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函数y=(ax^2+bx+c)e^z+m(a≠0)探究


?

专论荟萃?  

数学通讯 一 2 1 0 1年第 3期 ( 下半 月)  

3  5

函 数  =( x + a     +c e +  ≠0 探 究  2 )   ( )
顾希明  
( 湖南省湘潭市第一 中学 , 1 1 0  4 10 )

数 Y=(x +b a   z十c  )

( ≠0 z∈R) a , 与 

同理 , a<0时 , 当 由下 列 表 of  ̄ 和 f ( 的  0 ( )   z) 关系 :  
( 。 z 1    X l 2  2( 2 +∞) 一o ,  )X 1  , )  (      ,   ,(     ) f x) (   减  0   极小  +   增  0   极大  减 

二次函数 Y x + +c( = 0 ∈R 有着千丝  =a     a/ , =  )
万缕 的关系 , 面讨 论 函数 Y=(x + +Ce 下 a    )  ( ≠0 z∈R) a , 的性 质和 图象 以及运 用 .  
1 性质和 图象 的讨论 

设 / x)= ( (  


+ 妇 + C  )

( a≠ 0 , ) 则 

厂 ( =[. +(a+b X+( +c ]  .   ) a  2 3 c ) b )e 又设 △  
=b 一4c △ =(口+b 一4 b+C =4  +b z n ,  2 ) 盘( ) a  


得到如下结论 : 口 当 <0时, 函数厂 z 在区间( () 一∞,  


4口 f= 4  2+△

) ( 2 +∞) 为减 函数 , 和   , 上 而在 区间 (  , ) z lX 2 

. 

( )当 △>0时 , △ >0 函数 f z)   1 有   . ( =(

+  

上 为增 函数 , (  ) f x 1为极 小 值 , (  ) f z :为极 大值 ; 当  一 一∞时 , x) 于 零 而 趋 于零 , z一 十∞ 时 , f( 小 当  

妇 +ce 与 Y=a,   十f有相 同的零点 zl )  T  + 和  2 1 2 , 时 方 程 aC+( a+b z+( ( <X )此 , . 2   2 ) b+c  )


f x 一 一∞. () 最大值为 f x2 . (  )   f z 的图象大致如图 2 () .  
. y  

0有两个不 同的根 X 1   和  t( l 2  <  2 下 同) )( .  
于是 当 a>0时 , 由下列 表 中f( 和f ( 的  x)    )

关系:  
( 一∞,  )X 1   1 2  2( 2 +∞) X 1     ( , )    ,    
,(     z) +   0   0   +  



/;  

~  

刈  \
2  

z)  

增 

极大 

减 

极小 

增 

得 到如下结 论 : a>0时 , 当 函数f( ) 区 间( o  x在 一o ,
X  P



可证 , 论 a>0或 口<0 均 有  l  1   不 , < <

1和 ( , o上 为增 函数 , 在 区 间 (  ,  ) ) z 2 +o ) 而 z 1X 2 

2 X2 < .  

上为减函数 ,(  ) f x 1为极大值 , (  ) f X2为极小值 ;   当
一 一∞时 , ( 大 于零 而 趋 于 零 , f x) 当  一 +∞ 时 ,  

( )当 △=0时 , △ >0 函数 f x) 纰     2 有   . ( =( +

+ce 与Y: )    

+ +c   有相 同的零点x , o  

( 一 十∞.  ) 最小值为 f x2 . (  )  
f x) ( 的图象大致 如 图 1 .  
l  

此时方 程 a   2 x +(a+b X+( ) b+c =0仍有 两 个  )
不 同的根 X 1 z 2 z 1  ).   和   (   <X 2   由z :一 。  b 及 z  


=  

=  

—一 — 



/  

可知 ,   z =X2  l 一2十 . 据 () o  , :  o根 1 的讨 论 , 我们  有如 下结 论 :   当 a>0时 , 函数 厂 ) 区 间 ( ( 在 一∞ , 0 ) z —2 和 

( x l/2 ) 1 \         

图 1    

( 0 +∞ ) 为增 函 数 , 在 区间 ( 0 , ) 为  X, 上 而 X —2 0上

3  6

数 学通讯 一 2 1 0 1年第 3期 ( 下半月)  

? 专论 荟萃 ?  

减 函数 ,  o ) f( 一2 为极 大 值 ,  o =0为 极 小值 ; f( )   当 z 一o 时 , ( 大 于零 而 趋 于 零 , 一 o f x) 当  一 十o  o 时 , ( 一 +o . f x) o 最小 值 为 f x ) . ( 0 =0 图象 大致 如 
图 3  .
J  

( )当 A ≤0时 , 4   必有 △<0 此 时 函数 厂 )   . ( = (  +b 纰 z+f  ) 个 实数 根 .   当 a>0时 , ( > 0 N f( 在 R上为 增 函     ) , / x) 与  =   +b z+c均没 有 零  点, 方程 a   2 . +( a+b  +( T c ) b+c =0最多 只有 一  )

t  Xo   ) -2
、、  

xo  

数 , 当  一 一o时 , ( 大 于 零 而趋 于零 , z 且 。 f x) 当 一 
+o 时 , ( 一 +∞ . o f x) 图象大 致如 图 7  .
J  

0 

图  3  



4  

当a <0时 , 函数厂( ) 区间 ( o 0 )   在 一o , —2 和  ( 0 +∞) z, 上为 减 函数 , 在 区 间 ( 0 , o上 为  而 z —2 z )

\  
n <O  

增函数, ( 0 ) f z —2 为极小值 , ( ) f  0 =0为极大值 ;  
当  一 一。时 ,  ) 于 零 而趋 于零 , z一 +。  。 厂( 小 当 。
幽  7   图  8  

时,( 一 一o . 厂 ) o 最小值为 f  o =0 图象大致如  ( ) .
图4 .  

当a <O时 ,   z) 0 N f x) R上 为减 函  f( ≤ , ( 在 数 , 当 . 一。 时 , ,) 于零 而趋 于零 , z 且 z 一 o f( 小 7 2 当 一 

()当 A<0但 △ >0时 . 3 ,   函数f x) 纰     ( =( + 缸 十c e 与 y=船   z+c均 没有 零 点 , 时  )  +b 此
ac +( a+b z+( 3   2 ) b+c =0仍 有 两 个 不 同的 根  ) z1   和  2  1   ). ( <z 2  

+o时 , ( 一 一∞ . o f z) 图象大 致如 图 8  . 综 上 : 于 函数 厂( =(x 对 z) a  +b z+c e (  )  a
 ̄ 0 zER)  -, , ① 当 A=b 一4 c   a >0时 , △ =4   有   a +A>0  ,

由前面 的讨论知 :   当 以>0时 , 函数 f x) 区 间 ( o z1 和  ( 在 一o ,  ) ( 2 +。 ) 为增 函数 ,   , o上 而在 区间 ( 1 2上 为 减    , )  

函数f x 有两个零点和两个极值点 , () 其中 z2   是最  小值点( >0 或是最大值点( <0 . a ) a )  
② 当 △=b —4 c   a =0时 , A =4  +△>0  有   a ,

函数 , (  ) f x 。为极大值 , (  ) f x2为极小值 , 当 z 且 一 


函数f ) ( 有一个零点 z =一 和两个极值点z — o   0 
2及 z , 中 z 为 最小值 点 , o其 o 且恒 有_ z >0(   厂 ) ( / a> 0 , z 为最 大值点 , 恒有 f x ≤0( <0 . )或 o 且 () a )   ③ 当 A=b 一4 c , A =4 +A>0时 ,   a <0 但   a  

o 时 , ( 大 于 零 而 趋 于 零 , z一 十 ∞ 时 , 。 f  ) 当  

厂 ) 十C 元 最大 值 和最 小值 . ( 一 O. 图象大致 如 图 5  .
l  

JJ      l



D 

1  

函数  =(s +b ac x+c e( 0 3∈R)   )x ≠ , 2 没有零 点 ,  

—— 一  
~  

D 

l  

’ i     、   1
. 

但有两个极值点 , 无最值点 . 且恒有f x >0(   () a>
0 , ( <0( ) 或f z) n<0 . )  

。  

④ 当 △=4  +△<0时 , a 一定 有 A=b 一4c   a 
<0 函数 y=(  + +c  ( ≠ 0 - , 纰   ) a , z∈R) 没有 



5  



6  

零点 , 也没有极值点, R上是单调的 , 在 且恒有f x   ()
>0( a>0 , f  ) )或 ( <0( a<0 . )   2 函数性 质 与 图象 的运 用 

当 a<0时 , 数 .( 在 区 间 ( 函 厂 ) 一∞ ,  ) z1 和  ( 2 +o)   , o 上为 减 函数 , 在 区 间 (  ' ) 为增  而 z lz2上

函数 , ( ) f x 1为极小值 , ( 2为极 大值 ; 当 z f  ) 且 一 


例 1 当函数f x)   一2   取 得最 小值    ( =( x)

∞ 时, ( 小 于 零 而趋 于零 , 厂 ) 当  一 十 ∞ 时 ,  

时 , 的值为   
A.2   B. 一2   C.  

(  

)  

厂z 一 一∞. () 无最大值和最小值 . 图象大致如图 6 .  

D. 一√   2

?

专论荟萃 ?  

数学通讯 一 2 1 年第 3期 ( 01 下半 月)  

3  7

几 个 新 的不 等 式 及 其 应 用 
李兴无  
( 广东省深圳市宝安 区西 乡中学 , 1 12  580 )

本文给出几个新的不 等式 , 并运用其解决有关 
数 列和式 的不 等式证 明题 .  

筒鲁” ()  <
又‘ . ‘口>ma(6, } ?0 )   ,. <旦 <1 { . .  

() *  

1 几个 新 的不 等式  定理 1 设 b ,   >0 口>ma { √b}则 对 V7∈ x b, ,     2
N 不 等式   
+   <  +  1     盘”+ 6   以”   一 6   \nn ’口n   ” 十1  +1 +1

对  N均 () 导 成 .而 使 V∈ 有   恒 立因 要   ≤
( 恒 成立 当且仅 当  *)

① 

>()一= ∞3口+6 [   鲁 口 6 口   ] >2 十
b,   故本 定理 成立 .   定理 1的推 论 设 6 , 对 V7∈N 均有  >0则   / "  

恒成立 ∞ 口 >a   b+b .   b +a   

证明
? 。 .

用 等价法 证 明 .  

不式甘 等① 
一  1  

一矗 方 
< 

< 


+  

十  

T =  
② 

< 
∞ a b+ b  1 口” " ” <  2一 n  l 6”  

证 明  . 。b>0 在定理 1中令 n=b+1  , ,
贝 Ⅱ口>6且 口=b+1 ≥2 ̄ ,  >4   Z,


e ( 1 b <倪 (  b 其 中 口 一b )  n+ )”     口 一 )(   >0 





a>ma {   } x b. .  



因 n=1 , = 一2 C . 以 2 >0 b , =0 所 口+b=  
. 

 ̄1  。且厂 ) / 十 , ( 在区间( o 口一1  ̄1 a ) 一o, 一 / + 2及 
区间( a一1 ^ 1   +C) +/ +口 , O 为增函数 , / 在区间(   n一

0. △ =4a2+ A = 8

. 

+ / - 故所求 的  :— (a + b) v  ̄ -—   2
— — —



:  


选 c.  

1 /+ , 一、1   口一1 / +口 ) / + ̄ 1   为减 函数 , 已知 口 而   ≥0时, n 一 / +口 < 一1a一1  ̄ 1   有 一1  ̄ 1   , + / +n ≥ 
a≥ 0.  

例 2 (0 5 全 国卷 Ⅱ)已知 a ,   20 , ≥0 函数 f x) (  


( —2 z)    2 n e .

()当 - 1 z为何值 时 ,  ) 得 最 小值 ?证 明你   ( 取
的结论 ;  

故 [ 1 1  ( 一 l一、 1   口 一1+ ~ ,] 口 / +以 , /  

()设- z) [ , ] 是 单 调 函数 , n 的  2 厂 在 一1 1 上 ( 求 取 值范 围 .   解 ( )由 . 1 2 7  一2x=0 得 △>0 所 以 △ >  a , ,  

 ̄1   , / +口 )只须  一1 / +a ≥1 +、1 2 即可, , ≥  / 解得 n

号即 取 范 是号 十 ) . 的 值 围 [,∞.  
从上 面的讨论和应用可知 , 我们若 能熟练掌握 
f x) n   x+ce ( =(z +b ) 
: 盘一 1  

0故 - ) , 厂 有最 小值 . (  

( ≠ 0 ,∈R) 函数 Y 口 , 7 5 和  

且当 z:z2 -( - a   .- 4 2 ,:一 2 2 )  ̄ + a +/ 4
+ ̄1 。 / +& 时取 得最 大值 .  

=纰   x+c( ≠ 0 .∈R) +b a , z 的关 系 , 就能 掌握 其  函数 图象 和性 质 , 能更 快 地解 决此 类 函数 问题 .  
( 收稿 日期 :0 0 1 7  2 1 —1 —1 )

()由 . l 2 3 =口一1 / +a ,   =口一1+ 5   一 ̄1   x 2  


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