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专论荟萃?
数学通讯 一 2 1 0 1年第 3期 ( 下半 月)
3 5
函 数 =( x + a +c e + ≠0 探 究 2 ) ( )
顾希明
( 湖南省湘潭市第一 中学 , 1 1 0 4 10 )
函数 Y=(x +b a z十c )
( ≠0 z∈R) a , 与
同理 , a<0时 , 当 由下 列 表 of  ̄ 和 f ( 的 0 ( ) z) 关系 :
( 。 z 1 X l 2 2( 2 +∞) 一o , )X 1 , ) ( , ,( ) f x) ( 减 0 极小 + 增 0 极大 减
二次函数 Y x + +c( = 0 ∈R 有着千丝 =a a/ , = )
万缕 的关系 , 面讨 论 函数 Y=(x + +Ce 下 a ) ( ≠0 z∈R) a , 的性 质和 图象 以及运 用 .
1 性质和 图象 的讨论
设 / x)= ( (
.
+ 妇 + C )
( a≠ 0 , ) 则
厂 ( =[. +(a+b X+( +c ] . ) a 2 3 c ) b )e 又设 △
=b 一4c △ =(口+b 一4 b+C =4 +b z n , 2 ) 盘( ) a
—
得到如下结论 : 口 当 <0时, 函数厂 z 在区间( () 一∞,
1
4口 f= 4 2+△
) ( 2 +∞) 为减 函数 , 和 , 上 而在 区间 ( , ) z lX 2
.
( )当 △>0时 , △ >0 函数 f z) 1 有 . ( =(
+
上 为增 函数 , ( ) f x 1为极 小 值 , ( ) f z :为极 大值 ; 当 一 一∞时 , x) 于 零 而 趋 于零 , z一 十∞ 时 , f( 小 当
妇 +ce 与 Y=a, 十f有相 同的零点 zl ) T + 和 2 1 2 , 时 方 程 aC+( a+b z+( ( <X )此 , . 2 2 ) b+c )
=
f x 一 一∞. () 最大值为 f x2 . ( ) f z 的图象大致如图 2 () .
. y
0有两个不 同的根 X 1 和 t( l 2 < 2 下 同) )( .
于是 当 a>0时 , 由下列 表 中f( 和f ( 的 x) )
关系:
( 一∞, )X 1 1 2 2( 2 +∞) X 1 ( , ) ,
,( z) + 0 0 +
l
/;
~
刈 \
2
z)
增
极大
减
极小
增
得 到如下结 论 : a>0时 , 当 函数f( ) 区 间( o x在 一o ,
X P
注
可证 , 论 a>0或 口<0 均 有 l 1 不 , < <
1和 ( , o上 为增 函数 , 在 区 间 ( , ) ) z 2 +o ) 而 z 1X 2
2 X2 < .
上为减函数 ,( ) f x 1为极大值 , ( ) f X2为极小值 ; 当
一 一∞时 , ( 大 于零 而 趋 于 零 , f x) 当 一 +∞ 时 ,
( )当 △=0时 , △ >0 函数 f x) 纰 2 有 . ( =( +
+ce 与Y: )
+ +c 有相 同的零点x , o
( 一 十∞. ) 最小值为 f x2 . ( )
f x) ( 的图象大致 如 图 1 .
l
此时方 程 a 2 x +(a+b X+( ) b+c =0仍有 两 个 )
不 同的根 X 1 z 2 z 1 ). 和 ( <X 2 由z :一 。 b 及 z
,
=
=
—一 —
一
/
可知 , z =X2 l 一2十 . 据 () o , : o根 1 的讨 论 , 我们 有如 下结 论 : 当 a>0时 , 函数 厂 ) 区 间 ( ( 在 一∞ , 0 ) z —2 和
( x l/2 ) 1 \
图 1
( 0 +∞ ) 为增 函 数 , 在 区间 ( 0 , ) 为 X, 上 而 X —2 0上
3 6
数 学通讯 一 2 1 0 1年第 3期 ( 下半月)
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减 函数 , o ) f( 一2 为极 大 值 , o =0为 极 小值 ; f( ) 当 z 一o 时 , ( 大 于零 而 趋 于 零 , 一 o f x) 当 一 十o o 时 , ( 一 +o . f x) o 最小 值 为 f x ) . ( 0 =0 图象 大致 如
图 3 .
J
( )当 A ≤0时 , 4 必有 △<0 此 时 函数 厂 ) . ( = ( +b 纰 z+f ) 个 实数 根 . 当 a>0时 , ( > 0 N f( 在 R上为 增 函 ) , / x) 与 = +b z+c均没 有 零 点, 方程 a 2 . +( a+b +( T c ) b+c =0最多 只有 一 )
t Xo ) -2
、、
xo
数 , 当 一 一o时 , ( 大 于 零 而趋 于零 , z 且 。 f x) 当 一
+o 时 , ( 一 +∞ . o f x) 图象大 致如 图 7 .
J
0
图 3
图
4
当a <0时 , 函数厂( ) 区间 ( o 0 ) 在 一o , —2 和 ( 0 +∞) z, 上为 减 函数 , 在 区 间 ( 0 , o上 为 而 z —2 z )
\
n <O
增函数, ( 0 ) f z —2 为极小值 , ( ) f 0 =0为极大值 ;
当 一 一。时 , ) 于 零 而趋 于零 , z一 +。 。 厂( 小 当 。
幽 7 图 8
时,( 一 一o . 厂 ) o 最小值为 f o =0 图象大致如 ( ) .
图4 .
当a <O时 , z) 0 N f x) R上 为减 函 f( ≤ , ( 在 数 , 当 . 一。 时 , ,) 于零 而趋 于零 , z 且 z 一 o f( 小 7 2 当 一
()当 A<0但 △ >0时 . 3 , 函数f x) 纰 ( =( + 缸 十c e 与 y=船 z+c均 没有 零 点 , 时 ) +b 此
ac +( a+b z+( 3 2 ) b+c =0仍 有 两 个 不 同的 根 ) z1 和 2 1 ). ( <z 2
+o时 , ( 一 一∞ . o f z) 图象大 致如 图 8 . 综 上 : 于 函数 厂( =(x 对 z) a +b z+c e ( ) a
 ̄ 0 zER) -, , ① 当 A=b 一4 c a >0时 , △ =4 有 a +A>0 ,
由前面 的讨论知 : 当 以>0时 , 函数 f x) 区 间 ( o z1 和 ( 在 一o , ) ( 2 +。 ) 为增 函数 , , o上 而在 区间 ( 1 2上 为 减 , )
函数f x 有两个零点和两个极值点 , () 其中 z2 是最 小值点( >0 或是最大值点( <0 . a ) a )
② 当 △=b —4 c a =0时 , A =4 +△>0 有 a ,
函数 , ( ) f x 。为极大值 , ( ) f x2为极小值 , 当 z 且 一
一
函数f ) ( 有一个零点 z =一 和两个极值点z — o 0
2及 z , 中 z 为 最小值 点 , o其 o 且恒 有_ z >0( 厂 ) ( / a> 0 , z 为最 大值点 , 恒有 f x ≤0( <0 . )或 o 且 () a ) ③ 当 A=b 一4 c , A =4 +A>0时 , a <0 但 a
o 时 , ( 大 于 零 而 趋 于 零 , z一 十 ∞ 时 , 。 f ) 当
厂 ) 十C 元 最大 值 和最 小值 . ( 一 O. 图象大致 如 图 5 .
l
JJ l
。
D
1
函数 =(s +b ac x+c e( 0 3∈R) )x ≠ , 2 没有零 点 ,
—— 一
~
D
l
’ i 、 1
.
但有两个极值点 , 无最值点 . 且恒有f x >0( () a>
0 , ( <0( ) 或f z) n<0 . )
。
④ 当 △=4 +△<0时 , a 一定 有 A=b 一4c a
<0 函数 y=( + +c ( ≠ 0 - , 纰 ) a , z∈R) 没有
图
5
图
6
零点 , 也没有极值点, R上是单调的 , 在 且恒有f x ()
>0( a>0 , f ) )或 ( <0( a<0 . ) 2 函数性 质 与 图象 的运 用
当 a<0时 , 数 .( 在 区 间 ( 函 厂 ) 一∞ , ) z1 和 ( 2 +o) , o 上为 减 函数 , 在 区 间 ( ' ) 为增 而 z lz2上
函数 , ( ) f x 1为极小值 , ( 2为极 大值 ; 当 z f ) 且 一
一
例 1 当函数f x) 一2 取 得最 小值 ( =( x)
∞ 时, ( 小 于 零 而趋 于零 , 厂 ) 当 一 十 ∞ 时 ,
时 , 的值为
A.2 B. 一2 C.
(
)
厂z 一 一∞. () 无最大值和最小值 . 图象大致如图 6 .
D. 一√ 2
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数学通讯 一 2 1 年第 3期 ( 01 下半 月)
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几 个 新 的不 等 式 及 其 应 用
李兴无
( 广东省深圳市宝安 区西 乡中学 , 1 12 580 )
本文给出几个新的不 等式 , 并运用其解决有关
数 列和式 的不 等式证 明题 .
筒鲁” () <
又‘ . ‘口>ma(6, } ?0 ) ,. <旦 <1 { . .
() *
1 几个 新 的不 等式 定理 1 设 b , >0 口>ma { √b}则 对 V7∈ x b, , 2
N 不 等式
+ < + 1 盘”+ 6 以” 一 6 \nn ’口n ” 十1 +1 +1
对 N均 () 导 成 .而 使 V∈ 有 恒 立因 要 ≤
( 恒 成立 当且仅 当 *)
①
>()一= ∞3口+6 [ 鲁 口 6 口 ] >2 十
b, 故本 定理 成立 . 定理 1的推 论 设 6 , 对 V7∈N 均有 >0则 / "
恒成立 ∞ 口 >a b+b . b +a
证明
? 。 .
用 等价法 证 明 .
不式甘 等①
一 1
一矗 方
<
<
南
+
十
T =
②
<
∞ a b+ b 1 口” " ” < 2一 n l 6”
证 明 . 。b>0 在定理 1中令 n=b+1 , ,
贝 Ⅱ口>6且 口=b+1 ≥2 ̄ , >4 Z,
‘
e ( 1 b <倪 ( b 其 中 口 一b ) n+ )” 口 一 )( >0
.
.
a>ma { } x b. .
解
因 n=1 , = 一2 C . 以 2 >0 b , =0 所 口+b=
.
 ̄1 。且厂 ) / 十 , ( 在区间( o 口一1  ̄1 a ) 一o, 一 / + 2及
区间( a一1 ^ 1 +C) +/ +口 , O 为增函数 , / 在区间( n一
0. △ =4a2+ A = 8
.
+ / - 故所求 的 :— (a + b) v  ̄ -— 2
— — —
一
:
.
选 c.
1 /+ , 一、1 口一1 / +口 ) / + ̄ 1 为减 函数 , 已知 口 而 ≥0时, n 一 / +口 < 一1a一1  ̄ 1 有 一1  ̄ 1 , + / +n ≥
a≥ 0.
例 2 (0 5 全 国卷 Ⅱ)已知 a , 20 , ≥0 函数 f x) (
=
( —2 z) 2 n e .
()当 - 1 z为何值 时 , ) 得 最 小值 ?证 明你 ( 取
的结论 ;
故 [ 1 1 ( 一 l一、 1 口 一1+ ~ ,] 口 / +以 , /
()设- z) [ , ] 是 单 调 函数 , n 的 2 厂 在 一1 1 上 ( 求 取 值范 围 . 解 ( )由 . 1 2 7 一2x=0 得 △>0 所 以 △ > a , ,
 ̄1 , / +口 )只须 一1 / +a ≥1 +、1 2 即可, , ≥ / 解得 n
号即 取 范 是号 十 ) . 的 值 围 [,∞.
从上 面的讨论和应用可知 , 我们若 能熟练掌握
f x) n x+ce ( =(z +b )
: 盘一 1
0故 - ) , 厂 有最 小值 . (
( ≠ 0 ,∈R) 函数 Y 口 , 7 5 和
且当 z:z2 -( - a .- 4 2 ,:一 2 2 )  ̄ + a +/ 4
+ ̄1 。 / +& 时取 得最 大值 .
=纰 x+c( ≠ 0 .∈R) +b a , z 的关 系 , 就能 掌握 其 函数 图象 和性 质 , 能更 快 地解 决此 类 函数 问题 .
( 收稿 日期 :0 0 1 7 2 1 —1 —1 )
()由 . l 2 3 =口一1 / +a , =口一1+ 5 一 ̄1 x 2