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专题05 数列求和方法-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(原卷版)


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专题 26 数列求和方法
【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数 学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方 法,在高等数学的学习中起着重要作用 ,因而成为历年高考久考不衰的热点题型 ,在历年的高考中都占有重要 地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法,是高考的必考热

点之一。此类 问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面,就近几年 高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方 法点评】 方法一 公式法

解题模板:第一步 结合所求结论,寻找已知与未知的关系; 第二步 根据已知条件列方程求出未知量; 第三步 利用前 n 项和公式求和结果 例 1.设 {an } 为等差数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项和,已知 S 7 ? 7 , S15 ? 75 , Tn 为数列 { 和,求 Tn .

Sn } 的前 n 项 n

1 【变式演练 1】在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=4,则公比 q=________;a1+a2+…+an=________. 2

方法二

分组法

解题模板:第一步 定通项公式:即根据已知条件求出数列的通项公式; 第二步 巧拆分:即根据通项公式特征,将其分解为几个可以直接求和的数列; 第三步 分别求和:即分别求出各个数列的和 ; 第四步 组合:即把拆分后每个数列的求和进行组合,可求得原数列的和. 例 2. 已知数列{an}是 3+2-1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,…,写出数列{an}的通项公式并求其前 n 项 Sn . 【变式演练 2】 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n(n ? N ? ) , 数列 {bn } 是以函数 y ? 4sin 2 (? x ? ) ? 1 的 最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 S n .
[来源:Z_xx_k.Com]

1 2

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方法三

裂项相消法

解题模板:第一步 定通项公式:即根据已知条件求出数列的通项公式; 第二步 巧裂项:即根据通项公式特征准确裂项,将其表示为两项之差的形式; 第三步 消项求和:即把握消项的规律,准确求和. 例 3 .已知数列 {an } 前 n 项和为 S n ,首项为 a1 ,且 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {bn } 满足 bn ? (log 2 a2 n ?1 ) ? (log 2 a2 n ?3 ) ,求证:

1 , a n , S n 成等差数列. 2

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? . b1 b2 b3 bn 2

【变式演练 3】已知知函数 f ( x) ? x ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,若
2

数列 {

1 } 的前 n 项 和为 S n ,则 S 2013 的值为( f ( n)
2013 2014
B.

)

A.

2012 2013

C.

2011 2012

D.

2010 2011

方法四 错位相减法 解题模板:第一步 巧拆分:即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式; 第二步 确定等差、等比数列的通项公式; 第三步 构差式:即写出 S n 的表达式,然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子, 两式作差; 第四步 求和:根据差式的特征准确求和.
[来源:Z§xx§k.Com]

例 4. 已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 2 , 2an ? 1 ? an an ?1 , bn ? an ? 1 , bn ? 0 . (Ⅰ)求证数列 {

1 } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; bn

(Ⅱ)令 c n ?

1 求数列 ?c n ? 的前 n 项和 Tn . bn 2 n

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【变式演练 4】 已知首项都是 1 的两个数列 {an } 、{bn }( bn ? 0 ,n ? N? ) 满足 anbn ?1 ? an ?1bn ? 2bn ?1bn ? 0 . (Ⅰ)令 cn ?

an ,求数列 {cn } 的通项公式; bn

(Ⅱ )若 bn ? 3n?1 ,求数列 {an } 的 前 n 项和 S n .

方法五 例 5.设 f ( x) ? 4 x A. 4
x

倒序相加法

[来源:Z§xx§k.Com]

4 ?2

?1? ?2? ?3? ? 10 ? , 则f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? ? ( ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?

)

B. 5

C. 6

D. 10

[来源:学科网 ZXXK]

3x ? 2 1 , ( x ? ). 2x ?1 2 1 2 2009 (1)求 F ( ) ? F( ) ? ? F( ) 的值; 2010 2010 2010
【变式演练 5】已知函数 F ( x) ? (2)已知数列 {an }满足a1 ? 2, an ?1 ? F (an ) ,求证数列 ? (3)已知 bn ?

? 1 ? ? 是等差数列; ? an ? 1 ?

2n ? 1 ,求数列 {an bn } 的前 n 项 和 S n . 2n

【高考再现】 1. (2014· 江西卷)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. an (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; bn (2)若 bn=3n 1,求数列{an}的 前 n 项和 Sn.


2. (2014· 全国卷)等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤ S4. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

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3. (2014· 山东卷)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n
-1

4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

[来源:Zxxk.Com]

2 2 4. (2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0.

(1)求数列{an}的 通项公式 an; (2)令 bn= n+1 5 ,数列{bn}的前 n 项 和为 Tn,证明:对于任意的 n ∈N*,都有 Tn< . 64 (n+2)2a2 n

1 5. (2013· 湖南卷)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan- n,n∈N*,则 2 (1)a3=________; (2)S1+S2+…+S100=________.

6. (2013· 山东卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ n =λ(λ 为常数),令 cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 2 Rn.
[来源:Zxxk.Com]

【反馈练习】 1. 设{ an}和{bn}都是等差数列, 其 中 a2+b2=20, a99+b99=100, 则数列{an+bn}的前 100 项之和 S100=( A.6 000 B.60 000 C.600 D.5 050 )

2.已知数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1, 则数列{an}前 12 项和 S12=( A.76 C.80 B.78 D.82

)

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3. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 并且 S10>0, S11<0, 若 Sn≤Sk 对 n∈N*恒成立, 则正整数 k 的取值为( A.5 C.4 B.6 D.7 )

)

4.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),前 n 项和为 Sn=3n+k,则实数 k 为( A.-1 B.0 C.1 D.2 )

5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,则 a10=( A.1 C.10 B.9 D.55

? 1 ? 6.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则数列?f n ?(n∈N*)的前 n 项和是( ? ?

)

n+2 n+1 n n A. B. C. D. n n+1 n+1 n-1

7.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n· (an+1),记 Sn 为{an}前 n 项的和,则 S2 013=________. 8.有穷数列 1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n 1 所有项的和为________.


2 2 9.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 1+a 2+…+an=________.

10.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列; (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=a n+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn.

11.设数列{an}的前 n 项 和为 Sn,已知 a1=1,Sn=nan-n(n-1)(n=1,2,3,…). (1)求证:数列{an}为等差数列, 并写出 an 关于 n 的表达式;
? 1 ? 100 (2)若数列?a a ?的前 n 项和为 Tn,问满足 Tn> 的最小正整数 n 是多少? 209 + ? n n 1?

12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1;数列{bn}满足 bn-1-bn=bnbn-1( n≥2,n∈N*),b1=1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;

Go the distance ?an? (2)求数列?b ?的前 n 项和 Tn. ? n?

13.数列 ?an ? 的 前 n 项 和为 S n ,且 Sn ? an ? 1 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4, bn ?1 ? 3bn ? 2 ; (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
[来源:学#科#网]

(Ⅱ)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an log 3 ? b2 n ?1 ? 1? ,其前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

14.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ,满足: Sn ? 2an ? 2n(n ? N * ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)若数列 {bn } 的满足 bn ? log 2 (an ? 2) , Tn 为数列 {

bn 1 } 的前 n 项和,求证: Tn ? . 2 an ? 2


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