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电路的计算2


电路的计算
1、在如图 8-14 甲所示电路中,电源 ε = 1.4V,内阻不计,R1 = R4 = 2Ω, R2 = R3 = R5
= 1Ω,试用戴维南定理解流过电阻 R5 的电流。 将电路做“拓扑”变换,成图 8-14 乙图。这时候,P、Q 两点可看成“新电源”的两极,设新电源的 电动势为 ε′,内阻为 r′,则 r′= R1∥R2 + R3∥R4 =4

/3Ω;ε′为 P、Q 开路时的电压。开路 时,R1 电流 I1 和 R3 的电流 I3 相等,I1 = I3 = 7/15A ,则 UQP = 7/15V 8-14 丙时,R5 的电流就好求了。 【答案】电流 0.20A,方向向上。 最后电路演化成图

2、在图所示的电路中,ε1 = 32V,ε2 = 24V,两电源的内阻均不计,
R1 = 5Ω,R2 = 6Ω,R3 = 54Ω,求各支路的电流。 解:由基尔霍夫定律 解得: I1R1+(I1+I2)R3=ε1 I2R2+(I1+I2)R3=ε2 I1=1A 方向向上, I2=-0.5A 方向向下, I3=0.5 方向向下 I1.R1=(I-I1)R2 I1.R3=(I-I1)R4 R1/R3=R2/R4 (即 R1R4=R2R3) 3、如图,要使 R5 上电流为 0(即电桥平衡) ,应满足什么条件?

4、右图中 ε = 100V ,ε′= 40V ,均不计内阻,R = 10Ω,R′= 30Ω,求流
过 R′支路上的电流。 (戴维南定理。 答案:1.0A)

5在右图的电路中求 Uab 。
解略。 答案:Uab = 1.0V 。

6、 将一个电动势为 30V、 内阻为 1.0Ω 的电源与一个标有 “6V, 12W” 字样的灯泡、以及一台线圈电阻为 2.0Ω 的电动机串联构成闭合回路, 小灯泡正常发光。则电机输出的机械功率是多少? Ur = 2.0V UR = 4.0V U = ε ? Ur ? UR ? U 灯 = 18V P 机 = IU 答案:P 机 = 36W 。

7、有电池 10 只,每只电动势为 1.5V ,内阻为 1.5Ω 。要将这些电池如何组合才能使与电池组相 连的、阻值为 5.0Ω 的电阻通过的电流最大?这个最大值使多少? 设 n 串,则必并

10 n

组。 ε = 1.5n

r=

1 .5 n 10 / n

= 0.15n2

I=

1 .5 n 5 ? 0 . 15 n
2



0.15 In2 ? 1.5n + 5I = 0 Imax ≈ 0.866A

由 Δ ≥ 0 知 I2 ≤ 0.75 此时 n =

? ? 1 . 5) ( 2 ? 0 . 15

=5

答案:5 个串联、并成 2 组。 8、电动势、内阻分别为 ε1 、r1 和 ε2 、r2 的电源并联,构成的新电源的电动势 ε 和内阻

r 分别为多少?(ε =

? 1 r2 ? ? 2 r1 r1 ? r2

r=

r1 r2 r1 ? r2



9、已知法拉第恒量 F = 9.65×104C/mol ,金的摩尔质量为 0.1972kg/mol ,金的化合价为 3 ,要 想在电解池中析出 1g 金,需要通过多少电量?金是在电解池的正极板还是在负极板析出? 【解】法拉第电解定律(综合形式)的按部就班应用,即 Q = mFn/M ,代入相关数据(其中 m = 1.0×10?3kg ,n = 3)即可。 【答案】需要 1.47×103C 电量,金在负极板析出。

10、在图 8-19 所示的装置中,如果在 120 分钟内淀积 3.0×1022 个银
原子,银的化合价为 1 。在电流表中显示的示数是多少?若将阿弗伽德罗常数 视为已知量,试求法拉第恒量。 【解】第一问根据电流定义即可求得; 第二问 F =

QM mn

=

3 . 0 ? 10

22

? 1 . 6 ? 10
22 23

? 19

M

3 . 0 ? 10

【 答 案 】 0.667A ;

6 . 02 ? 10
9.63×104C/mol 。

M

11、电解硝酸银溶液时,在阴极上 1 分钟内析出 67.08 毫克银,银的原子量为 107.9 ,求 电路中的电流。已知法拉第恒量 F = 9.68× 4C/mol 。 10 ?6 I = mFn/Mt = 67.08× × 10 9.65× 1/107.9× ?3× 10 60 答案:约为 1.00A 。 12、 一铜导线横截面积为 4 毫升 2 , 秒内有 80 库仑的电量通过该导线的某一截面。 20 22 ?3 已知铜内自由电子密度为 8.5× 10 厘米 ,每个电子的电量为 1.6× ?19 库仑,求电子的定 10 向移动的平均速率。
v =
I neS

答案:7.63× ?5m/s 10 13、某金属材料,其内自由电子相继两次碰撞的时间间隔平均值为τ ,其单位体积内 自由电子个数为 n ,设电子电量为 e ,质量为 m ,试推出此导体的电阻率表达式。
v = vt/2 = aτ /2 = eEτ /2m

= eUτ /2mL neS v = I = ρ= 答案:ρ =
U ne v L
2m ne ?
2

U R

=
U neL

US ?L

=

·

2 mL eU ?

=

2m ne ?
2



14、 用戴维南定理判断: 、 当惠斯登电桥中电流计与电源互换位置后的电流计读数关系 (自 己作图) 。视电流计内阻趋于无穷小,电源内阻不计 电路变换过程如下 I= I′=
(R 1 R R 3 R 4 (R 1 ? R 2 ) ? R 1 R 2 (R
4

? R 2 R 3 )? ? R 4 ) ? (R
3

3

? R 4 )( R 1 ? R 2 ) R

g

(R 1R 4 ? R 2 R 3 )? R 2 R 4 ( R 1 ? R 3 ) ? R 1 R 3 ( R 2 ? R 4 ) ? ( R 2 ? R 4 )( R 1 ? R 3 ) R g

当 Rg → 0 时,I′→ I 答案:趋于相等。

15、图示为电位差计测电池内阻的电路图。实际的电位差计在标准电阻 RAB 上直接刻 度的不是阻值,也不是长度,而是各长度所对应的电位差值,RM 为被测电池的负载电阻, 其值为 100Ω。实验开始时,K2 打开,K1 拨在 1 处,调节 RN 使流过 RAB 的电流准确地达到 某标定值, 然后将 K1 拨至 2 处, 滑动 C , 当检流计指针指零时, 读得 UAC = 1.5025V ;再闭合 K2 ,滑动 C ,检流计指针再指 零时读得 UAC′= 1.4455V ,试据以上数据计算电池内阻 r 。 εx = 1.5025V
R
M

?x
M

r ?R

= 1.4455V

答案:r ≈ 3.943Ω 。

16、 右图电路中, 1 = 40Ω , 2 = R3 = 60Ω ,1 = 5V , R R ε ε2 = 2V ,电源内阻忽略不计,试求电源 ε2 的输出功率。 设 R3 的电流为 (方向向左) 用戴维南定理解得 I = 0 。 I , 答案:零。

17、六个相同的伏特计互相连接如图,A、B 端则与恒压电源相接。若由其中一个的 读数 Ux = 10V ,则其余五个的示数将如何? 答案:V3 示数恒为零。若 V5 示数为 10V,则 V1、V2、V4、 V6 示数必为 5V;若 V1、V2、V4、V6 其中之一示数为 10V,则 V5 示数为 20V,其余示数仍为 10V 。

18、A、B 之间接恒压源,各电阻均为有限值,且令 α = R1/R6,β =(R2 + R3)/(R4 + R5) = R4/(R4 + R5) = R5/R7 。试证:①当 R5 = 0 时,○中无电流的条件是 α = β ; ,λ ,μ G ②当 R5 ≠ 0 时, G 中无电流的条件是 α (β + 〔μ ○ λ)+ 1〕= β 。 证法一:将 CBE 回路作“Δ→Y”型变换; 证法二:基尔霍夫定律。

19、n 组串联电阻接在导线 AB 和 CD 之间。现将一电源接在任意两个 P 点,然后将 其余的任一 P 点切断,发现流过电源的电流不变,则这 n 对 Ri 和 ri 应满足什么关系? 桥式电路? 答案:
R1 r1

=

R r2

2

= ? =

Rn rn

20、 用戴维南定理解右图电路中流过 ε1 的电流。 并问: 若令 ε1 减小 1.5V、 而又要求流过 ε1 的电流不变, 如何调整 ε2 的值?两电源均不计内阻。 将电路作图示的变换,则有 ε′= ε2/4 r′= 5R/4 I=
? 2 ? 4? 1 5R

答案:ε2 减小 6V 。

21、已知镍的密度 ρ = 8.8× 3kg/m3 ,电化当量 k = 0.304× ?6kg/C ,要在金属物体 10 10 2 表面镀一层厚度为 0.15mm 的镍,若电流密度σ = 35A/m ,问需多长时间? m = kq = kIt = kσ St t=
m k?S

=

?d k?

答案:约为 1.24× 5s(或 34.4hour) 10 。 22、如果将右上图中电源电动势分别是 ε1 和 ε2 、内阻分别为 r1 和 r2 的电源用右下图的电动势为 ε 、内阻为 r 的电源代替,并要 求使两电路的干路电流相等且与外电阻 R 无关。试求 ε 、r 和 ε1 、 ε2 、r1 、r2 的之间的关系。 若上图的电源不是两个, 而是电动势和内阻分别为 ε1 、2 、 、 ε ? εn 和 r1 、r2 、? 、rn 的 n 个并联,以上关系又将如何? 答案:ε =
? 1 r 2 ? ? 2 r1 r1 ? r 2

,r =
n

r1 r 2 r1 ? r 2



ε = r?
i ?1

n

?i ri

?

?i ri 1 ri

=

i ?1 n

, = ?
r
i ?1

1

n

1 ri



?
i ?1

23、右图中 ε = 100V ,ε′= 40V ,均不计内阻,R = 10Ω,R′= 30Ω,求流过 R′ 支路上的电流。 戴维南定理。电路变换过程如右 答案:1.0A 。 24、

24、 6-19(甲)是由 24 个等值电阻连接而成的网格, 6-19 乙) 图 图 ( 中电动势为ε =3.00V, 内阻 r=2.00Ω 的电源与一阻值为 28.0Ω 的电阻 R 及二极管 D 串联后引出两端 P、Q,二极管 的正向伏安曲线如图 6-19(丙)所示。

(1)若将 P、Q 两端与图 6-19(甲)中电阻网格 E、G 两点相接,测得二极管两端间的 电压为 0.86V。求:电阻 网格 E 与 A 间的电压 UEA。 (2)若将 P、Q 两端 与图 6-19(甲)中电阻网 络 B、D 两点相接,求通 过二极管 D 的电流 ID 和网 格中 E、G 间的电压 UEG。 分析: (1)对于电阻
E
R 11 R 15
R 18

H
R4

R1

R2

R3

G
R7

R5 R8

R6 R9

A

D
R 13

R 10

Q
50

I D / mA

B

R 12 R 16
R 19 R 23

C

R 17

R 14

D

40

? 30
20 R ? 10 0

R 22

R 20 R 24

R 21

?甲 ?

F

?乙 ?

P

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8 1 .0

U /V

?丙 ?

图 6-19

网格 E、A 之间的电压,可利用网格对称性求出等效电阻,再利用闭合电路的欧姆定律来求 解。 (2)电路中含有二极管,二极管是一种非线性元件,它两端的电压和通过它的电流的比 值是变化的, 题目给了这两者的关系曲线; 电路中含源支路的电压与电流的关系是一斜率为 负的直线方程。通过二极管的电流需要同时满足以上的曲线方程和直线方程,所以需要在 I-U 图上找出两者的交点,就可以求出通过二极管的电流。 解: (1)电阻网络 E、G 两点间电压可表示为
U
EG

? ? ? I 1 ?R ? ? r ? ? U

DI

,

从图中的二极管 D 的正向伏安曲线中可查得电压 U

DI

对应的电流 I1 为 25.0mA,此电流

就是流过电阻 R 及由 E 点流入电阻网格的电流,将数据代入上式得
U
EG

? 1 . 39 V
R0 4 R0 4

Q

G

由对称性可得 H、A、C、F 电势相等,其等效电路如
N

图 6-20 所示 (除两只电阻为 R 0 / 4 外, 其余电阻均为 R 0 / 2 ,
R 0 为原来每只电阻的阻值) ,易得

A B

D

M

R EG ? 13 R 0 / 7 ,

E

图 6-20

而等效电阻 求得

R EG ? U

EG

/ I 1 ? 55 . 6 ? ,

R 0 ? R EG ? 29 . 9 ? ,

U

EA

3 ? ? R0 ? R0 ? ? R0 13 4 ? I1 ? ? I 1 R 0 ? 0 . 695 V ? ? 3 2 14 ? R0 ? R0 ? ? ? 4 ? ? 。
I D / mA
60

(2)当引线两端 P、Q 与电阻网格 B、D 两点相接 时,等效电路仍如图 6-20 所示,易得
R BD ? 5 7 R 0 ? 21 . 4 ? ,
50 40 30 20 10 0

通过二极管 D 的电流与二极管两端电压有关系
U
D2

? E ? I D 2 ? R BD ? R 0 ?,

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

U /V

?c ?

代入数据得
U
D2

图 6-21
? 3 ? I D 2 ? 51 . 3

这是一条联系 UD 与 ID 的方程,但是 UD 与 ID 又必须满足二极管的伏安特性曲线,在图 6-21 中描出上式所述直线,它与曲线的交点的纵坐标即为通过二极管的电流 ID,由图 6-21 中读出
I D ? 40 . 5 mA ,

由对称性,

U

M

? U E ,U G ? U Q ,



U

EG

?

2 7

?I D ? ?

3 4

R 0 ? 2 ? 0 . 52 V



点评: 本题与传统的电路题不同的是电路中包含有二极管这种非线性元件, 其伏安特性 曲线没有用解析式写出, 二极管两端的电压与电流的关系不服从欧姆定律, 故解这类题一般 都只能用图解法来解题。 25、表示某个二极管的 U-I 特性曲线,将该二极管与电阻 R=10Ω 的负载串联,再接 到电动势ε =3V 的电源上(内电阻不计) ,二极 I/mA 管处于正向状态,如图 6-50 所示,问: 300 200 100 30 20 10 0 (1)通过负载的电流强度和效率各为多 少? 1 2 3 U/V (2)若ε =1.5V 时, 通过负载的电流强度和效 图 6-49 率又为多少? 图 6-50
?
R

答: (1)60mA、20%; (2)20mA、13%。 提示: (1)二极管两端的电压与电流不遵循欧姆定律,因此要用图像法解,设通过二极 管的电流为 I,与此对应的二极管两端电压为 U,则
? ? U ? IR



I ? (? ? U ) / R

当 ? , R 为常数时,上式为一直线方程。当 I 变化时,I 与 U 一定在上述直线上变动,但 另一方面又必须在二极管的伏安特性曲线上,当取
? ? 3V , R ? 10 ? 时,可在图 6-81 上作出直线 AB,AB 与伏安

I/mA 300 200 100 60 10 20 0
A

特性曲线交于 Q 点,从图上看出,对应的电流 I=60mA。 此时电源的效率为
? ?
I R I?
2

Q Q?

20

1

2

3

B

U/V

?

IR

?

?

6 ? 10

?2

? 10

? 20 %

3

图 6-81

(2)若 R 不变,取 ? ? 1 . 5V ,则可在图上作出另一条平行 于 AB 的直线,与伏安特性曲线交于 Q ? ,从图上找出对应电流 I ? ? 20 mA ,进而求得对应 效率。
?? ?
I ?R

?

?

2 15

? 13 %

26、 .电源端压随负载电源变化的图象如图 6-51 所示, 求 电源可能供给负载的最大功率,为使功率最大,负载的电阻应 是多少? 最大功率为 Pmax ? 0 . 45 W ,负载电阻为 R ? 5 ? 。 提示:可行的电源结构可能是如图 6-82 那样的,即可将所 用的电源看作是由两个电动势和内阻均不同的电源组成的,图 6-82 中直线的斜率则由内阻决定,对于第一部分有
? 1 ? 6 . 2V , r1 ?
6 . 2V 0 . 26 A ? 23 . 8 ?

图 6-51

对于第二部分有

? 2 ? 3V , r2 ?

3V 0 .6 A
r内

? 5?

当外电路电阻 R 外 和电源内阻

相等时,电源输出功率最大。因此只要检验一下,看看

图像的第一部分和第二部分有没有分别与 R 1 ? 23 . 8 ? 和 R 2 ? 5 ? 的对应点便可确定。
I1 ?

?1
r 1 ? R1

?

6 . 2V 47 . 6 ?

? 0 . 13 A

I 2 ? 0 .3 A

两个点都在图像的相应部分上,说明图像每个部分都确定可以保证本部分的最大功率。 比较一下两部分的最大功率:
P1 ?
P2 ?

?1
2

I 1 ? 3 . 1 ? 0 . 13 W ? 0 . 4W
I 2 ? 1 . 5 ? 0 . 3W ? 0 . 45 W

?2
2

可见,当负载电阻 R ? 5 ? 时,电路有最大输出功率为 Pmax ? 0 . 45 W



26、零电阻是超导的一个基本特性,但在确认这一事实时受到实验测量精度的限制。为了克 服这一困难,最著名的实验是长时间检测浸泡在液态氮(温度 T =4.2K)中的超导态的用铅丝 做成的单匝线圈(超导转换温度为 Tc=7.19K)内的电流变化。设铅丝粗细均匀,初始时通有 1 =l00A 的电流,电流检测仪器的精度为 M=1.0mA,在持续一年的时间内没有检测到电流的 变化。根据这 个实验,试估计超导态铅的电阻率为零这一结论的上限? (设铅中参与导电的 电子数密度为 n=8.00×1020m3,电子质量 m=9.11xl0-30,基本电荷 e = 1.60xl0-19C)

27、一个平面把空间分为两个部分。一半充满了均匀的导电介质,而物理学家在另一半空间 里工作。他们在平面上画出一个边长为α 的正方形的轮廓,并用精细的电极使一电流 I0 在 正方形的两个相邻角,一个流入,一个流出。同时,他们测量另两个角之间的电势差 v,如 图所示。问物理学家们如何用这些数据来计算均匀介质的 电阻率?

21.非常长的网路由电动势 E = 12V、内阻 r = 411 的电池和电阻 R = 1511 的电阻组成(图 13-45(a? ,求等效电池的电动势 E。和内阻 To (图 13-45(b) ).


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