x ) 与 f(-x ) 的 关 系 , 常 见 的 奇 函 数 有 y= A s in ? x 或 y= A ta n ? x , 偶 函 数 有 y = A c o s ? x + b . 5、 三 角 函 数 的 定 义 域 是 研 究 三 角 函 数 一 切 性 质 的 前 提 , 求 三 角 函 数 的 定义域其实就是解最简单的三角不等式(组),可利用图像求解,通 常 要 考 虑 周 期 的 影 响 , 如 s in x > 1 2 就没有最小正周期。 的 解 集 是 (2k? +

?
6

,2 k ? +

5? 6

)k ? Z ,

6 、 并 不 是 所 有 的 周 期 函 数 都 有 最 小 正 周 期 , 比 如 函 数 f (x )= c (c 为 常 数 )

1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
教学目标 (1)了解三种变换的有关概念; (2)能进行三种变换综合应用; (3)掌握y=Asin(ωx+φ)+h的图像信息. 教学重点 处理三种变换的综合应用时的图象信息.

教学难点 处理三种变换的综合应用时的图象信息.

难点突破
1 、 函 数 y = A s in ( ? x + ? )(A > 0 , ? > 0 ) 的 图 像 在 作 图 时 , 就 是 通 过 变 量 代 换 , 设 z = ? x + ? ,

? 3? 令 z 分 别 取 0、 、 ? 、 、? 来 求 相 应 的 x, 通 过 列 表 , 计 算 五 点 的 坐 标 , 描 点 得 到 图 像 。 2 2 2
2 、 由 y = A s in ( ? x + ? )(A > 0 , ? > 0 ) 的 一 段 图 像 求 这 个 函 数 的 解 析 式 , 结 果 往 往 不 统 一 , 要 具 体 问 题 具 体 分 析 , 由 周 期 T 求 ?, 确 定 ? 时 , 若 能 求 出 距 离 远 点 最 近 的 右 侧 图 像 上 升 ( 或 下 降 ) 的 零 点 的 横 坐 标 x 0 ,令 ? x 0 + ? = 0 ( 或 ? x 0 + ? = ? ) , 即 可 求 出 ? , 也 可 以 用 最高点或者最低点的坐标来求,如果对?有范围要求,则可用诱导公式转化。

y

例. 由右图所示函数图象,

求 .
?

2 1
? o
8 3? 8 7? 8

y ? A sin( ? x ? ? )(| ? |? ? )的表达式

x

?2
3 、 y = A sin ( ? x + ? )(A > 0 , ? > 0 ) 的 单 调 性 的 讨 论 的 基 本 方 法 是 将 ? x + ? 作 为 一 个 整 体 来 处 理 , 带 入

正 弦 函 数 的 增 区 间 或 者 减 区 间 , 求 出 的 区 间 即 为 y = A sin ( ? x + ? )(A > 0 , ? > 0 ) 的 增 区 间 或 者 减 区 间 , 但 是 当 A ? 0 , ? < 0时 , 需 要 先 用 诱 导 公 式 将 函 数 y = A sin ( ? x + ? ) 变 形 为 y = - A sin (- ? x - ? ) , 则 y = A sin (- ? x - ? ) 的 增 区 间 即 为 原 函 数 的 减 区 间 , 减 区 间 为 原 函 数 的 增 区 间 。

1.6三角函数模型的简单应用
教学目的 1.掌握三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到 函数模型. 教学重点 根据数据得到函数模型 教学难点 总结三角函数模型应用基本步骤

难点突破
三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际问题中 有着广泛的应用,如交流电问题、缆车的高度问题等,对于 三 角 函 数 模 型 , 如 y = A sin ( ? x + ? )(A > 0 , ? > 0 ) 等 类 型 的 问 题 , 通常的办法是先从给定的图标中设法求出相应的参数,再利 用函数式解决有关问题。
一根为Lcm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,组成一个单摆,小球摆动时,离 ? ? 开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是 s ? 3 sin ? g t ? ? ? , t ? [ 0 , ?? ) , ? ?
? l 6?

(1)求小球摆动的周期和频率;(2)已知g=980cm/s2,要使小球摆动的周期恰好 是1秒,线的长度l应当是多少? 解: g 2? l 1 g ?? ? ?T ? ? 2? , f ? l ? g 2? l (1)
g 4?
2

(2) 若 T ? 1,即 l ?

? 24 . 8 cm

第二章 平面向量

实际背景

向量

向量及其基本概念

线性运算

向量的数量积

基本定理

坐标表示

向量的应用

2.1向量的物理背景与概念及向量的几何表示

教学目标: 了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、 零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、 相等向量和共线向量. 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的 能力. 教学重点: 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示 向量. 教学难点: 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

难点突破
1、向量是区别于数量的一种量,既有大小,又有方向,任意两个向量不能比较 大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小。 2、由向量的定义可知,只要不改变它的大小和方向,它是可以任意平行移动的, 因此用有向线段表示向量时,可以任意选取起点,所以任意一组平行向量都可以 平移到一条直线上。 3、共线向量的方向可以相反也可以相同,但是共向向量的方向只能是相同的。

2.2向量的线性运算及其几何意义
教学目标: 掌握向量的加法、减法、数乘运算,并理解其几何意义; 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量线性运算的交换律和结 合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点: 会用向量的运算法则作两个向量的线性运算. 教学难点: 理解向量加法、减法、数乘的定义.

难点突破
1、 线 段 中 点 的 向 量 表 示 : 若 M是 线 段 AB的 中 点 , O ???? ? ? ??? ? 1 ??? 则OM ? (O A ? O B ) 2 2 、 向 量 加 法 的 多 边 形 法 则 : 有 限 个 向 量 a 1 , a 2 , a 3 ----- a n 相 加 , 可 以 从 ???? ????? ????? ??????? 点 O 出 发 , 逐 一 做 向 量 O A1 ? a 1 , A1 A 2 ? a 2 , A 2 A 3 ? a 3 ,----- A n ? 1 A n ? a n , 则 ???? ????? ?????? ? ???? ? a 1 + a 2 + ---+ a n = O A1 + A1 A 2 + - ---+ A n -1 A n = O A n 当 An 与 O 重 合 时 , 和 向 量 为 零 向 量 。 ??? ? ??? ? ??? ? 3 、 减 法 公 式 A B ? A C ? C B常 用 语 向 量 式 的 化 简 。 是平面内任一点,

4、 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 的 要 素 是 “ 首 尾 相 接 , 指 向 中 点 ” , 向量减法的三角形法则的要素是“起点重合,指向被减向量” 向量加法的平行四边形法则的要素是“起点重合” ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 5 、 A 、 B 、 P 三 点 共 线 ? A P ? ? A B ( ? ? 0 ) ? O P ? (1 ? t ) O A ? t O B (其 中 O 为 平 面 内 任 一 点 , t ? R ) 如 : 设 a 或 b 是 两 个 不 共 线 向 量 , 且 向 量 a + ? b 与 -( b -2 a ) 共 线 , 则

? =(



2.3平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的: (1)了解平面向量基本定理;理解平面向量的坐标的概念; (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握 应用向量解决实际问题的重要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点:平面向量基本定理.

教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准 确性.

难点突破
1、 零 向 量 不 能 做 基 底 , 两 个 非 零 向 量 共 线 时 不 能 做 基 底 , 平 面 内 任 意 两个不共线的向量都可以做基底,一旦选择了一组基底,则定向量沿 基底的分解是唯一的。

2 、 设 e 1 , e 2 是 同 一 个 平 面 内 的 一 组 基 底 , 如 果 有 且 只 有 一 对 实 数 ? 1, ? 2, 使 a = ? 1 e1 + ? 2 e 2 , 则 a , e1 , e 2 共 面 。 3、 利 用 平 面 向 量 基 本 定 理 解 题 , 首 先 要 选 定 一 组 基 底 , 再 把 相 关 的 向 量 用基底表示,带入等式即可求出相关系数。 如 : 在 平 行 四 边 形 ABCD中 , E和 F分 别 是 边 CD和 BC的 中 点 , 若 ???? ??? ? ???? A C ? ? A E ? ? A F , ? 、 ? ? R, 则 ? ? ? ? ( )

2.4平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

难点突破
1、向量的数量积有两种计算方法:一是依据模与夹角来计算,二是依据坐标来计算,具 体应用时根据已知条件的特征来选择。
2 、 根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 性 质 : |= |a cos ? = a?b |a ||b | = x1 x 2 + y 1 y 2 x1 + y 1 ?
2 2

a?a=

x1 + y 1 ,

2

2

x2 + y2

2

2

, a ? b ? a ? b = 0 ? x1 x 2 + y 1 y 2 = 0 等 , 可 以

用来解决有关长度、角度、垂直的问题。

3 、 x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0 与 x1 x 2 + y 1 y 2 = 0 不 同 , 前 者 是 两 向 量 a = (x 1 ,y 1 ),b = (x 2 ,y 2 ) 共线的充要条件,后者是两向量垂直的充要条件。

第三章 三角恒等变换 差 角 余 弦 公 式 和 ( 差 ) 角 公 式 倍 角 公 式

简单三角恒等变换

3.1—3.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式及三角变换
教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理解公式 的结构及其功能,为建立其它和(差)公式打好基础. 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法, 体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及 类型的变换

教学重点: 通过探索得到两角差的余弦公式; 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 教学难点: 探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题,还有探索过 程必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方法的能力问题,等等. 两角和、差正弦和正切公式的灵活运用;

难点突破
1、 要 能 熟 练 推 证 公 式 , 熟 悉 公 式 的 正 用 、 逆 用 , 还 要 熟 练 掌 握 公式的变形应用。 如两角和(差)的正切公式可以变形为: t a n ? + ta n ? = ta n ( ? + ? )(1 -ta n ? ta n ? ) t a n ? - ta n ? = ta n ( ? - ? )(1 + ta n ? ta n ? ) 余 弦 二 倍 角 公 式 有 多 种 形 式 , 即 c o s 2 ? = c o s ? -s in ? = 2 c o s ? -1 = 1 -2 s in ? ,
2 2 2 2

变 形 公 式 为 s in ? =
2

1- c o s 2 ? 2

,c o s ? =
2

1+ c o s 2 ? 2

,它 的 双 向 应 用 分 别 起 到

缩角升幂和扩角降幂的作用。 2 、 对 于 形 如 a s in ? + b c o s ? 的 式 子 , 都 可 通 过 合 理 的 变 形 , 借 助 两 角 和 与 差 的三角函数公式的逆用,化为只含有一个三角函数的形式, 即 asin? +bcos? = a +b
2 2

s in ( ? + ? )( 其 中 ta n ? =

b a

), 这 个 公 式 成 为 辅 助 角 公

式,它在解决三角函数问题中具有广泛的应用。 如 : 已 知 a c o s ? + b s i n ? = c , a c o s ? + b s i n ? = c (a b ? 0 , ? - ? ? k ? ,k ? Z ), 则 cos
2

? -?
2

=(

)

3、 三 角 函 数 恒 等 变 形 常 用 方 法 : 正 切 化 弦 、 常 数 代 换 、 角 的 变 换 、 降 幂 转 化 、 逆用公式、变形后用公式等。

必修五知识点整理

张趁

第一章 解三角形

正弦定理
解三角形 余弦定理 应用举例

第一章 解三角形
课标要求 本章的中心内容是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具, 最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习,学生应当达到以下学习目标: (1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角形度量问题。 (2)能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何 计算有关的生活实际问题。

难点突破
1、在高考题中,有关解三角函数的问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用 三角公式进行恒等变形的能力,以化简、求值、或判断三角形形状为主,也与 其他知识相结合,考查解决综合问题的能力,有关解三角形的题型,选择题、 填空题、解答题都可能出现,一般为容易题和中档题。
a b c 2、 正 弦 定 理 的 一 个 推 论 : = = = 2 R ,其 中 R 为 三 角 形 外 接 圆 的 半 径 。 s in A s in B s in C 3、 常 用 的 三 角 形 面 积 公 式 有 : S= S ? 1 2 a b s in C = 1 2 a c s in B = 1 2 b c s in A

s ( s - a ) (s -b )(s -c ) = s r, 其 中 s 为 三 角 形 周 长 的 一 半 , r 为 内 切 圆 半 径 。 S= abc 4R , R为 外 接 圆 半 径 。

4、 利 用 正 弦 定 理 , 可 以 解 决 一 下 两 类 问 题 : (1 ) 已 知 两 角 和 任 一 边 , 求 其 他 两 边 和 一 角 (2) 已 知 两 边 和 其 中 一 边 的 对 角 , 求 另 外 两 角 和 一 边 。

5、 由 正 弦 定 理 可 以 得 到 : 在 三 角 形 中 , 大 角 对 大 边 , 大 角 的 正 弦 值 也 较 大 , 正 弦 值 较 大 的 角 也 较 大 , 即 A>B ? a >b ? sinA>sinB 6、 利 用 余 弦 定 理 , 可 以 解 决 以 下 两 类 有 关 解 三 角 形 的 知 识 : (1 ) 已 知 三 边 , 求 三 个 角 。 (2) 已 知 两 边 和 它 们 的 夹 角 , 求 第 三 边 和 其 他 两 角 。 7、 常 用 的 边 角 转 化 方 法 : (1 ) 化 边 为 角 , 走 三 角 变 形 之 路 , 常 用 的 转 化 方 式 有 : a = 2RsinA,b= 2RsinB,c = 2RsinC; a b
2

=

s in A s in B
2 2

,

c b

=

s in C s in B

,

a c
2

=

s in A s in C
2 2

; =cosB , c + b -a 2cb
2 2 2

a + b -c 2ab

=cosC,

a + c -b 2ac

=cosA .

(2) 化 角 为 边 , 走 代 数 变 形 之 路 , 常 用 的 转 化 方 式 有 : sinA =
2 2

a 2R
2

,

sinB =
2

b 2R

,
2 2

sinC= =cosB, a c ;

c 2R

; c + b -a 2cb
2 2 2

a + b -c 2ab s in A s in B =

=cosC, , s in C s in B = c b

a + c -b 2ac s in A s in C

=cosA.

a b

,

=

第二章 数列
通项公式 等 差 数 列

前n项和公式 数 列 的 应 用 通项公式

数 列

等 比 数 列 前n项和公式

2.1数列的概念与简单表示法
教学目标 知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的 通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据 其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法:通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养 学生的观察能力和抽象概括能力. 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的 兴趣。 教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用

教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式

难点突破 1、数列与数集的区别与联系:数列与数集都是具有某种共同属性的数的全体, 数列中的数是有序的,而数集中的数是无序的,数列中的数是可以重复的, 而数集中的数不能重复,具有互异性。 2、并不是每一个数列都有通项公式,如果一个数列有通项公式,那么它的通 项公式在形式上可以不止一个。
? s1 (n = 1 ) 3、 a n 与 s n的 关 系 : a n = ? ? s n - s n -1 (n ? 2 ) 4 、 已 知 数 列 的 前 n 项 和 公 式 s n, 求 a n的 方 法 : 第 一 步 : 求 a 1 = s1 , 第 二 步 , 当 n ? 2 时 , 求 a n = s n - s n -1 , 第 三 步 , 检 验 a 1是 否 适 合 当 n ? 2时 得 到 的 a n , 若 适 合 , 则 将 a n用 一 个 式 子 表 示 , 若 不 适 合 , 将 an用 分 段 形 式 表 示 。 如 : 设 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 s n = n , 则 a 8的 值 是 (
2



5 、 已 知 a n 与 s n 求 a n的 方 法 : 根 据 已 经 给 出 的 关 系 式 , 令 n = n +1或 n = n -1, 写 出 一 个 a n +1或 a n -1与 s n +1 或 s n -1的 关 系 式 , 然 后 将 两 式 相 减 , 消 去 s n, 得 到 a n 与 a n +1或 a n 与 a n -1的 关 系 , 从 而 确 定 数 列 { a n } 是等差数列还是等比数列或其他数列,然后求出其通项公式。 如 : 已 知 数 列 { a n } 的 通 项 a n 与 前 n 项 和 s n 之 间 满 足 关 系 式 s n = 2 -3 a n , 则 a n = ( )

6、 利 用 数 列 的 递 推 公 式 求 数 列 的 通 项 公 式 , 一 般 有 一 下 三 种 办 法 : (1 ) 累 加 法 : 如 果 已 知 数 列 { a n } 的 相 邻 两 项 a n + 1与 a n的 差 的 一 个 关 系 式 , 我 们 可 依 次 写 出 前 n 项 所 有 相 邻 两 项 的 差 的 关 系 式 , 然 后 把 这 n -1 个 式 子 相 加 , 整 理 求 出 数 列 的 通 项 公 式 。 如 : 已 知 数 列 { a n } 满 足 a1 = 3 3 , a n + 1 - a n = 2 n , 则 an n 的值是( )

( 2 ) 累 积 法 : 如 果 已 知 数 列 { a n } 的 相 邻 两 项 a n + 1 与 a n的 商 的 一 个 关 系 式 , 我 们 可 依 次 写 出 前 n 项 所 有 相 邻 两 项 的 商 的 关 系 式 , 然 后 把 这 n -1 个 式 子 相 乘 , 整 理 求 出 数 列 的 通 项 公 式 。 (3 ) 构 造 法 : 根 据 所 给 数 列 的 递 推 公 式 以 及 其 他 有 关 关 系 式 , 进 行 变 形 整 理 , 构 造 出 一 个 新 的等差或等比数列,利用等差或等比数列的通项公式求解。 ? a n +1 = p a n + q 形如 ? 的 递 推 公 式 ( 其 中 p / q / a 为 常 数 , 且 p ? 1 ), 可 以 令 a n + 1 + ? = p (a n + ? ) , 其 中 a1 = a ?

?=

q p -1

,所 以 数 列 { a n + an pan +q

q p -1

}是 等 比 数 列 。 1 a n +1 q an 1 an

形 如 a n +1 =

的递推公式,两边取导数后换元转化为

=p +

,再 求 出

即可

7、 已 知 数 列 的 通 项 公 式 , 求 数 列 的 某 一 项 时 , 特 别 是 当 数 项 教 大 时 , 一 般 可 以 先 研 究 该 数 列 的 周期性,然后根据周期性进行求解。 如 : 已 知 数 列 { a n } 满 足 a n +1 = 1 -a n + 1 , 若 a1 = 1 2 ,则 a 2011 = ( )

2.2等差数列
教学目标 知识与技能:了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义 判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公 式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项 过程与方法:经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的 过程。 情感态度与价值观:通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的 能力,积极思维,追求新知的创新意识。 教学重点 等差数列的概念,等差数列的通项公式。 教学难点 等差数列的性质

难点突破
1、 判 断 或 者 证 明 一 个 数 列 是 等 差 数 列 的 方 法 主 要 是 : (1 ) 定 义 法 : 若 当 n ? 2 , n ? N 时 , 有 a n - a n -1 = d (d 为 常 数 ) , 则 数 列 { a n } 是 等 差 数 列 。
+

(2 ) 等 差 中 项 法 : 若 2 a n +1 = a n + a n + 2 (n ? N ) , 则 数 列 { a n } 是 等 差 数 列 。
+ 2

(3 ) 函 数 法 : 若 a n = kn + b (k ,b 为 常 数 ) 或 者 S n = A n + B n ( A , B 为 常 数 ) , 则 数 列 { a n } 是 等 差 数 列 。 2、 将 等 差 数 列 问 题 化 归 为 基 本 量 的 关 系 来 解 决 是 通 性 通 法 。 一 般 的 , 等 差 数 列 的 五 个 基 本 量 a 1、 a n、 d 、 n、 s n, 知 道 其 中 任 意 三 个 元 素 , 便 可 建 立 方 程 组 求 出 另 外 两 个 量 , 即“知三求二”。 3、 解 决 等 差 数 列 前 n项 和 的 最 值 问 题 , 主 要 有 一 下 两 种 办 法 : (1 ) 利 用 a n: 当 a 1 > 0, d < 0时 , 前 n 项 和 有 最 大 值 , 可 由 a n ? 0 且 a n + 1 ? 0 , 求 得 n的 值 。 当 a 1 < 0, d > 0时 , 前 n 项 和 有 最 小 值 , 可 由 a n ? 0 且 a n + 1 ? 0 , 求 得 n的 值 。 ( 2 ) 利 用 s n: 对 s n = d 2 n + (a 1 2

d 2

) n 进 行 配 方 , 求 s n 取 得 最 值 时 n的 值 。

4、 等 差 数 列 的 常 用 性 质 有 : a n -a m (1 ) a n = a m + (n -m )d 或 d = ( n ? m) n -m (2 ) 若 { a n } 、b n } 是 等 差 数 列 , 则 { c ? a n } 、c+ a n } 、p a n + q b n } 等 数 列 都 是 等 差 数 列 , { { { 其 中 c、 p、 q为 常 数 。 ( 3 ) 若 m + n = p + q , 则 a m + a n = a p + a q , 特 别 的 , 如 果 m + n = 2 t, 则 a m + a n = 2 a t (4 ) 设 S n 是 等 差 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 , 则 S k , S 2 k - S k , S 3 k - S 2 k ----- 构 成 的 数 列 是 等 差 数 列 。 { Sn n }也 是 一 个 等 差 数 列 。

2.4等比数列
教学目标 知识与技能:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导; 过程与方法:通过实例,理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质, 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;体会等比数列与指数 函数的关系。 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活, 并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 教学重点 等比数列的定义及通项公式 教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题

难点突破
1、 判 断 或 者 证 明 一 个 数 列 是 等 比 数 列 的 方 法 主 要 有 : (1 ) 定 义 法 : 若 当 n ? 2 , n ? N 时 , 有
2 ?

an a n -1

= q (q ? 0 , q为 常 数 ), 则 数 列 { a n } 是 等 比 数 列 。

( 2 ) 等 比 中 项 法 : 若 a n +1 = a n a n + 2 ,则 数 列 { a n } 是 等 比 数 列 。 ( 3 ) 利 用 公 式 特 征 : 通 项 公 式 a n = f (n )= c q , 其 函 数 特 征 为 常 数 与 指 数 函 数 的 乘 积 ; 前 n 项 和 公 式 S n = k (1 -q ), 其 特 征 是 q 的 系 数 与 常 数 项 互 为 相 反 数 。 如 : 已 知 数 列 { a n } 中 , a 1 = 2 , 点 (a n ,a n + 1 ) 在 直 线 y= 2 x + 1 上 , 求 数 列 { a n } 的 通 项 公 式 。 2、 等 比 数 列 的 常 用 性 质 有 : (1 ) a n = a m q
n -m n n n

或者q

n -m

=

an ? ( m、 n ? N ) am 1 an } 、a n } 、|a n |} 、a n ? b n } 、 { { { {
2

(2 ) 若 数 列 { a n } 是 等 比 数 列 , 则 { c ? a n } 、 { 其 中 c为 非 零 常 数 。

an bn

}等 也 是 等 比 数 列 ,

( 3 ) 若 m + n = p + q , 则 a m a n = a p a q, 若 m + n = 2 t , 则 a m a n = a t

2

(4 ) 设 S n 是 等 比 数 列 的 前 n 项 和 , 则 S n, S 2 n - S n, S 3 n - S 2 n 满 足 关 系 式 ( S 2 n - S n) = S( S 3 n - S 2 n) 。 n 如 : 数 列 { a n } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ,b n } 是 等 差 数 列 , 且 a 6 = b 7 , 则 a 3 + a 9 ( ) b 4 + b 1 0 {

2

第三章 不等式
不等关系与不等式

一元二次不等式 及其解法

二元一次不等式 与平面区域

基本不等式

简单的线性规划问题

最值问题

3.1一元二次不等式及其解法
【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌 握图象法解一元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的 思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过 函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等 式的解法; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神, 同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

难点突破

1、上述表格给出的是一元二次不等式在a>0情况下的解集,如a<0,则应先根据不 等式的性质,在不等式两边同时乘以-1,将二次项系数转化为正数,再进行求解, 此时不等号需要改变方向。

2、 在 解 决 不 等 式 a x + b x + c > 0 ( ? 0 ) 的 对 于 一 切 x ? R 恒 成 立 问 题 时 ,
2

还 要 注 意 有 时 候 需 要 对 二 次 项 系 数 a进 行 讨 论 , 研 究 当 a =0时 是 否满足题意。

3.2二元一次不等式(组)与平面区域
【教学目标】 1.知识与技能:巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域;能根据实 际问题中的已知条件,找出约束条件; 2.过程与方法:经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集合、化归、数形结合的 数学思想; 3.情态与价值:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学 生创新。 【教学重点】 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画出来; 【教学难点】 把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表示平面区域。

难点突破
1 、 由 于 直 线 A x + B y + C ? 0同 一 侧 的 所 有 点 的 坐 标 代 入 A x + B y + C 后 所 得 实 数 的 符 号 相 同 , 因 此 , 在 实 际 判 断 时 , 往 往 在 某 一 侧 取 一 特 殊 点 ( x 0, y 0) ( 如 原 点 ) , 由 A x + B y + C 的 正 负 即 可 判 断 A x + B y + C > 0 (< 0 ) 表 示 直 线 哪 一 侧 的 平 面 区 域 。 2、 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 是 各 个 不 等 式 所 表 示 的 平 面 区 域 的 公 共 部 分 。 3、 二 元 一 次 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 还 可 以 用 以 下 方 法 来 判 断 : 看 B的 符 号 和 不 等 式 的 符 号 : ?B ? 0 ? B <0 (1 ) B ? 0 时 , 及 ? 表 示 直 线 A x +B y +C ? 0上 方 的 区 域 ; ? Ax+By +C > 0 Ax+By +C < 0 ? ? ?B ? 0 ? B <0 B ? 0时 , 及 ? 表 示 直 线 A x + B y + C ? 0下 方 的 区 域 ; ? Ax+By +C < 0 Ax+By +C > 0 ? ? 即 B的 符 号 和 不 等 式 的 符 号 “ 同 号 在 上 , 异 号 在 下 ” ? B ? 0且 A ? 0 ? B ? 0且 A < 0 (2) B=0时 , 及 ? 表 示 直 线 A x +C = 0右 侧 的 区 域 ; ? Ax+C > 0 Ax+C <0 ? ? ? B ? 0且 A ? 0 ? B ? 0且 A < 0 B=0时 , 及 ? 表 示 直 线 A x +C = 0左 侧 的 区 域 ; ? Ax+C < 0 Ax+C >0 ? ? 即 B=0时 , A的 符 号 和 不 等 式 的 符 号 “ 同 号 在 右 , 异 号 在 左 ”

3.3基本不等式
【教学目标】 1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意 义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴 趣 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 的证明过程; 【教学难点】 基本不等式 等号成立条件

难点突破
基本不等式的变形有一下几种形式: (1 ) a + b ? 2 2ab a +b (4 )x + 1 x 如:求证: (a
2 2

a b (a , b > 0 ) a +b 2 b a ? b )( c 2 x ?
2 2

? a +b ? (2 )a b ? ? ? (a ,b ? R ) ? 2 ? a +b 2
2

2

(3 )

?

ab ?

? + a b

(a ,b > 0 )

? 2 (x > 0 ),

? 2 (a b > 0 )
2 2

? d ) ? (ac ? bd )

若 x > 0 ,y > 0 ,

8 y

? 1, 求 x y 的 最 小 值



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