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点集拓扑试卷一二


一、.判断题(10 分) 1.集合 X 的一个拓扑不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑。 ( 2.每一个度量空间都满足第一可数性公理。 ( ) 3.拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。 ( ) 4.从拓扑空间 ? X , T1 ? 到 ? X , T 2 ? 的恒同映射必是连续映射。 ( )



5.设 T i 是拓扑空间 X i 的拓扑 ? i ? 1, 2? ,则 T1 ? T 2 是积空间 X1 ? X 2 的拓扑。 ( 二、填空题(30 分) 1.设 A 为是离散空间 X 的子集,则 A ? 2.对于拓扑空间 ? X , T 。 与 T1 满足 。



? 一个子空间 ?Y , T1 ? , T

3.设 A 为是拓扑空间 X 的子集,则 x ? d ? A? ? 4.任何一族连通空间的积空间是 5.称拓扑空间 X 是可分空间,若 6.设 X ? X1 ? X 2 ? 空间。





? X n 是 n ? 1 个拓扑空间 X1 , X 2 ,

, X n 的积空间, T 是 X 的积拓
。 。 ,Q ? 。

扑, T i 是空间 X i 的拓扑 ?i ? 1, 2,

则积拓扑的一个子基 S ? , n? ,

7. 称拓扑空间 X 是 Lindel?ff 空间, 若 8.设 R 是实数空间, Q 是有理数集,则 d ? Q? ?
n

三、设集合 X 有拓扑 T1 , T 2 ,

, T n ,则

(10 分) T i 是 X 的一个拓扑。
i ?1

四、设 X , Y 为拓扑空间,映射 f : X ? Y 在 X 上连续的充要条件是 Y 有一个基 B 满足 (10 分) ?B ? B , f ?1 ? B? 是 X 中开集。 五、证明:离散度量空间的每个子集是开集。 (10 分) 六、证明:每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。 (10 分) 七、证明:若 Y 是拓扑空间 X 的连通子集,则 Y 也是 X 的连通子集。 (10 分) 八、证明:满足第二可数公理的空间必定为可分空间。 (10 分)

一.判断题(10 分) 1.离散度量空间的每个子集是开集.(

) ) ) ) )

2.正规空间是正则的,但正规空间可以不是 T0 的.( 3.第一可数性和第二可数性都是拓扑不变性.(

4.从紧致空间到 T2 空间的任何连续映射是同胚映射.(

5.设 T i 是拓扑空间 X i 的拓扑 ? i ? 1, 2? ,则 T1 ? T 2 是积空间 X1 ? X 2 的拓扑。 (

二填空(30 分) 1.设 A 为是拓扑空间 X 的子集,则 A 的闭包是包含 A 的 闭集, A 的内 部是包含于 A 的 开集. 2. 设 Y 是拓扑空间 X 一个子空间, 则子空间 Y 的闭集族= 。 F 是空间 X 的闭集族, 3.设集合 X 的子集族 B 是 X 的某一个拓扑的基,则 B 必须满足条件: (1) , (2) 。 4.请写出两种具有遗传性的分离性质: ; 。 5.任何一族连通空间的积空间是 空间. 6.设 X ? X1 ? X 2 ?

? X n 是 n ? 1 个拓扑空间 X1 , X 2 ,

, X n 的积空间, T 是 X 的积拓


扑, T i 是空间 X i 的拓扑 ?i ? 1, 2,

则积拓扑的一个子基 S ? , n? ,

7.请补充下面几种紧致性的关系: + T1 ? 可数紧致; 可数紧致+ A1 ? ;

可数紧致+ Lindel?ff ? 。 8. 请写出紧致性等价提法中的基的提法: 即 三、证明: (1)每一个度量空间都满足第一可数公理. (2)包含着不可数多个点的可数补空间不满足第一可数公理.(10 分) 四、证明:连续映射保持可分性.(10 分) 五、 设 X ? ?a, b, c? , T = ?,?a? ,?b, c?, ?a, b, c? .验证 ? X , T 正规但非 T0 的.(10 分) 六、证明拓扑空间 X 中任意个闭紧致子集之交,仍为紧致子集.(10 分)



?

?

? 是拓扑空间, 并且是正则、

七、设拓扑空间 X 是 Hausdorff 空间, A, B 是 X 中无交的紧致子集,则 A, B 分别有开领域

U ,V ,使得 U

V ? ? .(10 分)

八、 (1)请叙述 Tietze 扩张定理的内容.(5 分) (2)证明完全正则空间是正则的.(10 分)


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