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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5第二章2.1.1数 列课件


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2.1.1

2.1.1 数
学习要求
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1.理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模 型. 2.探索并掌握数列的几种简单表示法,能根据数列的前几项 写出数列的一个通项公式. 3.能从函数的观点研究数列,掌

握数列的一些简单性质.

2.1.1

学法指导 1.在理解数列概念时,应区分数列与集合两个不同的概念.
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2.由数列的前几项,写出数列的一个通项公式是本节的难点 之一,突破难点的方法是:把序号标在项的旁边,观察项 与序号的关系,从而写出通项公式. 3.由于数列可以看作是一类特殊的函数,因此许多函数的性 质可以应用到数列中.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.1

数列 1.按照一定次序排列起来的一列数叫做____,数列中的每一个
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数叫做这个数列的____.数列中的每一项都和它的序号有 项 关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__ 首 项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,??,排在第 n位的数称为这个数列的第__项. n 数列的一般形式可以写成a1,a2,?,an,?,简记为 {an} ____.

有穷 2.项数有限的数列叫做________数列,项数无限的数列叫做 无穷 ______数列.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.1

3.如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来

通项 表示,那么这个式子叫做这个数列的______公式.
正整数集N+ 4.数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集
{1,2,3,?,n})的函数,即当自变量按照从小到大的顺序依 本 课 函数值 次取值时对应的一列________. 时 栏 第二项 目 5.一般地,一个数列{an},如果从__________起,每一项都大 开 递增 于它的前一项,那么这个数列叫做________数列.如果从第 关

递减 二项起,每一项都小于它的前一项,那么这个数列叫做______ 都相等 数列.如果数列{an}的各项________,那么这个数列叫做常
数列.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.1.1

[问题情境]
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数学的产生源于现实生活的需要,数列也不例外 传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前570年—约公元 前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙 滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子摆成如图(1) 所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,将石 子摆成如图(2)所示的正方形状,就将其所对应石子个数称为 正方形数.

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2.1.1

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你能将三角形数和正方形数所对应的一列数分别写出吗?本节 我们就来解决这个问题.

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探究点一 问题 数列的概念

2.1.1

先看下面的几组例子:

(1)全体自然数按从小到大排成一列数:
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0,1,2,3,4,?; (2)正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数: 1 1 1 1 1, , , , ; 2 3 4 5 (3)π精确到1,0.1,0.01,0.001,?的不足近似值排成一列数: 3,3.1,3.14,3.141,?; (4)无穷多个1排成一列数: 1,1,1,1,1,?;

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(5)当n分别取1,2,3,4,5,?时,(-1)n的值排成一列数: -1,1,-1,1,-1,?. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义.
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2.1.1

答案 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列.数列中的每一 个数叫做这个数列的项,依次称为数列的第1项(也叫首项),第2 项,?.

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探究

2.1.1

数列中的项与数集中的元素进行对比,数列中的项具有

怎样的性质?
答 (1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集
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合中的元素也具有确定性;
(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出 现(即互异性);
(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些 数的排列次序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);
(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外 的其他事物.

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探究点二 问题1 数列的几种表示方法

2.1.1

除了列举法外,和函数一样,数列还可以用公式法,列

表法,图象法等方法来表示. 例如,(1)数列:1,3,5,7,9,?
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2n-1,n∈N ①用公式法表示为:an=________________;
②用列表法表示为: n 1 2 3 4 5 ? an 1 3 5 7 9 ? ③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出):

*

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1 1 1 1 (2)数列:1, , , , ,? 2 3 4 5 1 ②用列表法表示为:
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2.1.1

,n∈N* ①用公式法表示为:an=_______________. n
n an 1 2 3 4 5 ? 1 1 1 1 1 2 3 4 5 ?

③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出):

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问题2

2.1.1

根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察

数列的特征,并进行联想、转化、归纳,同时要熟悉一些常见 数列的通项公式.下表中的一些基本数列,你能准确快速地写 出它们的通项公式吗?
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数列 -1,1,-1,1,? 1,2,3,4,? 1,3,5,7,? 2,4,6,8,? 1,2,4,8,? 1,4,9,16,? 1 1 1 1, , , ,? 2 3 4

通项公式

(-1)n an =
an = n an=2n-1 an= 2n

2n-1 an =
2 an = n

1 an = n

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探究点三 探究 数列的单调性 下面给出了一些数列的图象:

2.1.1

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an=2n-1

an=

1 n

an=(-1)n

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2.1.1

观察上述数列项的取值的变化规律,请类比单调函数的定义,把下 列单调数列的定义补充完整.一般地,一个数列{an},如果从第二

an+1>an 项起,每一项都大于它前面的一项,即____________,那么这个数
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列叫做递增数列;如果从第二项起,每一项都小于它前面的一项,

an+1<an 即____________,那么这个数列叫做递减数列;如果数列{an}的各
项都相等,那么这个数列叫做常数列.

大于0 因此,要证明数列{an}是单调递增数列,只需证明an+1-an______; 小于0 要证明数列{an}是单调递减数列,只需证明an+1-an______.

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典型例题

2.1.1

例1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)1,-3,5,-7,9,?; 1 9 25 (2) ,2, ,8, ,?; 2 2 2
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(3)9,99,999,9 999,?; (4)0,1,0,1,?.
解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,?,是连续的正奇数,

考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为 an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*.

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2.1.1

(2)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成 1 4 9 16 25 分数再观察: , , , , ,?所以,它的一个通项公式 2 2 2 2 2 n2 为an= ,n∈N*. 2
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(3)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,?,此数列的通项公 式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1,n∈N*.
?0 ? (4)an= ? ?1 ?

?n为奇数?

1+?-1?n 1+cos nπ * 或an= (n∈N )或an= 2 2 ?n为偶数?

(n∈N*).

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2.1.1

小结
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据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分

析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;② 相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和 绝对值特征,并对此进行联想、转化、归纳.

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跟踪训练1 写出下列数列的一个通项公式. 1 1 1 1 (1)2 ,4 ,6 ,8 ,?; 2 4 8 16 (2)0.9,0.99,0.999,0.999 9,?; 1 1 1 1 (3)- , ,- , ,?. 2 6 12 20 1 答案 (1)an=2n+ n; 2 (2)an=1-0.1n;
?-1?n (3)an= . n?n+1?

2.1.1

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?-1?n?n+1? 例2 已知数列{an}的通项公式an= . ?2n-1??2n+1? (1)写出它的第10项; 2 (2)判断 是不是该数列中的项. 33 ?-1?10×11 11 解 (1)a10= =399. 19×21
n+1 2 (2)令 =33, ?2n-1??2n+1? 化简得:8n2-33n-35=0, 2 2 解得n=5.当n=5时,a5=-33≠33. 2 ∴ 不是该数列中的项. 33

2.1.1

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2.1.1

小结
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判断某数列是否为数列中的项,只需将它代入通项公式中

求n的值,若存在正整数n,则说明该数是数列的项,否则就不是 该数列的项.

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2.1.1

1 跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式为an= (n∈N*),那么 n?n+2? 1 是这个数列的第 10 项. 120
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1 1 解析 ∵ = , n?n+2? 120 ∴n(n+2)=10×12,∴n=10.

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2.1.1

n2 例3 已知数列{an}的通项公式为an= 2 .求证:数列{an}为递增 n +1 数列.
n2 1 证明 ∵an= 2 =1- 2 , n +1 n +1 1 1 an+1-an= 2 - n +1 ?n+1?2+1 [?n+1?2+1]-?n2+1? = 2 ?n +1?[?n+1?2+1] 2n+1 = 2 . ?n +1?[?n+1?2+1]
由n∈N*,得an+1-an>0,即an+1>an.

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∴数列{an}为递增数列.
小结 数列是一种特殊的函数,因此可用函数单调性的方法来 研究数列的单调性.

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2.1.1

9n?n+1? 跟踪训练3 已知an= (n∈N*),试问数列{an}中有没有最大 n 10 项?如果有,求出这个最大项;如果没有,说明理由.
? 9 ?n+1 ? 9 ?n 解 因为an+1-an=? ? · (n+2)-? ? · (n+1) 10? ? ?10? ?9? + ? ? 10 n 1 ??n+2?- ?n+1?? =? ? · 10? ? 9 ? ? ? 9 ? + 8-n =? ?n 1· ,则 9 ?10? ? 9 ? + 8-n 当n≤7时,?10?n 1· 9 >0, ? ?
? 9 ?n+1 8-n 当n=8时,?10? · 9 =0, ? ?

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2.1.1

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? 9 ?n+1 8-n 当n≥9时,? ? · <0, 9 ?10 ?

所以a1<a2<a3<?<a7<a8=a9>a10>a11>a12>?, 99 故数列{an}存在最大项,最大项为a8=a9=108.

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2.1.1

1.下列叙述正确的是 A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
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( D )

B.数列0,1,2,3,?可以表示为{n} C.数列0,1,0,1,?是常数列 n D.数列{ }是递增数列 n+1

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2.已知下列数列: (1)2 000,2 004,2 008,2 012; n-1 1 2 (2)0, , ,?, ,?; 2 3 n 1 1 1 (3)1, , ,?, n-1,?; 2 4 2 - ?-1?n 1· n 2 3 (4)1,- , ,?, ,?; 3 5 2n-1 nπ (5)1,0,-1,?,sin ,?; 2 (6)6,6,6,6,6,6. 其中,有穷数列是 数列是 是 是 ,无穷数列是 ,递减数列是 ,摆动数列是 .(将合理的序号填在横线上)

2.1.1

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,递增 ,常数列 ,周期数列

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解析 (1)是有穷递增数列;

2.1.1

n-1 1 (2)是无穷递增数列(因为 =1- ); n n
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(3)是无穷递减数列; (4)是摆动数列,也是无穷数列; (5)是摆动数列,是无穷数列,也是周期数列,最小正周期 为4; (6)是常数列,是有穷数列. 答案 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (4)(5) (5) (1)(2) (3) (6)

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2.1.1

3.根据数列的通项公式,分别写出数列的前5项与第2 012项. nπ (1)an=cos ; 2 1 1 1 1 (2)bn= + + +?+ . 1×2 2×3 3×4 n?n+1?
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π 解 (1)a1=cos2=0,a2=cosπ=-1, 3π a3=cos 2 =0,a4=cos2π=1, 5π a5=cos 2 =0, 2 012π a2 012=cos 2 =cos1 006π=1.

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2.1.1

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1 1 1 1 1 1 1 (2)b1= = ,b2= + =1- + - 2 2 2 3 1×2 1×2 2×3 1 2 =1- = , 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 b3= + + =1- + - + - = , 2 2 3 3 4 4 1×2 2×3 3×4
4 5 2 012 同理b4=5,b5=6,b2 012=2 013.

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2.1.1

4.写出下列数列的一个通项公式. (1)a,b,a,b,?; 8 15 24 (2)-1, ,- , ,?. 5 7 9 a+b n-1 a-b 答案 (1)an= +(-1) · ; 2 2
n2+2n (2)an=(-1)n· . 2n+1

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2.1.1

1.{an}与an是不同的两种表示,{an}表示数列a1,a2,?,
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an,?,是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的 第n项,an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法:(1)图象法;(2)列表法;(3)通项公式 法.

2.1.1

3.函数与数列的联系与区别 一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题 时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方 法来解题,即用共性来解决特殊问题.
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另一方面,还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义 域是N+ 或它的子集{1,2,?,n},因而它的图象是一系列孤 立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连 续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性, 如研究单调性时,由数列的图象可知,只要这些点每个比 它前面相邻的一个高(即an>an- 1),则图象呈上升趋势,即数 列递增,即{an}递增?an+ 1>an对任意的n(n∈N+)都成立.类 似地,有{an}递减?an+ 1<an对任意的n(n∈N+)都成立.


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