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河南省安阳市内黄一中分校2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试卷


河南省安阳市内黄一中分校 2014-2015 学年高一下学期第一次月 考数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是() B. k?360°+ π(k∈Z) D.kπ+ (k∈Z)

A.2kπ+45°(k∈Z) C. k?360°﹣315°(k∈Z)

2.

若 ABCD 是正方形,E 是 CD 的中点,且 A. + B. ﹣

= , C. +

= ,则

=() D. ﹣

3.若 A. B.

,则

等于() C. D.

4.有下列四种变换方式: ①向左平移 ,再将横坐标变为原来的 ; ; ;

②横坐标变为原来的 ,再向左平移 ③横坐标变为原来的 ,再向左平移 ④向左平移

,再将横坐标变为原来的 ; 的图象的是() C.②和③ D.②和④

其中能将正弦曲线 y=sinx 的图象变为 A.①和② 5.函数 y=sin( A.[﹣kπ+ C. [kπ﹣ B.①和③

﹣2x)的单调递减区间是() ],k∈Z B. [2kπ﹣ D.[kπ﹣ ,2kπ+ ,kπ+ ],k∈Z ],k∈Z

,﹣kπ+ ,kπ+

],k∈Z

6.已知 sinα= A.﹣

,则 sin α﹣cos α 的值为() B. ﹣ C. D.

4

4

7.若 α 是第三象限角,则 y=

+

的值为()

A.0

B. 2

C . ﹣2

D.2 或﹣2

8.若 tanα=2,则 A.0 B.

的值为() C. 1 D.

9.已知△ ABC 和点 M 满足 A.2 B. 3

.若存在实数 m 使得 C. 4 D.5

成立,则 m=()

10.设 x,y∈R,向量 =(x,1) , =(1,y) , =(2,﹣4) ,且 ⊥ , ∥ ,则| + |=() A. B. C. D.10

11.若| |=1,| |=2, = A.30° 12.已知函数

,且

,则 与 的夹角为() C.120° 的定义域为 D.150° ,值域为[﹣5,1],则函数

B.60°

g(x)=a 在[b,a]上, () A.有最大值 2 B.有最小值 2

bx+7

C.有最大值 1

D.有最小值 1

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 的值是.

14.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 中边上的一点, 且 ,则 y=.

15. 设 D, E 分别是△ ABC 的边 AB, BC 上的点, AD= AB, BE= BC, 若 λ2 为实数) ,则 λ1+λ2 的值为. 16.当 x∈[ , ]时,函数 y=3﹣sinx﹣2cos x 的值域为.
2

=λ1

+λ2

(λ1,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知函数 f(x)=2sin(ωx) ,其中常数 ω>0. (1)若 y=f(x)在 上单调递增,求 ω 的取值范围; 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数

(2)令 ω=2,将函数 y=f(x)的图象向左平移

y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R 且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零 点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b﹣a 的最小值. 18.已知 f(θ)=cosθ﹣sinθ∈(0,π) (1)若 ,求 f(θ)的值;

(2)θ∈(0,π) ,解不等式 f(θ)>0.

19.已知| |=3,| |=6, 与 的夹角为 θ, (1)若 ∥ ,求 ? ; (2)若( ﹣ )⊥ ,求 θ. 20.已知 tan(π﹣α)=2,计算 .

21.设

是两个不共线的向量,

,若

A、B、D 三点共线,求 k 的值. 22.已知函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< P 最近的一个最高点是 Q( ,5) )的图象过点 P( ,0) ,图象上与点

(1)求函数的解析式; (2)指出函数的单调递增区间;

(3)求使 y≤0 的 x 的取值范围.

河南省安阳市内黄一中分校 2014-2015 学年高一下学期第 一次月考数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是() B. k?360°+ π(k∈Z) D.kπ+ (k∈Z)

A.2kπ+45°(k∈Z) C. k?360°﹣315°(k∈Z)

考点: 终边相同的角. 专题: 规律型. 分析: 题目要写出与 值和弧度制不能混用. 解答: 解: 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ π (k∈Z) , 但是角度制与弧度制不能混用, 的终边相同的角,只要在该角基础上加 2π 的整数倍即可,但角度

所以只有答案 C 正确. 故选 C. 点评: 本题考查了终边相同的角的概念, 解答的关键是明确终边相同的角相差 2π 的整数倍, 同时注意角度值和弧度制不能混用.

2.若 ABCD 是正方形,E 是 CD 的中点,且 A. + B. ﹣

= , C. +

= ,则

=() D. ﹣

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 利用向量的加、减法法则将 解答: 解:如图, 故选 B. = ﹣ = + 用基向量表示出即可. ﹣ = + ﹣ =b﹣ a.

点评: 考查向量的加法原理与向量的减法原理,以及平面向量基本定理.

3.若 A. B.

,则

等于() C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 用诱导公式可得 得答案. 解答: 解: 故选:C. 点评: 本题考查利用诱导公式进行化简求值, 得到 是解题的关键. 4.有下列四种变换方式: ①向左平移 ,再将横坐标变为原来的 ; ; ; =cos[ ﹣ ( ) ], =cos[ ﹣( )]= , =cos[ ﹣( )]= ,即可

②横坐标变为原来的 ,再向左平移 ③横坐标变为原来的 ,再向左平移 ④向左平移

,再将横坐标变为原来的 ; 的图象的是() C.②和③ D.②和④

其中能将正弦曲线 y=sinx 的图象变为 A.①和② B.①和③

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 直接利用函数的图象的平移变换,由正弦曲线 y=sinx 的图象变为 的图象,即可得到选项.

解答: 解:正弦曲线 y=sinx 的图象向左平移 横坐标变为原来的 ,变为

,得到函数

的图象,再将

的图象; ,变

将正弦曲线 y=sinx 的图象横坐标变为原来的 ,得到函数 y=sin2x 的图象,再向左平移 为 的图象;

故选 A. 点评: 本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.注意两 种变换的方式的区别.

5.函数 y=sin( A.[﹣kπ+ C. [kπ﹣

﹣2x)的单调递减区间是() ],k∈Z B. [2kπ﹣ D.[kπ﹣ ,2kπ+ ,kπ+ ],k∈Z ],k∈Z

,﹣kπ+ ,kπ+

],k∈Z

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用诱导公式可得本题即求函数 y=sin(2x﹣ ﹣ ≤2kπ+ ,求得 x 的范围,可得函数 y=sin( ﹣2x) =﹣sin (2x﹣ )的单调递增区间.令 2kπ﹣ ≤2x

﹣2x)的单调递减区间. ) 的单调递减区间, 即函数 y=sin (2x﹣ )

解答: 解: 函数 y=sin ( 的单调递增区间. 令 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+

,求得 kπ﹣

≤x≤kπ+

,k∈z,

故函数 y=sin(2x﹣ 即函数 y=sin(

)的单调递增区间, ,kπ+ ],k∈Z,

﹣2x)的单调递减区间为[kπ﹣

故选:D. 点评: 本题主要考查诱导公式、正弦函数的增区间,体现了转化的数学思想,属于基础题.
4 4

6.已知 sinα= A.﹣

,则 sin α﹣cos α 的值为() B. ﹣ C. D.

考点: 三角函数中的恒等变换应用.

分析: 用平方差公式分解要求的算式,两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理,另 一部分把余弦变为正弦,代入题目的条件,得到结论. 解答: 解:sin α﹣cos α 2 2 =sin α﹣cos α 2 =2sin α﹣1 =﹣ , 故选 B. 点评: 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值.在求 值中,确定角的终边位置是关键和必要的.
4 4

7.若 α 是第三象限角,则 y=

+

的值为()

A.0

B. 2

C . ﹣2

D.2 或﹣2

考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 首先,根据 α 是第三象限角,确定 限的符号进行求解即可. 解答: 解:∵α 是第三象限角, ∴π+2kπ<α< ∴ +kπ< < +2kπ,k∈Z, +kπ, 的取值情况,然后,再结合三角函数在各个象

①当 k 为偶数时,k=2n,n∈Z, +2nπ< ∴sin < +2nπ,此时为第二象限角; <0,

>0,cos

∴y=

+

=0,

②当 k 为奇数时,k=2n+1,n∈z, +2nπ< ∴sin < +2nπ,此时为第四象限角. >0,

<0,cos

∴y=

+

=0,

故选:A. 点评: 本题综合考查了象限角的概念,角在各个象限内的符号等知识,属于中档题.

8.若 tanα=2,则 A.0 B.

的值为() C. 1 D.

考点: 同角三角函数间的基本关系;弦切互化. 分析: 根据齐次分式的意义将分子分母同时除以 cosα(cosα≠0)直接可得答案. 解答: 解:利用齐次分式的意义将分子分母同时除以 cosα(cosα≠0)得,

故选 B. 点评: 本题主要考查 tanα= ,这种题型经常在考试中遇到.

9.已知△ ABC 和点 M 满足 A.2 B. 3

.若存在实数 m 使得 C. 4 D.5

成立,则 m=()

考点: 向量的加法及其几何意义. 分析: 解题时应注意到 解答: 解:由 则 所以有 = ,故 m=3, ,则 M 为△ ABC 的重心. 知,点 M 为△ ABC 的重心,设点 D 为底边 BC 的中点, = ,

故选:B. 点评: 本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理.

10.设 x,y∈R,向量 =(x,1) , =(1,y) , =(2,﹣4) ,且 ⊥ , ∥ ,则| + |=() A. B. C. D.10

考点: 平行向量与共线向量;向量的模.

专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由向量平行与垂直的充要条件建立关于 x、y 的等式,解出 x、y 的值求出向量 的坐标,从而得到向量 解答: 解:∵ ∴x?2+1?(﹣4)=0,解得 x=2. 又∵ ∴1?(﹣4)=y?2,解之得 y=﹣2, 由此可得 ∴ 可得 故选:B 点评: 本题给出向量互相平行与垂直,求向量 要条件和向量模的公式等知识,属于基础题. 的模.着重考查了向量平行、垂直的充 =(3,﹣1) , = = . , , ,且 , 的坐标,再由向量模的公式加以计算,可得答案. ,且 ,

11.若| |=1,| |=2, = A.30°

,且

,则 与 的夹角为() C.120° D.150°

B.60°

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 与 的夹角为 θ,0≤θ≤π,由 定义求得 cosθ=﹣ ,由此可得 θ 的值. 解答: 解:设 与 的夹角为 θ,则 0≤θ≤π,∵ 再由 ∴θ= =( )? = + ,∴ =0. ,可得 =0,再利用两个向量的数量积的

=1+1×2×cosθ=0,可得 cosθ=﹣ ,

,即 θ=120°,

故选 C. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的性质,属于中档题. ,值域为[﹣5,1],则函数

12.已知函数 g(x)=a
bx+7

的定义域为

在[b,a]上, ()

A.有最大值 2

B.有最小值 2

C.有最大值 1

D.有最小值 1

考点: 正弦函数的定义域和值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 此题考查正弦型函数的值域问题,配合指数函数的单调性最值问题,设 t=2x+ x∈ ,那么 t∈[ , ]是关键 的定义域为 ,值域为[﹣5, ,

解答: 解:∵已知函数 1] ∴不妨设 t=2x+ ,x∈ ,那么 t∈[ , ]

∴h(t)=f(x)=2asint+b,a>b ∴f(x)max=h( f(x)min=h( 由①②解得, ∴a=2,b=﹣3 又∵g(x)=2 在[﹣3,2]上单调递减 ∴g(x)min=g(2)=2 bx+7 即,函数 g(x)=a 在[b,a]上有最小值 2 故选:B. 点评: 此题考查正弦型函数的值域问题, 需要采用换元的思想, 是一道基础题目, 也是 2015 届高考常见题型. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 的值是﹣ .
﹣3x+7

)=2asin )=2asin

+b=1① +b=﹣5②

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解. 解答: 解: 故答案为:﹣ . =sin(3π )=﹣sin =﹣ .

点评: 本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用,属于基础题. 14.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 中边上的一点, 且 ,则 y=﹣8.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据三角函数的第二定义,我们可得 sinθ= (r 表示点 P 到原点的距离) ,结合 p(4, y)是角 θ 中边上的一点,且 ,我们可以构造出一个关于 y 的方程,解方程即

可求出 y 值. 解答: 解:若 P(4,y)是角 θ 中边上的一点, 则点 P 到原点的距离 r= 则 = ,则 y=﹣8

故答案为:﹣8 点评: 本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义,其中根据三角函数的第二定义将已 知条件转化为一个关于 y 的方程是解答本题的关键. 15. 设 D, E 分别是△ ABC 的边 AB, BC 上的点, AD= AB, BE= BC, 若 λ2 为实数) ,则 λ1+λ2 的值为 . =λ1 +λ2 (λ1,

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意和向量的运算可得 求和即可. 解答: 解:由题意结合向量的运算可得 = = 又由题意可知若 故可得 λ1= 故答案为: 点评: 本题考查平面向量基本定理及其意义,涉及向量的基本运算,属中档题. 16.当 x∈[ ]时,函数 y=3﹣sinx﹣2cos x 的值域为[ ,2].
2

=

, 结合

= λ1

+λ2

, 可得 λ1, λ2 的值,

=

= = =λ1 +λ2 , ,

,λ2= ,所以 λ1+λ2=



考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用同角三角函数间的关系与二次函数的配方法可求得 y=2 x∈[ , ]?﹣ ≤sinx≤1,从而可求函数 y=3﹣sinx﹣2cos x 的值域.
2 2

+ ,

解答: 解:∵y=3﹣sinx﹣2cos x 2 =2sin x﹣sinx+1 =2 ∵x∈[ , + , ]时,

∴﹣ ≤sinx≤1, ∴当 sinx= 时,ymin= ; 当 sinx=﹣ 时,ymax=2; ∴函数 y=3﹣sinx﹣2cos x 的值域为[ ,2]. 故答案为:[ ,2]. 点评: 本题考查复合函数的值域,着重考查二次函数的配方法与正弦函数的单调性与值域, 属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知函数 f(x)=2sin(ωx) ,其中常数 ω>0. (1)若 y=f(x)在 上单调递增,求 ω 的取值范围; 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数
2

(2)令 ω=2,将函数 y=f(x)的图象向左平移

y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R 且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零 点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b﹣a 的最小值. 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.

分析: (1)依题意可得

,解之即可.

(2)由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得 g(x)的解析式,令 g(x)=0, 即可解出零点的坐标,可得相邻两个零点之间的距离.若 b﹣a 最小,则 a 和 b 都是零点,此 * 时在区间[a,mπ+a](m∈N )恰有 2m+1 个零点,所以在区间[a,14π+a]是恰有 29 个零点,从

而在区间(14π+a,b]至少有一个零点,即可得到 a,b 满足的条件.进一步即可得出 b﹣a 的 最小值. 解答: 解: (1)因为 ω>0,y=f(x)=2sinωx 在 上单调递增,



,解得 0<ω≤ .

∴ω 的取值范围为(0, ]. (2) 令 ω=2, 将函数 y=f (x) =2sin2x 的图象向左平移 =2sin(2x+ )的图象; )+1 的图象, 个单位长度, 可得函数 y=2sin2 (x+ )

再向上平移 1 个单位长度,得到函数 y=g(x)=2sin(2x+ 令 g(x)=0,求得 sin(2x+ ∴2x+ =2kπ+ ,或 2x+ 或 x=kπ+ )=﹣ , =2kπ+ ,k∈z, 或 x=kπ+ 或 . ,k∈z ,k∈z,

求得 x=kπ+

故函数 g(x)的零点为 x=kπ+ ∴相邻两个零点之间的距离为

若 b﹣a 最小,则 a 和 b 都是零点,此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,mπ+a](m∈N ) 分别恰有 3,5,…,2m+1 个零点, 所以在区间[a,14π+a]是恰有 29 个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点, ∴b﹣a﹣14π≥ . ,14π+ = + ]恰有 30 个零点, .

*

另一方面,在区间[

因此 b﹣a 的最小值为 14π+

点评: 本题考查正弦函数的图象与性质,着重考查正弦函数的单调性与最值,考查运算求 解能力,考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的零点,考查了分析问题和 解决问题的能力、推理能力和计算能力,属于中档题. 18.已知 f(θ)=cosθ﹣sinθ∈(0,π) (1)若 ,求 f(θ)的值;

(2)θ∈(0,π) ,解不等式 f(θ)>0.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用三角函数的基本关系式解之; (2)在(0,π)解不等式 f(θ)>0. 解答: 解: (1)因为 sin 所以 f(θ)=cosθ﹣sinθ= ,θ∈(0,π) ,所以 cos 或 f(θ)= ; ) . ,

(2)f(θ)>0,即 cosθ﹣sinθ>0,所以 cosθ>sinθ,又 θ∈(0,π) ,所以 θ∈(0, 所以 f(θ)>0 的解集为(0, ) .

点评: 本题考查了三角函数的基本关系式以及三角不等式的解法.

19.已知| |=3,| |=6, 与 的夹角为 θ, (1)若 ∥ ,求 ? ; (2)若( ﹣ )⊥ ,求 θ. 考点: 数量积表示两个向量的夹角;平面向量数量积的运算;数量积判断两个平面向量的 垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)当 ∥ 时,夹角为 θ=0°或 180°,由数量积的定义可得; (2)由垂直可得( ﹣ )? =0,可得 cosθ 的方程,解方程可得 cosθ,可得 θ. 解答: 解: (1)| |=3,| |=6, 与 的夹角为 θ 当 ∥ 时,夹角为 θ=0°或 180°, ∴ ? =| || |cosθ=±18; (2)∵( ﹣ )⊥ ,∴( ﹣ )? =0, ∴ 解得 cos =9﹣3×6×cosθ=0, ,∴θ=60°

点评: 本题考查平面向量的夹角公式,涉及向量的平行和垂直,属中档题.

20.已知 tan(π﹣α)=2,计算 .

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式利用诱导公式化简求出 tanα 的值,原式利用诱导公式化简,再利用同角三 角函数间基本关系变形将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵tan(π﹣α)=﹣tanα=2,即 tanα=﹣2, ∴原式= = = = .

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及诱导公式的作用,熟练掌握基本关 系是解本题的关键. 21.设 是两个不共线的向量, ,若

A、B、D 三点共线,求 k 的值. 考点: 向量的共线定理. 专题: 计算题. 分析: 利用向量的运算法则求出 ;将三点共线转化为两个向量共线;利用向量共线的充

要条件列出方程;利用平面向量的基本定理列出方程,求出 k 的值. 解答: 解:∵ 若 A,B,D 三点共线,则 ∴ 即 由于 不共线可得: 共线,

故 λ=2,k=﹣8 点评: 本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查平面向量的基本定理.

22.已知函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< P 最近的一个最高点是 Q( ,5)

)的图象过点 P(

,0) ,图象上与点

(1)求函数的解析式; (2)指出函数的单调递增区间; (3)求使 y≤0 的 x 的取值范围. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数的图象的顶点坐标求出 A, 由周期求出 ω,由特殊点的坐标求出 φ 的值, 可得函数的解析式. (2)由 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ 即可解得函数的增区间. )≤0

(3)由 y=sinx 的满足 y≤0 的 x 的取值范围是[2kπ﹣π,2kπ],k∈z,即 y=5sin(2x﹣ 时,有 2x﹣ ∈[2kπ﹣π,2kπ],从而解得 x 的取值范围. = ,求得 ω=2

解答: 解: (1)由题意可得 A=5, ∴y=5sin(2x+φ) 将 ( ∴ ,5)代入解析式得:5=5sin( +φ=2kπ+ ,k∈z

+φ)

∴φ=﹣ ∵|φ|<π

+2kπ,k∈Z

令 k=0,则有 φ=﹣ ∴y=5sin(2x﹣ (2)由 2kπ﹣ ) ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,kπ+ (k∈Z) , ].k∈Z.

得函数的增区间为[kπ﹣

(3)∵y=sinx 的满足 y≤0 的 x 的取值范围是[2kπ﹣π,2kπ],k∈z ∴y=5sin(2x﹣ ∴x∈[kπ﹣ )≤0 时,有 2x﹣ ](k∈Z) . ∈[2kπ﹣π,2kπ],

,kπ+

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的单调性, 属于基本知识的考查.


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