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任意角三角函数(1))


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任意角的三角函数(第一课时)
一. 教学目标设计 1、认知目标: (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义; (2)会作单位圆中的三角函数线;初步领会三角函数的定义域、值域、 三角函数值的符号; (3)会根据任意角的三角函数的定义求特殊角的三角函数值; (4)加深对函数一般概念的理解

。 2、能力目标: 在学生原有知识的基础上,通过启发、引导学生发现和得出任意角的三 角函数的定义及几何表示,培养学生观察、分析、探索、归纳、类比及解决 问题的能力。 3、情感目标: (1)通过网络载体,利用几何画板的直观演示,培养学生主动探索、 善于发现的创新意识和创新精神; (2)在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神; (3)以科学史激励学生,培养学生追求真理的精神。 二. 教学内容及重点、难点及关键的分析 教学重点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 教学难点 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义及单位圆中三角函数 的概念。

教学关键 抓住初中所学的三角函数的定义方法,与新问题形成知识冲 突,激发学生学习的兴趣;直观地展示知识的形成过程。 三. 教学对象分析 该班学生的数学基础一般,思维水平有明显差异,一些学生活泼好动, 一些学生又比较好静, 但大部分学生能在老师的启发帮助下, 完成学习任务。 四. 教学策略及教法设计 教学的主要策略是:以惑激学、以景激情、师生共同探讨。这样既能尊 重学生的主体地位,又能充分发挥教师的主导作用,让学生亲历数学发现过 程,能调动学生学习的积极性与主动性。 通过对旧知的复习及科学史的学习,使其明确学习三角函数的目的。同时, 通过几何画板创建情景,从认知冲突入手,引起学生学习兴趣,激发其求知 欲,点燃其思维火花。 五. 教学媒体设计 学生知识的获得靠自身主动建构,不是任何外来因素强加的。媒体的作 用是有助于学生获取知识,它应为突破重、难点服务,它应使用在不利学生 掌握的知识点上。本节课主要是应用几何画板的动态演示功能,力求让学生 的知识和能力与时俱进。 六. 教学过程设计与分析 学习过程 1 【师引导】前面我们学习了角的概念的推广和弧度制,今天我们在这些 知识的基础上一起来学习任意角的三角函数。 我们在初中已学习了锐角三角 函数,下面先复习锐角三角函数的有关知识。

(学习过程 1 分析) 课题的引入,尊重学生的知识水平,坚持面向全体学生。 复习:1 是让学生结合图形,回忆初中所学锐角三角函数的定义;2 是 学生通过对课件 1 的操作, 利用第二章所学函数的一般概念来认识锐角三角

函数,进一步 体会函数的本质--"对应"。从而使学生拥有较统一的预备知 识。 请大家打开【课件 1】,按照提示进行操作,仔细观察发生的现象,然 后回答相关问题。 【学生动手操作、观察思考,教师适当帮助】 当∠A 变化时,三个比值也随着变化;当∠A 一定时,不论 RtΔ ABC 的 大小如何变化,三个比值 、 、 是不变的。因此,锐角三角函数是以

角为自变量,以比值为函数值的函数 课件 1 分析:学生通过对课件 1 的操作,利用第二章所学函数的一般概 念来认识锐角三角函数:锐角三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的 函数,同时体会函数的本质--"对应",让学生对即将要学习的任意角的三角 函数有一个本质的认识。 学习过程 2 【教师提出问题】随着角的概念的推广,锐角已推广到了任意角,对任 意角的三角函数是如何研究?学习任意角的三角函数有何意义? 【学生查找资料】请大家浏览资料---《三角学的发展简史》,利用 5 分钟的时间快速阅读,并回答: (1)三角学研究的对象是什么? (2)是谁首先研究了三角函数?它是用什么方法来研究的? 【教师启发并进行适当帮助】前面我们在学习角的概念的推广时,强调 了我们以后常在直角坐标系中来研究角。 大家思考: (1)在直角坐标系中研究角的做法是 _____________________________________ (2) 若在坐标系中来研究锐角, 则锐角三角函数的定义会发生什么变化? (学习过程 2 的分析) 教师利用三角学的发展简史创设情景,调动学生学习的兴趣。同时通过 三角学的发展简史, 让学生明白为什么要学三角函数?怎样学?从而把握三 角学的本质。同时,古今中外的数学家的不懈努力,谱写了三角发展史。数 学家们的人格魅力将深深地影响学生。特别地,我国数学家的聪明才智和他

们的杰出贡献,又能培养学生的民族自豪感和爱国主义精神,从而树立自信 心。 学习过程 3 根据在直角坐标系中研究角的做法,把锐角的顶点与坐标原点重合,锐 角的始边与 x 轴的非负半轴重合。要得到锐角三角函数值,则要构造直角三 角形,如图,在角 α 的终边上取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线 PM,则有

【学生动手操作并思考】 (1)角 α 的正弦、余弦、正切值是否随点 P 在角 α 的终边上的位置 的改变而改变? (2) 直角三角形的边 MP、 OM、 OP 的长度与点 P 的坐标之间有什么关系? (3) 设点 P 的坐标是(x,y),点 P 到原点 O 的距离是 r ( 则用含 x、y、r 的式子表示角 α 的正弦、余弦、正切值分别是: sinα =_________,cosα =_______,tanα =____________。 (4)在以上(1)、(2)(3)的基础上,试着用坐标给出锐角三角函 数的定义。 (学习过程 3 的分析) 通过一系列问题的设计,引导学生发现锐角三角函数的定义。媒介从直 角三角形改为平面直角坐标系后, 锐角三角函数的定义可以用角的终边上的 点的坐标来表示,从而得出锐角三角函数的坐标定义。 学习过程 4 类比验证 【教师启发学生形成锐角三角函数坐标定义】 锐角三角函数的坐标定义: 把锐角 α 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,在其终 边上任取一点 P(x,y),设点 P 到原点的距离为 r( ),则 ) ,

, 标法"。

这种用坐标定义锐角三角函数的方法---叫 "坐

【学生比较两种定义,教师适当帮助】初中学习的锐角三角函数是用直 角三角形的边的比值来定义,受直角三角形的约束,不能类似地定义钝角及 任意角的三角函数。坐标法是用角终边上的点的坐标来刻划的锐角三角函 数,不受直角三角形的约束,那么任意角的三角函数是否可类似地用坐标来 定义? (学习过程 4 的分析) 在前面的知识的基础上进行类比,为新授内容作铺垫 【学生操作课件 2】 打开【课件 2】观察任意角 α 的终边分别位于不同位置时,三个比值的 变化情况。(注意:仔细观察这个课件的演示情况,对我们以后的学习将有 很大的帮助。) 【教师总结课件 2】 随着 α 的终边在轴上及各象限内变化,三个比值也随着变化;且对于 任何一个确定的角,每一个比值都是唯一确定的(终边在 y 轴上时,y/x 除 外),根据函数的定义,它们实际上构成了以角为自变量、以比值为函数值 的函数。我们把它们分别叫做任意角的正弦、余弦、正切函数。 课件 2 的分析: 随着 α 的终边在轴上及各象限内的变化,利用几何画板的动态演示和 度量功能,展示三个比值的变化情况。学生通过对课件 2 的操作,将新授的 抽象内容形象化, 有利于学生准确理解和掌握新知识; 它也能为以后学习 (三 角函数的定义域、值域、三角函数值的符号、单调性、奇偶性、对称性、周 期性)作铺垫。 学习过程 5 【教师启发学生形成任意角三角函数定义】实际上欧拉就是用这种方法 来定义任意角的三角函数的。任意角的三角函数的定义: 设 α 是一个任意角,α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y),点 P 到原 点的距离为 r ( ),

那么 sinα =

, cosα =

, tanα =



比值





分别叫做 α 的正弦、余弦、正切。

学习过程 5 分析: 通过类比和课件 2 的操作, 在锐角三角函数的基础上得出任意角的三角 函数的定义,反映从特殊到一般的数学归纳思维形式。 学习过程 6 课堂举例 例题:已知角 α 的终边经过点 P(-3,4),分别求出 α 的正弦、余弦、 正切值。 【教师引导学生分析】利用三角函数的定义解决本例,主要是先求出 OP 的长度 r,再利用三种函数的定义得出所求。 解: ,

(学习过程 6 的分析)及时巩固,并要求学生规范书写,及时进行知识 的内化,培养学生严谨治学的习惯。 学习过程 7 几何表示【教师引导】角 α 的三种三角函数值与点 P 的位置无关,只 与角 α 的终边在坐标系中的位置有关。 对于确定的角 α 若 r=1,则 sinα = =y,此时 P 点在什么位置?(点 P 在以原点为原心,半径为 1 个单位长度的 圆上,称这个圆叫单位圆)

如图: 角 α 的终边与单位圆交于点 P, 过点 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M。 则 sinα = =y,显然线段 MP 的长度为|y|,这就是说,sinα 的值与线段 MP

有一定的关系。到底有怎样的关系? (学习过程 7 的分析) 从特殊情况入手,引导学生观察,通过分析,发现问题,激发学生探求 解决问题的途径和方法。让学生亲历知识的形成过程,培养学生良好的数学 意识。师生共同探讨,在轻松的环境中相互影响,符合素质教育的思想。让 学生自已探求 cosa、tana 的几何表示反映了学贵思,思则变。如果学生能 自已解决的问题,教师再包办的话,实属本末倒置,因为学生的能力是在学 习实践活动中逐步培养起来。 【学生操作课件 3】,进入课件 3 进行观察。 【操作课件 3 后,形成结论】 设任意角 α 的顶点与原点 O 重合,始边 与 x 轴的非负半轴重合, 终边与单位圆相交于点 P(x,y), 过点 P 作 x 轴的垂 线,垂足为 M,则规定了起点与终点的有向线段 MP 的值就是 sinα .我们把 与单位圆有关的有向线段 MP 称之为角 α 的正弦线。这就是角 α 的正弦值 的几何表示。 思考:如何用与单位圆有关的有向线段这一几何形式来表示 cosα ? 【学生再操作课件 3】打开课件 3 再次观察 课件 3 分析:把线段 MP 看作是有方向的线段,学生一时难以接受,但 又有其科学性(合理性)。通过直观操作,让学生明白知识的形成过程中有 时需要创新,不能总局限于常规。课件操作过程中,发生了新旧知识间的冲 突,通过加强引导,启发学生思考,对提升学生创新意识大有益处。 对课件 3 的两次操作:前次操作注重引导学生创新,后者注重学生学习 知识的触类旁通。 【学生操作课件 4】

思考:如何用与单位圆有关的有向线段这一几何形式来表示 tanα ? 【师生共同总结】 有向线段 0M 叫做角 α 的余弦线,这就是角 α 的余弦值的几何表示。 有向线段 AT 叫做角 α 的正切线,这就是角 α 的正切值的几何表示。 (课件 4 的分析) 分别用不同的颜色表示三种三角函数线,进行演示。让学生体会如何用 几何方法表示角 α 的三角函数值。观察并发现特殊情况。 学习过程 8 练习 1、已知角 α 的终边经过点 P(6,-8),分别求出角 α 的正弦、余弦、正 切值。 2、分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:

(1)

(2)

(3)

(4)

3、用三角函数的定义分别求出下列各角的正弦、余弦、正切值: (1) 0° 2)60°3)90°(4) 120°(5)-45° 学习过程 8 的分析:及时的巩固,才能真正地掌握所学的知识。习题的 选取应有利于巩固所学知识,又有利于学习能力的提高。 学习过程 9 【小结与作业】这堂课我们主要学习了任意角 α 的正弦、余弦、正切 函数的定义,以及它们的几何表示。请同学们课后回忆一下,这两部分知识 是如何形成的。 作业:课本 P19 页的第 1 题;P20 页的第 1、2 题。 七. 板书设计

1、角三角函数的定义--RtΔ ABC 中,

sinA=

、cosA=

、tanA=

2、任意角的三角函数的定义--坐标法将角 α 的顶点与坐标原点重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合,在 α 的终边上任取一点 P(x,y),设 |OP|=r( ),

那么 sinα =

,cosα =

,tanα =

,比值







别叫做 α 的正弦、余弦、正切。 3、单位圆中的三角函数线 有向线段 MP 称之为角 α 的正弦线, 有向线段 OM 称作角 α 的余弦线,

有向线段 AT,称之为角 α 的正切线。 八. 练习设计 1、已知角 α 的终边经过点 P(6,-8),分别求出角 α 的正弦、余弦、正 切值。 2、分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: (1) (2) (3) (4)

3、用三角函数的定义分别求出下列各角的正弦、余弦、正切值: (1)0° 2)60° (3)90° (4) 120°; (5)-45° 九.《任意角的三角函数》教学结构流程图


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