函数y=(ax^2+bx+c)e^z+m(a≠0)探究

?

专论荟萃? 　

数学通讯 一 ２ １ ０ １年第 ３期 （ 下半 月） 　

３　 ５

函 数　 ＝（ ｘ ＋ ａ 　 　 ＋ｃ ｅ ＋ 　≠０ 探 究　 ２ ）　 　（ ）
顾希明 　
（ 湖南省湘潭市第一 中学 ， １ １ ０　 ４ １０ ）

函

数 Ｙ＝（ｘ ＋ｂ ａ 　 ｚ十ｃ　 ）

（ ≠０ ｚ∈Ｒ） ａ ， 与　

同理 ， ａ＜０时 ， 当 由下 列 表 ｏｆ ￣ 和 ｆ （ 的　 ０ （ ） 　 ｚ） 关系 ： 　
（ 。 ｚ １　 　 Ｘ ｌ ２　 ２（ ２ ＋∞） 一ｏ ， 　）Ｘ １ 　， ） 　（ 　 　　 ， 　 ，（ 　 　　） ｆ ｘ） （ 　 减　 ０ 　 极小　 ＋ 　 增　 ０ 　 极大　 减　

二次函数 Ｙ ｘ ＋ ＋ｃ（ ＝ ０ ∈Ｒ 有着千丝　 ＝ａ 　 　 ａ／ ， ＝　 ）
万缕 的关系 ， 面讨 论 函数 Ｙ＝（ｘ ＋ ＋Ｃｅ 下 ａ　 　 ）　 （ ≠０ ｚ∈Ｒ） ａ ， 的性 质和 图象 以及运 用 ． 　
１ 性质和 图象 的讨论　

设 ／ ｘ）＝ （ （ 　
．

＋ 妇 ＋ Ｃ　 ）

（ ａ≠ ０ ， ） 则　

厂 （ ＝［． ＋（ａ＋ｂ Ｘ＋（ ＋ｃ ］　 ． 　　） ａ　 ２ ３ ｃ ） ｂ ）ｅ 又设 △ 　
＝ｂ 一４ｃ △ ＝（口＋ｂ　一４ ｂ＋Ｃ ＝４ 　＋ｂ ｚ ｎ ，　 ２ ） 盘（ ） ａ 　
—

得到如下结论 ： 口 当 ＜０时， 函数厂 ｚ 在区间（ （） 一∞， 　
１

４口 ｆ＝ ４ 　２＋△

） （ ２ ＋∞） 为减 函数 ， 和 　 ， 上 而在 区间 （ 　，　） ｚ ｌＸ ２　

．　

（ ）当 △＞０时 ， △ ＞０ 函数 ｆ ｚ） 　 １ 有 　 ． （ ＝（

＋ 　

上 为增 函数 ， （ 　） ｆ ｘ １为极 小 值 ， （ 　） ｆ ｚ ：为极 大值 ； 当　 一 一∞时 ， ｘ） 于 零 而 趋 于零 ， ｚ一 十∞ 时 ， ｆ（ 小 当 　

妇 ＋ｃｅ 与 Ｙ＝ａ， 　 十ｆ有相 同的零点 ｚｌ ）　 Ｔ 　＋ 和　 ２　１ ２ ， 时 方 程 ａＣ＋（ ａ＋ｂ ｚ＋（ （ ＜Ｘ ）此 ， ． ２ 　 ２ ） ｂ＋ｃ　 ）
＝

ｆ ｘ 一 一∞． （） 最大值为 ｆ ｘ２ ． （ 　） 　 ｆ ｚ 的图象大致如图 ２ （） ． 　
． ｙ 　

０有两个不 同的根 Ｘ １ 　 和　 ｔ（ ｌ ２　 ＜　 ２ 下 同） ）（ ． 　
于是 当 ａ＞０时 ， 由下列 表 中ｆ（ 和ｆ （ 的　 ｘ） 　 　）

关系： 　
（ 一∞， 　）Ｘ １ 　 １ ２　 ２（ ２ ＋∞） Ｘ １　 　 　（ ， ） 　　 ， 　 　
，（ 　 　 ｚ） ＋ 　 ０ 　 ０ 　 ＋ 　

ｌ

／； 　

～ 　

刈　 ＼
２ 　

ｚ） 　

增　

极大　

减　

极小　

增　

得 到如下结 论 ： ａ＞０时 ， 当 函数ｆ（ ） 区 间（ ｏ　 ｘ在 一ｏ ，
Ｘ　 Ｐ

注

可证 ， 论 ａ＞０或 口＜０ 均 有　 ｌ 　１ 　 不 ， ＜ ＜

１和 （　， ｏ上 为增 函数 ， 在 区 间 （ 　， 　） ） ｚ ２ ＋ｏ ） 而 ｚ １Ｘ ２　

２ Ｘ２ ＜ ． 　

上为减函数 ，（ 　） ｆ ｘ １为极大值 ， （ 　） ｆ Ｘ２为极小值 ； 　 当
一 一∞时 ， （ 大 于零 而 趋 于 零 ， ｆ ｘ） 当　 一 ＋∞ 时 ， 　

（ ）当 △＝０时 ， △ ＞０ 函数 ｆ ｘ） 纰 　 　 ２ 有 　 ． （ ＝（ ＋

＋ｃｅ 与Ｙ： ） 　 　

＋ ＋ｃ 　 有相 同的零点ｘ ， ｏ 　

（ 一 十∞． 　） 最小值为 ｆ ｘ２ ． （ 　） 　
ｆ ｘ） （ 的图象大致 如 图 １ ． 　
ｌ 　

此时方 程 ａ 　 ２ ｘ ＋（ａ＋ｂ Ｘ＋（ ） ｂ＋ｃ ＝０仍有 两 个　 ）
不 同的根 Ｘ １ ｚ ２ ｚ １ 　）． 　 和 　 （ 　 ＜Ｘ ２ 　 由ｚ ：一 。 　ｂ 及 ｚ 　
，

＝ 　

＝ 　

—一 —　

一

／ 　

可知 ， 　 ｚ ＝Ｘ２　 ｌ 一２十 ． 据 （） ｏ 　， ： 　ｏ根 １ 的讨 论 ， 我们　 有如 下结 论 ： 　 当 ａ＞０时 ， 函数 厂　） 区 间 （ （ 在 一∞ ， ０ ） ｚ —２ 和　

（ ｘ ｌ／２ ） １ ＼ 　　 　 　 　

图 １ 　 　

（ ０ ＋∞ ） 为增 函 数 ， 在 区间 （ ０ ， ） 为　 Ｘ， 上 而 Ｘ —２　０上

３　 ６

数 学通讯 一 ２ １ ０ １年第 ３期 （ 下半月） 　

? 专论 荟萃 ? 　

减 函数 ， 　ｏ ） ｆ（ 一２ 为极 大 值 ， 　ｏ ＝０为 极 小值 ； ｆ（ ） 　 当 ｚ 一ｏ 时 ， （ 大 于零 而 趋 于 零 ， 一 ｏ ｆ ｘ） 当　 一 十ｏ　 ｏ 时 ， （ 一 ＋ｏ ． ｆ ｘ） ｏ 最小 值 为 ｆ ｘ ） ． （ ０ ＝０ 图象 大致 如　
图 ３　 ．
Ｊ 　

（ ）当 Ａ ≤０时 ， ４ 　 必有 △＜０ 此 时 函数 厂　） 　 ． （ ＝ （ 　＋ｂ 纰 ｚ＋ｆ　 ） 个 实数 根 ． 　 当 ａ＞０时 ， （ ＞ ０ Ｎ ｆ（ 在 Ｒ上为 增 函　 　 　） ， ／ ｘ） 与　 ＝ 　 ＋ｂ ｚ＋ｃ均没 有 零　 点， 方程 ａ 　 ２ ． ＋（ ａ＋ｂ　 ＋（ Ｔ ｃ ） ｂ＋ｃ ＝０最多 只有 一　 ）

ｔ　 Ｘｏ 　 ） －２
、、 　

ｘｏ 　

数 ， 当　 一 一ｏ时 ， （ 大 于 零 而趋 于零 ， ｚ 且 。 ｆ ｘ） 当 一　
＋ｏ 时 ， （ 一 ＋∞ ． ｏ ｆ ｘ） 图象大 致如 图 ７　 ．
Ｊ 　

０　

图　 ３ 　

图

４ 　

当ａ ＜０时 ， 函数厂（ ） 区间 （ ｏ　０ ） 　 在 一ｏ ， —２ 和　 （ ０ ＋∞） ｚ， 上为 减 函数 ， 在 区 间 （ ０ ， ｏ上 为　 而 ｚ —２ ｚ ）

＼ 　
ｎ ＜Ｏ 　

增函数， （ ０ ） ｆ ｚ —２ 为极小值 ， （ ） ｆ 　０ ＝０为极大值 ； 　
当　 一 一。时 ， 　） 于 零 而趋 于零 ， ｚ一 ＋。　 。 厂（ 小 当 。
幽　 ７ 　 图　 ８ 　

时，（ 一 一ｏ ． 厂　） ｏ 最小值为 ｆ 　ｏ ＝０ 图象大致如　 （ ） ．
图４ ． 　

当ａ ＜Ｏ时 ， 　 ｚ） ０ Ｎ ｆ ｘ） Ｒ上 为减 函　 ｆ（ ≤ ， （ 在 数 ， 当 ． 一。 时 ， ，） 于零 而趋 于零 ， ｚ 且 ｚ 一 ｏ ｆ（ 小 ７ ２ 当 一　

（）当 Ａ＜０但 △ ＞０时 ． ３ ， 　 函数ｆ ｘ） 纰 　 　 （ ＝（ ＋ 缸 十ｃ ｅ 与 ｙ＝船 　 ｚ＋ｃ均 没有 零 点 ， 时　 ）　 ＋ｂ 此
ａｃ ＋（ ａ＋ｂ ｚ＋（ ３ 　 ２ ） ｂ＋ｃ ＝０仍 有 两 个 不 同的 根　 ） ｚ１ 　 和　 ２　 １ 　 ）． （ ＜ｚ ２ 　

＋ｏ时 ， （ 一 一∞ ． ｏ ｆ ｚ） 图象大 致如 图 ８　 ． 综 上 ： 于 函数 厂（ ＝（ｘ 对 ｚ） ａ 　＋ｂ ｚ＋ｃ ｅ （　 ）　 ａ
￣ ０ ｚＥＲ）　 －， ， ① 当 Ａ＝ｂ 一４ ｃ 　 ａ ＞０时 ， △ ＝４ 　 有 　 ａ ＋Ａ＞０　 ，

由前面 的讨论知 ： 　 当 以＞０时 ， 函数 ｆ ｘ） 区 间 （ ｏ ｚ１ 和　 （ 在 一ｏ ， 　） （ ２ ＋。 ） 为增 函数 ， 　 ， ｏ上 而在 区间 （ １ ２上 为 减　 　 ， ） 　

函数ｆ ｘ 有两个零点和两个极值点 ， （） 其中 ｚ２ 　 是最　 小值点（ ＞０ 或是最大值点（ ＜０ ． ａ ） ａ ） 　
② 当 △＝ｂ —４ ｃ 　 ａ ＝０时 ， Ａ ＝４ 　＋△＞０　 有 　 ａ ，

函数 ， （ 　） ｆ ｘ 。为极大值 ， （ 　） ｆ ｘ２为极小值 ， 当 ｚ 且 一　
一

函数ｆ　） （ 有一个零点 ｚ ＝一 和两个极值点ｚ — ｏ 　 ０　
２及 ｚ ， 中 ｚ 为 最小值 点 ， ｏ其 ｏ 且恒 有＿ ｚ ＞０（ 　 厂 ） （ ／ ａ＞ ０ ， ｚ 为最 大值点 ， 恒有 ｆ ｘ ≤０（ ＜０ ． ）或 ｏ 且 （） ａ ） 　 ③ 当 Ａ＝ｂ 一４ ｃ ， Ａ ＝４　＋Ａ＞０时 ， 　 ａ ＜０ 但 　 ａ 　

ｏ 时 ， （ 大 于 零 而 趋 于 零 ， ｚ一 十 ∞ 时 ， 。 ｆ 　） 当 　

厂　） 十Ｃ 元 最大 值 和最 小值 ． （ 一 Ｏ． 图象大致 如 图 ５　 ．
ｌ 　

ＪＪ 　　 　 ｌ

。

Ｄ　

１ 　

函数　 ＝（ｓ ＋ｂ ａｃ ｘ＋ｃ ｅ（ ０ ３∈Ｒ） 　 ）ｘ　≠ ， ２ 没有零 点 ， 　

—— 一 　
～ 　

Ｄ　

ｌ 　

’ ｉ 　 　 、 　 １
．　

但有两个极值点 ， 无最值点 ． 且恒有ｆ ｘ ＞０（ 　 （） ａ＞
０ ， （ ＜０（ ） 或ｆ ｚ） ｎ＜０ ． ） 　

。 　

④ 当 △＝４ 　＋△＜０时 ， ａ 一定 有 Ａ＝ｂ 一４ｃ 　 ａ　
＜０ 函数 ｙ＝（ 　＋ ＋ｃ　 （ ≠ ０ － ， 纰 　 ） ａ ， ｚ∈Ｒ） 没有　

图

５ 　

图

６ 　

零点 ， 也没有极值点， Ｒ上是单调的 ， 在 且恒有ｆ ｘ 　 （）
＞０（ ａ＞０ ， ｆ 　） ）或 （ ＜０（ ａ＜０ ． ） 　 ２ 函数性 质 与 图象 的运 用　

当 ａ＜０时 ， 数 ．（ 在 区 间 （ 函 厂　） 一∞ ， 　） ｚ１ 和　 （ ２ ＋ｏ） 　 ， ｏ 上为 减 函数 ， 在 区 间 （ 　＇　） 为增　 而 ｚ ｌｚ２上

函数 ， （　） ｆ ｘ １为极小值 ， （ ２为极 大值 ； 当 ｚ ｆ　 ） 且 一　
一

例 １ 当函数ｆ ｘ） 　 一２ 　 取 得最 小值　 　 （ ＝（ ｘ）

∞ 时， （ 小 于 零 而趋 于零 ， 厂　） 当　 一 十 ∞ 时 ， 　

时 ， 的值为　 　
Ａ．２ 　 Ｂ． 一２ 　 Ｃ． 　

（ 　

） 　

厂ｚ 一 一∞． （） 无最大值和最小值 ． 图象大致如图 ６ ． 　

Ｄ． 一√ 　 ２

?

专论荟萃 ? 　

数学通讯 一 ２ １ 年第 ３期 （ ０１ 下半 月） 　

３　 ７

几 个 新 的不 等 式 及 其 应 用　
李兴无 　
（ 广东省深圳市宝安 区西 乡中学 ， １ １２　 ５８０ ）

本文给出几个新的不 等式 ， 并运用其解决有关　
数 列和式 的不 等式证 明题 ． 　

筒鲁” （）　 ＜
又‘ ． ‘口＞ｍａ（６， ｝ ?０ ） 　 ，． ＜旦 ＜１ ｛ ． ． 　

（） ＊ 　

１ 几个 新 的不 等式　 定理 １ 设 ｂ ， 　 ＞０ 口＞ｍａ ｛ √ｂ｝则 对 Ｖ７∈ ｘ ｂ， ， 　 　 ２
Ｎ 不 等式　 　
＋ 　 ＜　 ＋　 １ 　 　 盘”＋ ６ 　 以” 　 一 ６ 　 ＼ｎｎ ’口ｎ 　 ” 十１ 　＋１ ＋１

对　 Ｎ均 （） 导 成 ．而 使 Ｖ∈　有　　 恒 立因 要 　 ≤
（ 恒 成立 当且仅 当　 ＊）

①　

＞（）一＝ ∞３口＋６ ［ 　 鲁 口 ６ 口　 　］ ＞２ 十
ｂ， 　 故本 定理 成立 ． 　 定理 １的推 论 设 ６ ， 对 Ｖ７∈Ｎ 均有　 ＞０则 　 ／ ＂ 　

恒成立 ∞ 口 ＞ａ 　 ｂ＋ｂ ． 　 ｂ ＋ａ 　　

证明
? 。 ．

用 等价法 证 明 ． 　

不式甘 等①　
一　 １ 　

一矗 方　
＜　

＜　

南
＋ 　

十 　

Ｔ ＝ 　
②　

＜　
∞ ａ ｂ＋ ｂ 　１ 口” ＂ ” ＜ 　２一 ｎ 　ｌ ６” 　

证 明　 ． 。ｂ＞０ 在定理 １中令 ｎ＝ｂ＋１　 ， ，
贝 Ⅱ口＞６且 口＝ｂ＋１ ≥２￣ ， 　＞４ 　 Ｚ，
‘

ｅ （ １ ｂ ＜倪 （　 ｂ 其 中 口 一ｂ ） 　ｎ＋ ）” 　 　 口 一 ）（ 　 ＞０　

．

．

ａ＞ｍａ ｛ 　 ｝ ｘ ｂ． ． 　

解

因 ｎ＝１ ， ＝ 一２ Ｃ ． 以 ２ ＞０ ｂ ， ＝０ 所 口＋ｂ＝ 　
．　

￣１ 　。且厂　） ／ 十 ， （ 在区间（ ｏ 口一１ ￣１ ａ ） 一ｏ， 一 ／ ＋ ２及　
区间（ ａ一１ ＾ １ 　 ＋Ｃ） ＋／ ＋口 ， Ｏ 为增函数 ， ／ 在区间（ 　 ｎ一

０． △　＝４ａ２＋ Ａ ＝ ８

．　

＋ ／ － 故所求 的　 ：— （ａ ＋ ｂ） ｖ ￣ －— 　 ２
— — —

一

： 　
．

选 ｃ． 　

１ ／＋ ， 一、１ 　 口一１ ／ ＋口 ） ／ ＋￣ １ 　 为减 函数 ， 已知 口 而 　 ≥０时， ｎ 一 ／ ＋口 ＜ 一１ａ一１ ￣ １ 　 有 一１ ￣ １ 　 ， ＋ ／ ＋ｎ ≥　
ａ≥ ０． 　

例 ２ （０ ５ 全 国卷 Ⅱ）已知 ａ ， 　 ２０ ， ≥０ 函数 ｆ ｘ） （ 　
＝

（ —２ ｚ）　　 　２ ｎ ｅ ．

（）当 － １ ｚ为何值 时 ， 　） 得 最 小值 ？证 明你　 　（ 取
的结论 ； 　

故 ［ １ １　 （ 一 ｌ一、 １ 　 口 一１＋ ～ ，］ 口 ／ ＋以 ， ／ 　

（）设－ ｚ） ［ ， ］ 是 单 调 函数 ， ｎ 的　 ２ 厂 在 一１ １ 上 （ 求 取 值范 围 ． 　 解 （ ）由 ． １ ２ ７ 　一２ｘ＝０ 得 △＞０ 所 以 △ ＞　 ａ ， ， 　

￣１ 　 ， ／ ＋口 ）只须　 一１ ／ ＋ａ ≥１ ＋、１ ２ 即可， ， ≥　 ／ 解得 ｎ

号即 取 范 是号 十 ） ．　的 值 围 ［，∞． 　
从上 面的讨论和应用可知 ， 我们若 能熟练掌握　
ｆ ｘ） ｎ 　 ｘ＋ｃｅ （ ＝（ｚ ＋ｂ ）　
： 盘一 １ 　

０故 －　） ， 厂 有最 小值 ． （ 　

（ ≠ ０ ，∈Ｒ） 函数 Ｙ 口 ， ７ ５ 和 　

且当 ｚ：ｚ２ －（ － ａ 　 ．－ ４ ２ ，：一 ２ ２ ） ￣ ＋ ａ ＋／ ４
＋￣１ 。 ／ ＋＆ 时取 得最 大值 ． 　

＝纰 　 ｘ＋ｃ（ ≠ ０ ．∈Ｒ） ＋ｂ ａ ， ｚ 的关 系 ， 就能 掌握 其　 函数 图象 和性 质 ， 能更 快 地解 决此 类 函数 问题 ． 　
（ 收稿 日期 ：０ ０ １ ７　 ２ １ —１ —１ ）

（）由 ． ｌ ２ ３ ＝口一１ ／ ＋ａ ， 　 ＝口一１＋ ５ 　 一￣１ 　 ｘ ２