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专论荟萃?
数学通讯 一 ２ １ ０ １年第 ３期 （ 下半 月）
３ ５
函 数 ＝（ ｘ ＋ ａ ＋ｃ ｅ ＋ ≠０ 探 究 ２ ） （ ）
顾希明
（ 湖南省湘潭市第一 中学 ， １ １ ０ ４ １０ ）
函数 Ｙ＝（ｘ ＋ｂ ａ ｚ十ｃ ）
（ ≠０ ｚ∈Ｒ） ａ ， 与
同理 ， ａ＜０时 ， 当 由下 列 表 ｏｆ ￣ 和 ｆ （ 的 ０ （ ） ｚ） 关系 ：
（ 。 ｚ １ Ｘ ｌ ２ ２（ ２ ＋∞） 一ｏ ， ）Ｘ １ ， ） （ ， ，（ ） ｆ ｘ） （ 减 ０ 极小 ＋ 增 ０ 极大 减
二次函数 Ｙ ｘ ＋ ＋ｃ（ ＝ ０ ∈Ｒ 有着千丝 ＝ａ ａ／ ， ＝ ）
万缕 的关系 ， 面讨 论 函数 Ｙ＝（ｘ ＋ ＋Ｃｅ 下 ａ ） （ ≠０ ｚ∈Ｒ） ａ ， 的性 质和 图象 以及运 用 ．
１ 性质和 图象 的讨论
设 ／ ｘ）＝ （ （
．
＋ 妇 ＋ Ｃ ）
（ ａ≠ ０ ， ） 则
厂 （ ＝［． ＋（ａ＋ｂ Ｘ＋（ ＋ｃ ］ ． ） ａ ２ ３ ｃ ） ｂ ）ｅ 又设 △
＝ｂ 一４ｃ △ ＝（口＋ｂ 一４ ｂ＋Ｃ ＝４ ＋ｂ ｚ ｎ ， ２ ） 盘（ ） ａ
—
得到如下结论 ： 口 当 ＜０时， 函数厂 ｚ 在区间（ （） 一∞，
１
４口 ｆ＝ ４ ２＋△
） （ ２ ＋∞） 为减 函数 ， 和 ， 上 而在 区间 （ ， ） ｚ ｌＸ ２
．
（ ）当 △＞０时 ， △ ＞０ 函数 ｆ ｚ） １ 有 ． （ ＝（
＋
上 为增 函数 ， （ ） ｆ ｘ １为极 小 值 ， （ ） ｆ ｚ ：为极 大值 ； 当 一 一∞时 ， ｘ） 于 零 而 趋 于零 ， ｚ一 十∞ 时 ， ｆ（ 小 当
妇 ＋ｃｅ 与 Ｙ＝ａ， 十ｆ有相 同的零点 ｚｌ ） Ｔ ＋ 和 ２ １ ２ ， 时 方 程 ａＣ＋（ ａ＋ｂ ｚ＋（ （ ＜Ｘ ）此 ， ． ２ ２ ） ｂ＋ｃ ）
＝
ｆ ｘ 一 一∞． （） 最大值为 ｆ ｘ２ ． （ ） ｆ ｚ 的图象大致如图 ２ （） ．
． ｙ
０有两个不 同的根 Ｘ １ 和 ｔ（ ｌ ２ ＜ ２ 下 同） ）（ ．
于是 当 ａ＞０时 ， 由下列 表 中ｆ（ 和ｆ （ 的 ｘ） ）
关系：
（ 一∞， ）Ｘ １ １ ２ ２（ ２ ＋∞） Ｘ １ （ ， ） ，
，（ ｚ） ＋ ０ ０ ＋
ｌ
／；
～
刈 ＼
２
ｚ）
增
极大
减
极小
增
得 到如下结 论 ： ａ＞０时 ， 当 函数ｆ（ ） 区 间（ ｏ ｘ在 一ｏ ，
Ｘ Ｐ
注
可证 ， 论 ａ＞０或 口＜０ 均 有 ｌ １ 不 ， ＜ ＜
１和 （ ， ｏ上 为增 函数 ， 在 区 间 （ ， ） ） ｚ ２ ＋ｏ ） 而 ｚ １Ｘ ２
２ Ｘ２ ＜ ．
上为减函数 ，（ ） ｆ ｘ １为极大值 ， （ ） ｆ Ｘ２为极小值 ； 当
一 一∞时 ， （ 大 于零 而 趋 于 零 ， ｆ ｘ） 当 一 ＋∞ 时 ，
（ ）当 △＝０时 ， △ ＞０ 函数 ｆ ｘ） 纰 ２ 有 ． （ ＝（ ＋
＋ｃｅ 与Ｙ： ）
＋ ＋ｃ 有相 同的零点ｘ ， ｏ
（ 一 十∞． ） 最小值为 ｆ ｘ２ ． （ ）
ｆ ｘ） （ 的图象大致 如 图 １ ．
ｌ
此时方 程 ａ ２ ｘ ＋（ａ＋ｂ Ｘ＋（ ） ｂ＋ｃ ＝０仍有 两 个 ）
不 同的根 Ｘ １ ｚ ２ ｚ １ ）． 和 （ ＜Ｘ ２ 由ｚ ：一 。 ｂ 及 ｚ
，
＝
＝
—一 —
一
／
可知 ， ｚ ＝Ｘ２ ｌ 一２十 ． 据 （） ｏ ， ： ｏ根 １ 的讨 论 ， 我们 有如 下结 论 ： 当 ａ＞０时 ， 函数 厂 ） 区 间 （ （ 在 一∞ ， ０ ） ｚ —２ 和
（ ｘ ｌ／２ ） １ ＼
图 １
（ ０ ＋∞ ） 为增 函 数 ， 在 区间 （ ０ ， ） 为 Ｘ， 上 而 Ｘ —２ ０上
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数 学通讯 一 ２ １ ０ １年第 ３期 （ 下半月）
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减 函数 ， ｏ ） ｆ（ 一２ 为极 大 值 ， ｏ ＝０为 极 小值 ； ｆ（ ） 当 ｚ 一ｏ 时 ， （ 大 于零 而 趋 于 零 ， 一 ｏ ｆ ｘ） 当 一 十ｏ ｏ 时 ， （ 一 ＋ｏ ． ｆ ｘ） ｏ 最小 值 为 ｆ ｘ ） ． （ ０ ＝０ 图象 大致 如
图 ３ ．
Ｊ
（ ）当 Ａ ≤０时 ， ４ 必有 △＜０ 此 时 函数 厂 ） ． （ ＝ （ ＋ｂ 纰 ｚ＋ｆ ） 个 实数 根 ． 当 ａ＞０时 ， （ ＞ ０ Ｎ ｆ（ 在 Ｒ上为 增 函 ） ， ／ ｘ） 与 ＝ ＋ｂ ｚ＋ｃ均没 有 零 点， 方程 ａ ２ ． ＋（ ａ＋ｂ ＋（ Ｔ ｃ ） ｂ＋ｃ ＝０最多 只有 一 ）
ｔ Ｘｏ ） －２
、、
ｘｏ
数 ， 当 一 一ｏ时 ， （ 大 于 零 而趋 于零 ， ｚ 且 。 ｆ ｘ） 当 一
＋ｏ 时 ， （ 一 ＋∞ ． ｏ ｆ ｘ） 图象大 致如 图 ７ ．
Ｊ
０
图 ３
图
４
当ａ ＜０时 ， 函数厂（ ） 区间 （ ｏ ０ ） 在 一ｏ ， —２ 和 （ ０ ＋∞） ｚ， 上为 减 函数 ， 在 区 间 （ ０ ， ｏ上 为 而 ｚ —２ ｚ ）
＼
ｎ ＜Ｏ
增函数， （ ０ ） ｆ ｚ —２ 为极小值 ， （ ） ｆ ０ ＝０为极大值 ；
当 一 一。时 ， ） 于 零 而趋 于零 ， ｚ一 ＋。 。 厂（ 小 当 。
幽 ７ 图 ８
时，（ 一 一ｏ ． 厂 ） ｏ 最小值为 ｆ ｏ ＝０ 图象大致如 （ ） ．
图４ ．
当ａ ＜Ｏ时 ， ｚ） ０ Ｎ ｆ ｘ） Ｒ上 为减 函 ｆ（ ≤ ， （ 在 数 ， 当 ． 一。 时 ， ，） 于零 而趋 于零 ， ｚ 且 ｚ 一 ｏ ｆ（ 小 ７ ２ 当 一
（）当 Ａ＜０但 △ ＞０时 ． ３ ， 函数ｆ ｘ） 纰 （ ＝（ ＋ 缸 十ｃ ｅ 与 ｙ＝船 ｚ＋ｃ均 没有 零 点 ， 时 ） ＋ｂ 此
ａｃ ＋（ ａ＋ｂ ｚ＋（ ３ ２ ） ｂ＋ｃ ＝０仍 有 两 个 不 同的 根 ） ｚ１ 和 ２ １ ）． （ ＜ｚ ２
＋ｏ时 ， （ 一 一∞ ． ｏ ｆ ｚ） 图象大 致如 图 ８ ． 综 上 ： 于 函数 厂（ ＝（ｘ 对 ｚ） ａ ＋ｂ ｚ＋ｃ ｅ （ ） ａ
￣ ０ ｚＥＲ） －， ， ① 当 Ａ＝ｂ 一４ ｃ ａ ＞０时 ， △ ＝４ 有 ａ ＋Ａ＞０ ，
由前面 的讨论知 ： 当 以＞０时 ， 函数 ｆ ｘ） 区 间 （ ｏ ｚ１ 和 （ 在 一ｏ ， ） （ ２ ＋。 ） 为增 函数 ， ， ｏ上 而在 区间 （ １ ２上 为 减 ， ）
函数ｆ ｘ 有两个零点和两个极值点 ， （） 其中 ｚ２ 是最 小值点（ ＞０ 或是最大值点（ ＜０ ． ａ ） ａ ）
② 当 △＝ｂ —４ ｃ ａ ＝０时 ， Ａ ＝４ ＋△＞０ 有 ａ ，
函数 ， （ ） ｆ ｘ 。为极大值 ， （ ） ｆ ｘ２为极小值 ， 当 ｚ 且 一
一
函数ｆ ） （ 有一个零点 ｚ ＝一 和两个极值点ｚ — ｏ ０
２及 ｚ ， 中 ｚ 为 最小值 点 ， ｏ其 ｏ 且恒 有＿ ｚ ＞０（ 厂 ） （ ／ ａ＞ ０ ， ｚ 为最 大值点 ， 恒有 ｆ ｘ ≤０（ ＜０ ． ）或 ｏ 且 （） ａ ） ③ 当 Ａ＝ｂ 一４ ｃ ， Ａ ＝４ ＋Ａ＞０时 ， ａ ＜０ 但 ａ
ｏ 时 ， （ 大 于 零 而 趋 于 零 ， ｚ一 十 ∞ 时 ， 。 ｆ ） 当
厂 ） 十Ｃ 元 最大 值 和最 小值 ． （ 一 Ｏ． 图象大致 如 图 ５ ．
ｌ
ＪＪ ｌ
。
Ｄ
１
函数 ＝（ｓ ＋ｂ ａｃ ｘ＋ｃ ｅ（ ０ ３∈Ｒ） ）ｘ ≠ ， ２ 没有零 点 ，
—— 一
～
Ｄ
ｌ
’ ｉ 、 １
．
但有两个极值点 ， 无最值点 ． 且恒有ｆ ｘ ＞０（ （） ａ＞
０ ， （ ＜０（ ） 或ｆ ｚ） ｎ＜０ ． ）
。
④ 当 △＝４ ＋△＜０时 ， ａ 一定 有 Ａ＝ｂ 一４ｃ ａ
＜０ 函数 ｙ＝（ ＋ ＋ｃ （ ≠ ０ － ， 纰 ） ａ ， ｚ∈Ｒ） 没有
图
５
图
６
零点 ， 也没有极值点， Ｒ上是单调的 ， 在 且恒有ｆ ｘ （）
＞０（ ａ＞０ ， ｆ ） ）或 （ ＜０（ ａ＜０ ． ） ２ 函数性 质 与 图象 的运 用
当 ａ＜０时 ， 数 ．（ 在 区 间 （ 函 厂 ） 一∞ ， ） ｚ１ 和 （ ２ ＋ｏ） ， ｏ 上为 减 函数 ， 在 区 间 （ ＇ ） 为增 而 ｚ ｌｚ２上
函数 ， （ ） ｆ ｘ １为极小值 ， （ ２为极 大值 ； 当 ｚ ｆ ） 且 一
一
例 １ 当函数ｆ ｘ） 一２ 取 得最 小值 （ ＝（ ｘ）
∞ 时， （ 小 于 零 而趋 于零 ， 厂 ） 当 一 十 ∞ 时 ，
时 ， 的值为
Ａ．２ Ｂ． 一２ Ｃ．
（
）
厂ｚ 一 一∞． （） 无最大值和最小值 ． 图象大致如图 ６ ．
Ｄ． 一√ ２
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几 个 新 的不 等 式 及 其 应 用
李兴无
（ 广东省深圳市宝安 区西 乡中学 ， １ １２ ５８０ ）
本文给出几个新的不 等式 ， 并运用其解决有关
数 列和式 的不 等式证 明题 ．
筒鲁” （） ＜
又‘ ． ‘口＞ｍａ（６， ｝ ?０ ） ，． ＜旦 ＜１ ｛ ． ．
（） ＊
１ 几个 新 的不 等式 定理 １ 设 ｂ ， ＞０ 口＞ｍａ ｛ √ｂ｝则 对 Ｖ７∈ ｘ ｂ， ， ２
Ｎ 不 等式
＋ ＜ ＋ １ 盘”＋ ６ 以” 一 ６ ＼ｎｎ ’口ｎ ” 十１ ＋１ ＋１
对 Ｎ均 （） 导 成 ．而 使 Ｖ∈ 有 恒 立因 要 ≤
（ 恒 成立 当且仅 当 ＊）
①
＞（）一＝ ∞３口＋６ ［ 鲁 口 ６ 口 ］ ＞２ 十
ｂ， 故本 定理 成立 ． 定理 １的推 论 设 ６ ， 对 Ｖ７∈Ｎ 均有 ＞０则 ／ ＂
恒成立 ∞ 口 ＞ａ ｂ＋ｂ ． ｂ ＋ａ
证明
? 。 ．
用 等价法 证 明 ．
不式甘 等①
一 １
一矗 方
＜
＜
南
＋
十
Ｔ ＝
②
＜
∞ ａ ｂ＋ ｂ １ 口” ＂ ” ＜ ２一 ｎ ｌ ６”
证 明 ． 。ｂ＞０ 在定理 １中令 ｎ＝ｂ＋１ ， ，
贝 Ⅱ口＞６且 口＝ｂ＋１ ≥２￣ ， ＞４ Ｚ，
‘
ｅ （ １ ｂ ＜倪 （ ｂ 其 中 口 一ｂ ） ｎ＋ ）” 口 一 ）（ ＞０
．
．
ａ＞ｍａ ｛ ｝ ｘ ｂ． ．
解
因 ｎ＝１ ， ＝ 一２ Ｃ ． 以 ２ ＞０ ｂ ， ＝０ 所 口＋ｂ＝
．
￣１ 。且厂 ） ／ 十 ， （ 在区间（ ｏ 口一１ ￣１ ａ ） 一ｏ， 一 ／ ＋ ２及
区间（ ａ一１ ＾ １ ＋Ｃ） ＋／ ＋口 ， Ｏ 为增函数 ， ／ 在区间（ ｎ一
０． △ ＝４ａ２＋ Ａ ＝ ８
．
＋ ／ － 故所求 的 ：— （ａ ＋ ｂ） ｖ ￣ －— ２
— — —
一
：
．
选 ｃ．
１ ／＋ ， 一、１ 口一１ ／ ＋口 ） ／ ＋￣ １ 为减 函数 ， 已知 口 而 ≥０时， ｎ 一 ／ ＋口 ＜ 一１ａ一１ ￣ １ 有 一１ ￣ １ ， ＋ ／ ＋ｎ ≥
ａ≥ ０．
例 ２ （０ ５ 全 国卷 Ⅱ）已知 ａ ， ２０ ， ≥０ 函数 ｆ ｘ） （
＝
（ —２ ｚ） ２ ｎ ｅ ．
（）当 － １ ｚ为何值 时 ， ） 得 最 小值 ？证 明你 （ 取
的结论 ；
故 ［ １ １ （ 一 ｌ一、 １ 口 一１＋ ～ ，］ 口 ／ ＋以 ， ／
（）设－ ｚ） ［ ， ］ 是 单 调 函数 ， ｎ 的 ２ 厂 在 一１ １ 上 （ 求 取 值范 围 ． 解 （ ）由 ． １ ２ ７ 一２ｘ＝０ 得 △＞０ 所 以 △ ＞ ａ ， ，
￣１ ， ／ ＋口 ）只须 一１ ／ ＋ａ ≥１ ＋、１ ２ 即可， ， ≥ ／ 解得 ｎ
号即 取 范 是号 十 ） ． 的 值 围 ［，∞．
从上 面的讨论和应用可知 ， 我们若 能熟练掌握
ｆ ｘ） ｎ ｘ＋ｃｅ （ ＝（ｚ ＋ｂ ）
： 盘一 １
０故 － ） ， 厂 有最 小值 ． （
（ ≠ ０ ，∈Ｒ） 函数 Ｙ 口 ， ７ ５ 和
且当 ｚ：ｚ２ －（ － ａ ．－ ４ ２ ，：一 ２ ２ ） ￣ ＋ ａ ＋／ ４
＋￣１ 。 ／ ＋＆ 时取 得最 大值 ．
＝纰 ｘ＋ｃ（ ≠ ０ ．∈Ｒ） ＋ｂ ａ ， ｚ 的关 系 ， 就能 掌握 其 函数 图象 和性 质 ， 能更 快 地解 决此 类 函数 问题 ．
（ 收稿 日期 ：０ ０ １ ７ ２ １ —１ —１ ）
（）由 ． ｌ ２ ３ ＝口一１ ／ ＋ａ ， ＝口一１＋ ５ 一￣１ ｘ ２