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福建省福州市2015届高三上学期教学质量检查数学文


福州市 2014-2015 学年度第一学期高三质量检查

文科数学试卷
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封线 内填写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试 时间 120 分钟.

参考公式: 1? 2 2 2 样本数据 x1 , x 2 , , x n 的标准差 s ? ,其中 x 为 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? xn ? x ? ? ? ? n 样本平均数.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本题共有 12 个小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. lg 3 ? lg 2 的值是( ) . 3 A. lg B. lg 5 2 2. 在复平面内,两共轭复数所对应的点( A.关于 x 轴对称 C.关于原点对称 A. ?x x ≤ 2? C. ?x x ≤ 0? B.关于 y 轴对称 D.关于直线 y ? x 对称 ) . B. ?x x ? 1? D. R

C. lg 6 ) .

D. lg 9

3. 已知集合 A ? ?x x ≤1? .若 B ? A ,则集合 B 可以是(

4. 某班有 49 位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示的 程序框图执行(其中 a 为座位号) ,并以输出的值作为下一个输 入的值.若第一次输入的值为 8,则第三次输出的值为( A.8 C.29 5. “ a ? 0, b ? 0 ”是“ A.充分不必要条件 C.充要条件 ( A.2 ) . B.3 C. 3 D. 2 3 B.15 D.36 ) . 第 4 题图

b a ? ≥ 2 ”的( a b

) . B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 若 ?ABC 中 B ? 60? ,点 D 为 BC 边中点,且 AD ? 2 , ?ADC ? 120? ,则 ?ABC 的面积等于

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7. 甲、乙两人在一次射击测试中各射靶 10 次,如图分别是这两人命中环数的直方图,若他 们的成绩平均数分别为 x1 和 x 2 ,成绩的标准差分别为 s1 和 s 2 ,则( ) .

A. x1 ? x2 , s1 ? s2

B. x1 ? x2 , s1 ? s2

C. x1 ? x2 , s1 ? s2

D. x1 ? x2 , s1 ? s2

8. 已知抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为 0.5 .现采用随机模拟试验的方法估计 抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率:先由计算器产生随机数 0 或 1,用 0 表示正 面朝上,用 1 表示反面朝上;再以每三个随机数做为一组,代表这三次投掷的结果.经 随机模拟试验产生了如下 20 组随机数: 101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计,抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为( ) . A. 0.30 B. 0.35 C. 0.40 D. 0.65 9. 已知椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 9 的左焦点为 F1 ,点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点, O 为坐标原 点.若点 D 是线段 PF1 的中点,则 ?F1OD 的周长为( A. 1 ? 10. 则 S2015 的值为( A.2015 11.
6 3

) . D. 6 ? 2 6

B. 3 ? 6

C. 3 ? 2 3

已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,当 n ≥ 2 时,an ? 2Sn ?1 ? n , ) . B.2013 C.1008 ) . D. 0 D.1007 已知平面内 A, B 两点的坐标分别为 ? 2, 2 ? , ? 0, ?2? , O 为坐标原点,

动点 P 满足 BP ? 1 ,则 OA ? OP 的最小值是( A. 3 12. B. 1 已知函数 f ? x ? ?

C. 3

p3 : ?x ? R , ?x ? R , f ? x ? f ? x0 ? x ? ? f ? x0 ? ; ? 0? 0 ? ? x f ? x0 ? x ? ? f ? x0 ? p4 : ?x0 ? R + , ?x ? R ? , f ? ? x0 ? ? . x 其中的真命题是( ) . A. p1 , p3 B. p1 , p4 C. p2 , p3

ln x ,有下列四个命题: x ? x ? x ? f ? x0 ? ? f ? x ? p1 : ?x0 ? R ? , ?x ? R ? , f ? 0 ; ?? 2 ? 2 ? ? x ? x ? f ? x0 ? ? f ? x ? ; p2 : ?x0 ? R + , ?x ? R ? , f ? 0 ?? 2 ? 2 ?

D. p2 , p4

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第 II 卷(非选择题 满分 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,满分 16 分.请把答案填在下面横线上. y 13. 已 知 点 A? ?1,0? , B ?1,2? , C ?3, ?1? , 点

P? x , y ? 为 ?ABC 边界及内部(如图阴影部分)的任意一点,则
z ? x ? 2 y 的最小值为

B

★ ★ ★ .

A O C

x

1 若函数 f ? x ? ? mx3 ? x2 ? m 在 x ? 1 处取 3 第 13 题图 得极值,则实数 m 的值是 ★ ★ ★ . 15. 如图所示,OA ? 1 , 在以 O 为圆心, 以 OA 1 为半径的半圆弧上随机取一点 B,则 ?AOB 的面积小于 的概率 4 为 ★ ★ ★ . 16. 已知 ? , ? , ? 是某三角形的三个内角,给出下列四组数据:
14. ① sin ? ,sin ? ,sin ? ; ③ cos
2

② sin 2 ? ,sin 2 ? ,sin 2 ? ;

第 15 题图

,cos ,cos ; ④ tan , tan , tan . 2 2 2 2 2 2 分别以每组数据作为三条线段的长,其中一定能构成三角形的数组的序号是 ★ ★ ★ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
已知数列 {an } 是递增的等差数列, a1 , a 2 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

?

2

?

2

?

?

?

?

? 1 ? (Ⅱ)求数列 ? ? 的前 n 项和 Sn . ? an an ?1 ?
18. (本小题满分 12 分) “ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动,活动规定:被邀请者要么在 24 小 时内接受挑战,要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战) ,并且不能重复参加该活动.若被邀 请者接受挑战,则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后便可以邀请另外 3 个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且互不影响. (Ⅰ)若某参与者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接 受挑战的概率是多少? (Ⅱ)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关,某调查机构进行了随机抽样调查, 调查得到如下 2 ? 2 列联表: 接受挑战 不接受挑战 合计 45 15 60 男性 25 15 40 女性 70 30 100 合计 根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性 别有关”? 附: ? ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?
P ? 2 ≥ k0

n ? ad ? bc ?

2

?

?

0.100

0.050

0.010

0.001

第 -3- 页 共 8 页

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

19.
2

(本小题满分 12 分)

已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,过点 F 作一条直线 l 与抛物线交于 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两 点. (Ⅰ)求以点 F 为圆心,且与直线 y ? x 相切的圆的方程; (Ⅱ) 从 x1 , x2 , y1 , y2 ,1, 2 中取出三个量, 使其构成等比数列, 并予以证明.
O B
第 19 题图
y

l A F

20.

函数 f ? x ? ? x2 ? mx ? m ? 0? 在区间 ?0, 2? 上的最小值记为 g ? m ? . (Ⅰ)若 0 ? m ≤ 4 ,求函数 g ? m ? 的 解 析 式 ; (Ⅱ)定义在 ? ??,0?

(本小题满分 12 分)

x

? 0, ??? 的函数 h ? x ? 为偶函数,且当 x ? 0 时, h ? x ? ? g ? x ? .若

h ? t ? ? h ? 4? , 求 实 数 t 的 取 值 范 围 .
21.(本小题满分 12 分)
?π ? 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x ? 在同一半周期内的图象过点 O, P, Q ,其中 O 为坐标原点, P 为 ?4 ? 函数 f ( x) 图象的最高点, Q 为函数 f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴的交点.

(Ⅰ)求证: ?OPQ 为等腰直角三角形.
π? ? (Ⅱ) 将 ?OPQ 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 ? ? 0 ? ? ? ? , 得到 ?OP ?Q ? , 4? ? 2 若点 P? 恰好落在曲线 y ? ? x ? 0? 上 (如图所示) , 试判断点 Q? 是否也落在曲线 x 2 y ? ? x ? 0? 上,并说明理由. x

第 21 题图

22.
x

(本小题满分 14 分)

已知函数 f ? x ? ? e ? cos x, g ? x ? ? x ? sin x ,其中 e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 (0, f (0)) 处的切线方程;
? π ? (Ⅱ)若对任意 x ? ? ? , 0 ? , 不 等 式 f ? x ? ≥ g ? x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; ? 2 ? ? π π? (Ⅲ)试探究当 x ? ? ? , ? 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 解的个数,并说明理由. ? 2 2?

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福州市 2014―2015 学年度第一学期高三质量检查 文科数学试卷参考答案及评分细则
一、选择题:本题共有 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.C 2.A 3.C 4.A 5.A 6.D 7.A 8.B 9.B 10.C 11.B 12.D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. 1 13. ?3 14. ?2 15. 16.①③ 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.本题主要考查一元二次方程的根、等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的和等基础 知识,考查应用能力、运算求解能力,考查函数与方程思想. 解: (Ⅰ)方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根为 1,2,由题意得 a1 ? 1 , a2 ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 设数列 {an } 的公差为 d ,则 d ? a2 ? a1 ? 1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 1 1 1 1 ? ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 an an ?1 n ? n ? 1? n n ? 1
1 ? 1 1 1 ? 1? ?1 1? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? ... · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? · a1a2 a2 a3 an an ?1 ? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ?1? 1 n .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ?1? ? n ?1 n ?1 18.本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识,考查运算求解能力以及应用意识, 考查必然与或然思想等.

所以 Sn ?

解: (Ⅰ)这 3 个人接受挑战分别记为 A, B, C ,则 A, B, C 分别表示这 3 个人不接受挑战.

这 3 个人参与该项活动的可能结果为:? A, B, C? , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C ,

? A, B, C? , ? A, B, C? , ? A, B, C? .共有 8 种; ···································································2 分 其中,至少有 2 个人接受挑战的可能结果有: ? A, B, C? , ? A, B, C? , ? A, B, C? , ? A, B, C? ,共
有 4 种. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 4 1 根据古典概型的概率公式,所求的概率为 P ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 8 2 (说明:若学生先设“用 ? x, y, z ? 中的 x, y, z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情 况” ,再将所有结果写成 ? A, B, C ? , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , ) ? A, B, C ? , ? A, B, C ? ,不扣分.

?

? ?

? ?

? ?

?

?

??

? ?

??

??

?

(Ⅱ)假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 2 ? 根据 2 ? 2 列联表,得到 的观测值为:
k ?

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?
2

n ? ad ? bc ?

2

?

100 ? ? 45 ? 15 ? 25 ? 15? 60 ? 40 ? 70 ? 30

2

?

25 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? 1.79 . · 14

(说明: k 表示成 K 不扣分) . 因为 1.79 ? 2.706 ,所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性 别无关” .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 19.本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知 识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般 思想等. 解: (Ⅰ)依题意得,点 F 的坐标为 ?1,0 ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分
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点 F 到直线 y ? x 的距离 d ?
2

1? 0
2 2

1 ?1 1 所以所求圆的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 2 (Ⅱ)解答一: y1 , 2, y2 成等比数列, (或 y2 , 2, y1 成等比数列)理由如下: · · · · · · · · · ·7 分

?

2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2

设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

? ? x ? my ? 1, 由? 2 消去 x 得, y 2 ? 4my ? 4 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 y ? 4 x , ? ? 所以 y1 y2 ? ?4 ,即 y1 ? y2 ? 22 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分
所以 y1 , 2, y2 成等比数列(或 y2 , 2, y1 成等比数列) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 解答二: x1 ,1, x2 成等比数列, (或 x2 ,1, x1 成等比数列)理由如下: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 l x ? my ? 1 设直线 的方程为 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

? ? x ? my ? 1, 由? 2 消去 y 得, x2 ? 2 ? 4m2 x ? 1 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 y ? 4 x , ? ? 所以 x1 x2 ? 1 ? 12 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

?

?

所以 x1 ,1, x2 成等比数列(或 x2 ,1, x1 成等比数列) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 20.本题主要考查二次函数、一元二次函数的最值、分段函数的单调性、解不等式等基础知 识,考查应用意识、运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想等.
m ? m2 ? 解: (Ⅰ)因为 f ? x ? ? x ? mx ? m ? 0? , 所 以 f ? x ? ? ? x ? ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 2? 4 ? 所 以 f ? x ? 在 区 间 ?0 , 2 ? 上 的 最 小 值 记 为 g ? m? ,
2
2

所 以 当 0 ? m ≤ 4 时, 0 ?

m ≤ 2 ,故 g ? m ? ? 2
2 2

m2 ?m? f ? ??? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 4 ?2?

m? m ? (Ⅱ)当 m ? 4 时,函数 f ? x ? ? ? x ? ? ? 在 ?0, 2? 上 单 调 递 减 , 2? 4 ? 所 以 g ? m? ? f? 2? ? 4 ? 2 m ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分
? m2 , 0 ? m ≤ 4, ?? 结合(Ⅰ)可知, g ? m ? ? ? 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ? 4 ? 2m, m ? 4. ? ? x2 ? ? , 0 ? x ≤ 4, 因为 x ? 0 时, h( x) ? g ( x) , 所 以 x ? 0 时, h ? x ? ? ? 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? 4 ? 2 x, x ? 4. ?

易 知 函 数 h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上 单调递减, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 因为定义在 ? ??,0? 所 以 h? t ? ? h ? 4? , 所以 0 ? t ? 4 , ···············································································10 分
?t ? 0, ?t ? 0 或0 ? t ? 4. 所以 ? 即? , 从 而 ?4 ? t ? 0 ?| t |? 4, ??4 ? t ? 4 综 上 所 述 , 所 求 的 实 数 t 的 取 值 范 围 为 ? ?4 , 0 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? ? 0 ,?4

? 0, ??? 的函数 h ? x ? 为偶函数,且 h ?t ? ? h ? 4? ,

21.本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、二倍角公式等基 础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 2π ?? ? ?8 ,· 解: (Ⅰ)因为函数 f ( x) ? 2sin ? x ? 的最小正周期 T ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 π 4 ? ? 4
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所以函数 f ( x) 的半周期为 4, 故 OQ ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 又因为 P 为函数 f ( x) 图象的最高点, 所以点 P 坐标为 ? 2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2 ? ,故 OP ? 2 2 , · 又因为 Q 坐标为 (4, 0) ,所以 PQ ? (2 ? 4)2 ? (2 ? 0)2 ? 2 2 , 所以 OP ? PQ ? OQ 且 OP ? PQ ,所以 ?OPQ 为等腰直角三角形. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (Ⅱ)点 Q? 不落在曲线 y ? 理由如下: 由(Ⅰ)知, OP ? 2 2 , OQ ? 4
? ?? ? ?? ? ? 4sin ? ) , · 所以点 P? , Q? 的坐标分别为 ? 2 2 cos ? ? ? ?,2 2 sin ? ? ? ? ? , (4cos ? , · · ·8 分 4? 4 ?? ? ? ? 2 因为点 P? 在曲线 y ? ? x ? 0? 上, x ?? ? ?? π? ? ? 所以 2 ? 8cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 4sin ? 2? ? ? ? 4cos 2? , 4 4 2? ? ? ? ? ? 3 1 ? 即 cos 2? ? ,又 0 ? ? ? ,所以 sin 2? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2 2 2 3 ?4 3?2. 又 4 cos ? ? 4sin ? ? 8sin 2? ? 8 ? 2 2 所以点 Q? 不落在曲线 y ? ? x ? 0? 上.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 x 22.本题主要考查函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等. 解: (Ⅰ)依题意得, f ? 0? ? e0 cos0 ? 1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分
2 2 2

2 ? x ? 0? 上.············································································6 分 x

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 f ? ? x ? ? ex cos x ? ex sin x, f ? ? 0? ? 1 . · 所以曲线 y ? f ? x ? 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分
? π ? (Ⅱ)等价于对任意 x ? ? ? , 0 ? , m ≤ [ f ( x) ? g ( x)]min .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ? 2 ? ? π ? 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , x ? ? ? , 0 ? . ? 2 ? x x 则 h? ? x ? ? e cos x ? e sin x ? sin x ? x cos x ? e x ? x cos x ? e x ? 1 sin x

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? π ? 因为 x ? ? ? , 0 ? ,所以 e x ? x cos x ≥ 0, e x ? 1 sin x ≤ 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 ? 2 ? ? π ? 所以 h? ? x ?… · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 0 ,故 h( x) 在 ? ? , 0 ? 单调递增,· ? 2 ? ? π ? ?? 因此当 x ? ? 时,函数 h( x) 取得最小值 h ? ? ? ? ? ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 2 2 2 ? ? π? ? ? 所以 m ≤ ? ,即实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2? 2 ? π π (Ⅲ)设 H ( x) ? f ( x) ? g ( x) , x ? [? , ] . 2 2 ? π ? ? π ? ①当 x ? ? ? , 0 ? 时,由(Ⅱ)知,函数 H ( x) 在 ? ? , 0 ? 单调递增, ? 2 ? ? 2 ?

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? π ? 故函数 H ( x) 在 ? ? , 0 ? 至多只有一个零点, ? 2 ? ? ? ?? ? π ? 又 H ? 0 ? ? 1 ? 0, H ? ? ? ? ? ? 0 ,而且函数 H ( x) 在 ? ? , 0 ? 上是连续不断的, 2 2 ? ? ? 2 ? ? π ? 因此,函数 H ( x) 在 ? ? , 0 ? 上有且只有一个零点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? 2 ? ? π? ②当 x ? ? 0, ? 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.证明如下: ? 4? π ? π? 设 ? ( x) ? e x ? x, x ?[0, ] ,则 ? ?( x) ? e x ? 1≥ 0 ,所以 ? ( x) 在 ? 0, ? 上单调递增, 4 ? 4? π ? ? 所以 x ? ? 0, ? 时, ? ( x) ? ? (0) ? 1 ,所以 e x ? x ? 0 , ? 4? ? π? 又 x ? ? 0, ? 时, cos x ≥ sin x ? 0 ,所以 e x ? cos x ? x sin x ,即 f ( x) ? g ( x) . ? 4? ? π? 故函数 H ( x) 在 ? 0, ? 上没有零点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? 4? ? π π? ? π π? ③当 x ? ? , ? 时, H ?( x) ? ex (cosx ? sinx )? sinx ? x cosx ? 0 ,所以函数 H ( x) 在 ? , ? 上单 4 2 ? ? ? 4 2? ? π π? 调递减,故函数 H ( x) 在 ? , ? 至多只有一个零点, ? 4 2? π π 2 4 π π π ?π π? (e ? ) ? 0, H ( ) ? ? ? 0 ,而且函数 H ( x ) 在 ? , ? 上是连续不断的, 又 H( ) ? 4 2 4 2 2 ?4 2? ? π π? 因此,函数 H ( x) 在 ? , ? 上有且只有一个零点. ? 4 2? π π? ? 综上所述, x ? ? ? , ? 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有两个解.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分 ? 2 2?

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