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第1章 解三角形复习课


第一章解三角形 复习课 解三角形
课时目标 1.掌握正弦定理、余弦定理的内容,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦

定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

一、填空题 1.在△ABC 中,A=60° ,a=4 3,b=4 2,则 B=______________. 2.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm,其夹角的余弦值是方程 5x2-7x-6=0 的根,则此三角形的面 积是________cm2.

3. 如图所示, D、 三点在地面同一直线上, C、 B DC=a, C、 两点测得 A 点的仰角分别是 β、 从 D α(β<α). 则 A 点离地面的高 AB 为______(用 a、α、β 表示). 4.在△ABC 中,a=x,b=2,B=45° ,若三角形有两解,则 x 的取值范围是______________. 5.在△ABC 中,A=60° ,AC=16,面积为 220 3,那么 BC 的长度为________. 6.一艘船以 20 km/h 的速度向正北航行,船在 A 处看见灯塔 B 在船的东北方向,1 h 后船在 C 处看见 灯塔 B 在船的北偏东 75° 的方向上,这时船与灯塔的距离 BC 等于___km. 7.已知△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=k∶(k+1)∶2k,则 k 的取值范围是________. 8.在△ABC 中,AB=7,AC=6,M 是 BC 的中点,AM=4,则 BC=________. 9. 在△ABC 中, 内角 A, C 的对边分别是 a, c.若 a2-b2= 3bc, C=2 3sin B, A=________. B, b, sin 则 3 10.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,如果 2b=a+c,∠B=30° ,△ABC 的面积为 , 2

那么 b=________. 二、解答题 11.在△ABC 中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sin A=2sin Bcos C,试确定△ABC 的形状. 12.在△ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角. (1)求最大角的余弦值; (2)求以此最大角为内角,夹此角的两边之和为 4 的平行四边形的最大面积. 能力提升 1 13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C=- . 4 (1)求 sin C 的值; (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,求 b 及 c 的长. 14.如图所示,已知在四边形 ABCD 中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60° ,∠BCD=135° , 求 BC 的长.

1.在解三角形时,常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用,要注意恰当的选取定理,简化运算过 程. 2.应用正、余弦定理解应用题时,要注意先画出平面几何图形或立体图形,再转化为解三角形 问题求解,即先建立数学模型,再求解.

复习课
作业设计

解三角形 答案

sin A 2 1.45° 解析 sin B=b· = ,且 b<a,∴B=45° . a 2 3 2.6 解析 由 5x2-7x-6=0,解得 x1=- ,x2=2. 5 3 4 1 4 ∵x2=2>1,不合题意.∴设夹角为 θ,则 cos θ=- ,得 sin θ= ,∴S= ×3×5× =6 (cm2). 5 5 2 5 asin αsin β h 3. 解析 设 AB=h,则 AD= , sin α sin?α-β? CD AD a h asin αsin β 在△ACD 中,∵∠CAD=α-β,∴ = .∴ = ,∴h= . sin?α-β? sin β sin?α-β? sin αsin β sin?α-β? 2 4.2<x<2 2解析 因为三角形有两解,所以 asin B<b<a,即 x<2<x,∴2<x<2 2. 2 1 1 3 5.49 解析 S△ABC= AC· sin 60° ×16×AB× =220 3,∴AB=55. AB· = 2 2 2 1 ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos 60° =552+162-2×16×55× =2 401. 2 ∴BC=49. 6.20 2

BC AC 解析 如图所示, = sin 45° sin 30° AC 20 2 ∴BC= ×sin 45° = × =20 2 (km). sin 30° 1 2 2 1 7.?2,+∞? ? ? 解析 由正弦定理得:a=mk,b=m(k+1),c=2mk(m>0), ? ? ?a+b>c ?m?2k+1?>2mk 1 ∵? 即? ,∴k> . 2 ?a+c>b ?3mk>m?k+1? ? ? 8. 106 a 解析 设 BC=a,则 BM=MC= . 2 在△ABM 中,AB2=BM2+AM2-2BM· AMcos∠AMB, 1 2 a 即 72= a +42-2× ×4· cos∠AMB.① 4 2 在△ACM 中,AC2=AM2+CM2-2AM· cos∠AMC, CM·

1 a 即 62=42+ a2+2×4× · cos∠AMB.② 4 2 1 ①+②得:72+62=42+42+ a2,∴a= 106. 2 9.30° 解析 由 sin C=2 3sin B,根据正弦定理,得 c=2 3b,把它代入 a2-b2= 3bc 得 a2-b2=6b2,即 a2=7b2. b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 6b2 3 由余弦定理,得 cos A= = = 2= 2 . 2bc 2b· 3b 2 4 3b 又∵0° <A<180° ,∴A=30° . 10.1+ 3 1 3 解析 ∵2b=a+c,S= acsin B= ,∴ac=6. 2 2 2 2 2 2 ∴b =a +c -2accos B=(a+c) -2accos B-2ac. ∴b2=4b2-6 3-12,∴b2=2 3+4,b=1+ 3. 11.解 由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得 b2+2bc+c2-a2=3bc, b2+c2-a2 bc 1 即 a2=b2+c2-bc,∴cos A= = = , 2bc 2bc 2 π ∴A= . 3 又 sin A=2sin Bcos C. a2+b2-c2 a2+b2-c2 ∴a=2b· = , 2ab a 2 2 ∴b =c ,b=c,∴△ABC 为等边三角形. 12.解 (1)设这三个数为 n,n+1,n+2,最大角为 θ, n2+?n+1?2-?n+2?2 则 cos θ= <0, 2· ?n+1? n· 化简得:n2-2n-3<0?-1<n<3. ∵n∈N*且 n+(n+1)>n+2,∴n=2. 4+9-16 1 ∴cos θ= =- . 4 2×2×3 (2)设此平行四边形的一边长为 a,则夹 θ 角的另一边长为 4-a,平行四边形的面积为: 15 15 S=a(4-a)· θ= sin (4a-a2)= [-(a-2)2+4]≤ 15.当且仅当 a=2 时,Smax= 15. 4 4 1 10 13.解 (1)∵cos 2C=1-2sin2C=- ,0<C<π,∴sin C= . 4 4 a c (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,由正弦定理 = ,得 c=4. sin A sin C 1 6 由 cos 2C=2cos2C-1=- 及 0<C<π,得 cos C=± . 4 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C, 得 b2± 6b-12=0(b>0), 解得 b= 6或 2 6,

?b= 6, ?b=2 6, ∴? 或? ?c=4 ?c=4.
14.解 设 BD=x,在△ABD 中,由余弦定理有 AB2=AD2+BD2-2AD· cos∠ADB, BD· 即 142=x2+102-20xcos 60° , 2 ∴x -10x-96=0,∴x=16(x=-6 舍去),即 BD=16.

BC BD 在△BCD 中,由正弦定理 = , sin∠CDB sin∠BCD 16sin 30° ∴BC= =8 2. sin 135°


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