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函数y=(ax^2+bx+c)e^z+m(a≠0)探究


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专论荟萃?  

数学通讯 一 2 1 0 1年第 3期 ( 下半 月)  

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函 数  =( x + a     +c e +  ≠0 探 究  2 )   ( )
顾希明  
( 湖南省湘潭市第一 中学 , 1 1 0  4 10 )

数 Y=(x +b a   z十c  )

( ≠0 z∈R) a , 与 

同理 , a<0时 , 当 由下 列 表 of  ̄ 和 f ( 的  0 ( )   z) 关系 :  
( 。 z 1    X l 2  2( 2 +∞) 一o ,  )X 1  , )  (      ,   ,(     ) f x) (   减  0   极小  +   增  0   极大  减 

二次函数 Y x + +c( = 0 ∈R 有着千丝  =a     a/ , =  )
万缕 的关系 , 面讨 论 函数 Y=(x + +Ce 下 a    )  ( ≠0 z∈R) a , 的性 质和 图象 以及运 用 .  
1 性质和 图象 的讨论 

设 / x)= ( (  


+ 妇 + C  )

( a≠ 0 , ) 则 

厂 ( =[. +(a+b X+( +c ]  .   ) a  2 3 c ) b )e 又设 △  
=b 一4c △ =(口+b 一4 b+C =4  +b z n ,  2 ) 盘( ) a  


得到如下结论 : 口 当 <0时, 函数厂 z 在区间( () 一∞,  


4口 f= 4  2+△

) ( 2 +∞) 为减 函数 , 和   , 上 而在 区间 (  , ) z lX 2 

. 

( )当 △>0时 , △ >0 函数 f z)   1 有   . ( =(

+  

上 为增 函数 , (  ) f x 1为极 小 值 , (  ) f z :为极 大值 ; 当  一 一∞时 , x) 于 零 而 趋 于零 , z一 十∞ 时 , f( 小 当  

妇 +ce 与 Y=a,   十f有相 同的零点 zl )  T  + 和  2 1 2 , 时 方 程 aC+( a+b z+( ( <X )此 , . 2   2 ) b+c  )


f x 一 一∞. () 最大值为 f x2 . (  )   f z 的图象大致如图 2 () .  
. y  

0有两个不 同的根 X 1   和  t( l 2  <  2 下 同) )( .  
于是 当 a>0时 , 由下列 表 中f( 和f ( 的  x)    )

关系:  
( 一∞,  )X 1   1 2  2( 2 +∞) X 1     ( , )    ,    
,(     z) +   0   0   +  



/;  

~  

刈  \
2  

z)  

增 

极大 

减 

极小 

增 

得 到如下结 论 : a>0时 , 当 函数f( ) 区 间( o  x在 一o ,
X  P



可证 , 论 a>0或 口<0 均 有  l  1   不 , < <

1和 ( , o上 为增 函数 , 在 区 间 (  ,  ) ) z 2 +o ) 而 z 1X 2 

2 X2 < .  

上为减函数 ,(  ) f x 1为极大值 , (  ) f X2为极小值 ;   当
一 一∞时 , ( 大 于零 而 趋 于 零 , f x) 当  一 +∞ 时 ,  

( )当 △=0时 , △ >0 函数 f x) 纰     2 有   . ( =( +

+ce 与Y: )    

+ +c   有相 同的零点x , o  

( 一 十∞.  ) 最小值为 f x2 . (  )  
f x) ( 的图象大致 如 图 1 .  
l  

此时方 程 a   2 x +(a+b X+( ) b+c =0仍有 两 个  )
不 同的根 X 1 z 2 z 1  ).   和   (   <X 2   由z :一 。  b 及 z  


=  

=  

—一 — 



/  

可知 ,   z =X2  l 一2十 . 据 () o  , :  o根 1 的讨 论 , 我们  有如 下结 论 :   当 a>0时 , 函数 厂 ) 区 间 ( ( 在 一∞ , 0 ) z —2 和 

( x l/2 ) 1 \         

图 1    

( 0 +∞ ) 为增 函 数 , 在 区间 ( 0 , ) 为  X, 上 而 X —2 0上

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数 学通讯 一 2 1 0 1年第 3期 ( 下半月)  

? 专论 荟萃 ?  

减 函数 ,  o ) f( 一2 为极 大 值 ,  o =0为 极 小值 ; f( )   当 z 一o 时 , ( 大 于零 而 趋 于 零 , 一 o f x) 当  一 十o  o 时 , ( 一 +o . f x) o 最小 值 为 f x ) . ( 0 =0 图象 大致 如 
图 3  .
J  

( )当 A ≤0时 , 4   必有 △<0 此 时 函数 厂 )   . ( = (  +b 纰 z+f  ) 个 实数 根 .   当 a>0时 , ( > 0 N f( 在 R上为 增 函     ) , / x) 与  =   +b z+c均没 有 零  点, 方程 a   2 . +( a+b  +( T c ) b+c =0最多 只有 一  )

t  Xo   ) -2
、、  

xo  

数 , 当  一 一o