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高三理科竞赛


一、选择题: 1. 设集合 S={x|3<x≤6},T={x|x2-4x-5≤0},则 R(S∩T) A.(-∞,3]∪(6,+∞) C.(-∞,-1)∪(6,+∞) =

B.(-∞,3]∪(5,+∞) D.(-∞,-1)∪(5,+∞)

2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若公差 d<0,且|a7|=|a8|,则使 Sn>0

的最大正整数 n 是 A.12 3.已知整数 x,y 满足

?

B.13

C.14

D.15

x ? 2y ? 2 ? 0 , 设 z=x-3y,则 2x ? y ? 1 ? 0 .
B .z 的最小值为 1 D.z 的最小值为 2
(第 4 题图)

A.z 的最大值为 1 C.z 的最大值为 2

4.某几何体的立体图如图所示,该几何体的三视图不 可能是 . A.
正视图 侧视图

B.
正视图 侧视图

C.
正视图 侧视图

D.
正视图 侧视图

俯视图

俯视图

俯视图

俯视图

5.现有 90 kg 货物需要装成 5 箱,要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物 重量的 2 倍.若某箱所装货物的重量为 x kg,则 x 的取值范围是 A.10≤x≤18 B.10≤x≤30 C.18≤x≤30 D.15≤x≤30

6.设点 D,E 分别在△ABC 的边 BC,AC 上,线段 AD,BE 相交于点 F,则“F 为△ABC 的重心”是“

AF BF = =2”的 FD FE
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

? ?x 1 ? x2 , x ? 0 , 7.已知函数 f (x)=x+ln ( x 2 ? 1 +x),g(x)= ? 则 2 ? ? ? x 1? x , x ? 0 .
A.f (x)是奇函数,g(x)是奇函数 C.f (x)是奇函数,g(x)是偶函数 B.f (x)是偶函数,g(x)是偶函数 D.f (x)是偶函数,g(x)是奇函数

8.在△ABC 中,已知∠BAC 的平分线交 BC 于点 M,且 BM : MC=2 : 3.若∠AMB=60° ,
1



AB ? AC = BC
B. 5 C. 7 D.3 ( )

A.2

9.设 A,B,C 为全集 R 的子集,定义 A-B=A∩(B 的补集) ,则 A.若 A∩B ? A∩C,则 B ? C C.若 A-B ? A-C,则 B ? C
2

B.若 A∩B ? A∩C,则 A∩(B-C)= ? D.若 A-B ? A-C,则 A∩(B-C)= ?

10.设动点 A,B 均在双曲线 C: 双曲线 C 的离心率为 e. A.若 e> 2 ,则 C.若 e> 2 ,则

x2 y ? ? 1 (a>0,b>0)的右支上,点 O 为坐标原点, a2 b2
B.若 1<e≤ 2 ,则 D.若 1<e≤ 2 ,则 存在最大值 存在最小值

存在最大值 存在最小 值

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知 m 为 实数,直线 l1 则 m ? _______ 12.已知等比数列{an},a2+a3=

: 2 x ? y ? 3 ? 0 , l 2 : mx ? (m ? 5) y ? 3 ? 0 ,若 l1 ? l 2 ,

3 ,a4+a5=6,则 a8+a9= 2

. .

13.已知实数 a,b 满足 a3-b3=4,a2+a b+b2+a-b=4,则 a-b= 14. 已知 x ? 2 y ? 4 ( x, y ? R
?

) ,则

2 1 ? 的最小值为 . x y

15.已知单位向量 a,b 的夹角为 有序数对 (λ,μ) = 16.已知函数 y ? tan( x ?

π .设单位向量 c=λ a+μ b (λ>0,μ∈R),若 c⊥a,则 3


? ) 的图像,则图像的对称中心坐标为 3




17.已知线段 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=1,OB=1,OC=2.若线段 OA,OB, OC 在直线 OP 上的射影长相等,则其射影长为

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2

18.(本题满分 14 分) 已知函数 f (x)=4 sin 小正周期为 4π. (Ⅰ) 求函数 f (x)的最大值; (Ⅱ) 若 α∈(0,

?x
2

cos (

?x
2



π )+ 3 (x∈ R,ω> 0)的最 3

π π 6 ),且 f (α- )= ,求 f (α)的值. 5 2 2

19. (本题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 满足 4 sin Asin C-2 cos (A-C)=1. (Ⅰ) 求角 B 的大小; (Ⅱ) 求 sin A+2 sin C 的取值范围.

20.(本题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是 边长为 2 的菱形,∠BAD=60?,PA=PD=3,PD ⊥CD.E 为 AB 中点. (Ⅰ) 证明:PE⊥CD; (Ⅱ) 求二面角 C-PE-D 的正切值.
A

P

D E B

C

(第 20 题图)

21.(本题满分 15 分)设二次函数 f(x) = ax2 +bx + c (a>0),方程 f(x) – x =0 的两个根 x1 , x2
3

满足 0< x1 <x2 <

1 . a

( I ) 当 x ? (0, x1) 时 , 证明 x < f(x) < x1; (II ) 设函数 f(x)的图象关于直线 x = x 0 对称 ,证明 x 0< 1 x . 2 1

22.(本题满分 15 分)如图,已知曲线 C:y=x2 (0≤x≤1),O(0,0),Q(1,0),R(1,1).取 线段 OQ 的中点 A1,过 A1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P1,过 P1 作 y 轴的垂线交 RQ 于 B1,记 a1 为矩形 A1P1B1Q 的面积.分别取线段 O A1,P1B1 的中点 A2,A3,过 A2,A3 分别作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P2,P3,过 P2,P3 分别作 y 轴的垂线交 A1P1, RB1 于 B2, B3,记 a2 为两个矩形 A2P2B2 A1 与矩形 A3P3B3B1 的面积之和. 以此类推,记 an 为 2n 1 个矩形面积之和,从而得数列{an},设这个数列的前 n 项和为


Sn. (I) 求 a2 与 an; (Ⅱ) 求 Sn,并证明 Sn< .
P3 P1 P2 O A2 B2 A1 B3 B1 Q x

1 3

y

R

A3

(第 22 题图)

4

安吉振民高级中学数学学科竞赛高三理科答题卷
一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分。 题号 答案 二、填空题:每小题 4 分,满分 28 分。 11.____________ 15. ____________ 18. (本题满分 14 分) 12. ____________ 16. ____________ 13. ____________ 17. ____________ 14. ____________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19. (本题满分 14 分)

5

20. (本题满分 14 分)

P

D A E B

C

(第 20 题图)

6

21. (本题满分 15 分)

7

22. (本题满分 15 分)

y

R

P3 P1 P2 O A2 A3 B2 A1 Q

B3 B1 x

(第 22 题图)

8

安吉振民高级中学数学学科竞赛高三理科答案卷
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.B 6.C 11.5 15.( 2.B 7.C 3.D 8.C 12.96 4 .C 9 .B 5.B 10.D 13.2 17. 14.2

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。

3 2 3 ,- ) 3 3

16.

2 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (Ⅰ) 因为 f (x)=4sin

3 ?x 1 ?x ?x ( cos sin )+ 3 2 2 2 2 2

= sin ω x - 3 (1-cos ω x)+ 3 = 2 sin (ω x+ 又 f (x)的最小正周期为 4π,令 所以 f (x)=2 sin (

π ). 3



?

= 4 π, 得 ω =

1 . 2

1 π x+ ),其最大值为 2. ???? 7 分 2 3 π 6 ? π 6 π (Ⅱ) 由于 f (α- )= ,即 2 sin ( + )= ,而 α∈(0, ),可知 5 5 2 2 12 2 ? π 4 cos ( + )= , 2 12 5
所以 f (α)=2 sin ( 19. (Ⅰ) 因为 4 sin A sin C-2 cos (A-C)=4 sin A sin C -2 cos A cos C+2 sin A sin C =-2 (cos A cos C-sin A sin C),所以-2 cos (A+C)=1, 故 cos B=

?
2



7 2 π ? π π ? π π )=2 sin ( + ) cos +2 cos ( + ) sin = . ? 14 分 5 3 2 12 4 2 12 4

π 1 .又 0<B<π,所以 B= . 3 2

???? 6 分

9

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 C=

2π 3

- A,

故[sin A+2 sin C=2 sin A+ 3 cos A= 7 sin (A +θ),

其中 0<θ<

π 2

,且 sin θ=

2π 2π 21 2 7 ,cos θ= .由 0<A< 知,θ<A+θ< + θ, 7 7 3 3
???? 14 分
P



21 3 <sin (A+θ)≤1.所以 sin A+2 sin C∈( , 7 ]. 2 14
(Ⅰ) 在菱形 ABCD 中,因为∠BAD=60?,E 为 AB 的中点, 可得

20.

DE⊥CD,又因为 PD⊥CD,所以 CD⊥平面 PDE, 因此 PE⊥CD. (Ⅱ) 方法一: 得 CH⊥PE, 所以∠CHD 是二面角 C-PE-D 的平面角. 由 PE⊥CD,AB∥CD,可得 PE⊥AB,由 E 为 AB 中点,PA=3, 所以 PE=2 2 . 在△PDE 中,由余弦定理得 cos∠DPE= 故 sin∠DPE=
A

???? 5 分

H

D E B

C

过 D 作 DH⊥PE,垂足为 H,连结 CH.由 CD⊥平面 PDE,

(第 20 题图)

7 2 , 12

46 46 ,所以 DH= . 12 4

4 46 CD = . 23 DH 4 46 所以,二面角 C-PE-D 的正切值为 . 23
在 Rt△CH D 中,可得 tan∠CHD=

???? 15 分

10

方法二: 以 D 为原点,DE,DC 所在射线分别为 x,y 轴的 正半轴,建立空间直角坐标系 D-xyz. 可知 D(0,0,0), C(0,2,0), E( 3 ,0,0),
P z

B( 3 ,1,0),

A ( 3 ,-1,0),
D A E B x (第 20 题图) C y

设 P(a,0,c).因为 PA=PD=3, 即
2 2 ? ?a ? c ? 9, ? 2 2 2 ? ?(a ? 3) ? (?1) ? c ? 9.

解得 P(

2 3

,0,

23 3

).

设平面 CPE 的法向量为 m=(x,y,z),由

可取

m=( 2 23 , 69 ,2), 又平面 DPE 的一个法向量为 n=(0,1,0),于是 |cos<m,n>|= 所以 |tan<m,n>|=

69 |m ?n| = . | m |?| n | 165

4 46 . 23 4 46 . 23 ???? 15 分

因为二面角 C-PE-D 是锐角,所以二面角 C-PE-D 的正切值为

11

22. (I) 由题意知

1 1 , ( ) 2 ), 2 2 1 1 1 1 1 3 3 故 a1= × ( )2 = .又 P2( 2 , ( 2 ) 2 ), P3( 2 , ( 2 ) 2 ), 2 2 8 2 2 2 2 1 1 3 2 1 3 故 a2= 2 ×[ ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 - ( 2 ) 2 ]= 6 ×(12+32-?2)= . 2 2 2 2 2 32
P 1( 由题意,对任意的 k=1,2,3,?,n,有[来源:Z|xx|k.Com]

2i ? 1 2i ? 1 - , ( k )2 ), i=0,1,2,?,2k 1-1, k 2 2 2n ? 1 2 2n ? 2 2 1 1 3 2 5 4 故 a n= n × [ ( n ) 2 + ( n ) 2 - ( n ) 2 + ( n ) 2 - ( n ) 2 + ? + ( n ) - ( n ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = 3 n ×[12+32-?2+52-?2+?+(2n-1)2-(2n-2)2] 2 1 - = 3 n ×{1+(4×1+1)+(4×2+1)+?+[4×(2n 1-1)+1]} 2 [1 ? 4 ? (2n ?1 ? 1) ? 1] ? 2 n ?1 2n ? 1 1 = 3n × = 2 n ?1 . 2 2 2 n 2 ?1 3 所以 a2= , an= 2 n ?1 , n∈N*. ???? 10 分 2 32 1 1 (Ⅱ) 由(I)知 an= n?1 ? 2 n?1 , n∈N*, 2 2
P2k ?1 ?i (
1 1 1 1 ? (1 ? n ) ? (1 ? n ) 4 2 -8 故 Sn= 4 1 1 1? 1? 4 2

1 1 1 1 ? (1 ? n ) - ? (1 ? n ) 2 2 6 4 2 n ?1 n 2 ? 3? 2 ?1 = . 3 ? 22 n ?1 n 又对任意的 n∈N*,有 3 ? 2 ? 1 >0, 1 3 ? 2n ? 1 1 所以 Sn= ? < . 2 n ?1 3 3? 2 3


???? 15 分

12


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