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基本初等函数(查缺补漏)


高一综合复习知识巩固点四

基本初等函数
一)、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N .
n
*

?

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。
n n

当 n 是( )数时, a ? a ,当 n 是( 2.有理指数幂的含义及其运算性质:

)数时, a ?| a |? ?
n n

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

① a ? a ? a ;② ( a ) ? a ;③ (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r , s ? Q) 。 3. 分数指数幂的概念
r s
r s rs r r r

r ?s

①a ? ②a
? m n

m n

n

a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0.

1 m 1 ? ( ) n ? n ( ) m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. a a
m

1. 若 10 2.

? 2, 10 ? 4 ,则 10
n

3m ? n 2

=

.
?0.75 ( 3) .

化简 (

25 ) 4

3 ? 2

=

.
x

6.(

3 0.76 ) 3

(二)指数函数及其性质 1、定义:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数。 2、指数函数的图象和性质

y ? ax

0 < a < 1

a > 1





定义域 值域 性 质 定点 过定点(0,1),即 x = 0 时,y = 1 (1)a > 1,当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1。 (2)0 < a < 1,当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1。 单调性 对称性 1. 函数 y ? a 2. 计算 0.064
x?2
? 1 3 0

在 R 上是
x

函数
?x

在 R 上是 轴对称 .
1

函数

y ? a 和 y ? a 关于

? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点
? 4? 3 ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? 5?
1 3? x

?

?

?

4 3

? 16 ?0.75 ? 0.01 2 ?

.

【例 1】求下列函数的定义域: (1)

y?2



1 (2) y ? ( ) 3

5? x



10 x ? 100 (3) y ? . 10 x ? 100

1

高一综合复习知识巩固点四

【例 2】已知 f ( x) ?

2x ? 1 . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)讨论 f ( x) 的单调性. 2x ? 1

二)对数函数 (一)对数 x 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的对数,记作:

x ? log a N ( a — 底数, N — 真数, log a N — 对数式)
说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ;○ 2 a ? N ? log a N ? x ;注意真数 N>0. 两个重要对数: log N 1 常用对数: lg N ;○ 2 自然对数: ln N .③ a a ? N ○ (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么:
x

1 log a ( M · N ) ? ○ 注意:换底公式



2 log a ○

M ? N

3 log a M n = ○

log c b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ). log c a 2 求函数y ? log x ?1 (3 ? x)的定义域 log a b ?
利用换底公式推导出结论 (1) log a m b n ? ;(2) log a b ? .

(二)对数函数 1 y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 2、对数函数的图象和性质

y ? log a x
图 象 定义域 值域

0 < a < 1

a > 1

(1)过定点(1,0),即 x = 1 时,y = 0 性 质 0 < a < 1 , x > 1 或 a > 1 , 0 < x < 1 时,log a x < 0。 1. 比大小: (1)log 67 log 7 6 ; (2)log 31.5 ; log 2 0.8. (2)在 R 上是 函数 (2)在 R 上是 函数 (3)同正异负,即 0 < a < 1 , 0 < x < 1 或 a > 1 , x > 1 时,log a x > 0;

2.若 log x ( 2 ? 1) ? ?1 ,则 x=________,若 log 2 8 ? y ,则 y=___________. 3.计算:(1) log9 3 ? log9 27 ? (2) lg 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 .
2

4. 求下列函数的定义域: (1) y ? log 2 (3x ? 5) ;(2) y ? log 0.5 4 x ? 3 .

2


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