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1.1集合及其运算


§ 1.1
一 要点梳理 1.集合与元素

集合的概念及其基本运算

(1)集合元素的三个特征:____________、______________、____________. (2)元素与集合的关系是________或__________关系,用符号______或______表示. (3)集合的表示法:____________

、__________、__________、__________. (4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5) 集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为 __________ 、 __________ 、 ________. 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x?A,则________(或________). ?____A;A____A;A?B,B?C?A____C. 若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有______个,A 的非空子集有______个,A 的非空真子 集有______个. (2)集合相等 若 A?B 且 B?A,则 A=B. 3.集合的运算及其性质 (1)集合的交、并、补运算 交集:A∩B=________________; 并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; 补集:?UA=________________. U 为全集,?UA 表示 A 相对于全集 U 的补集. (2)集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A. 二 难点正本 疑点清源 1.正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特征,尤其是“确定性和互异性” 在解题中要注意运用. 在解决含参数问题时, 要注意检验, 否则很可能会因为不满足“互 异性”而导致结论错误.

2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非 空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的 情况. 3.正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素 0 的集合,它不是空集,因为它 有一个元素, 这个元素是 0.{?}是含有一个元素?的集合. ??{0}, ??{?}, ?∈{?}, {0}∩{?} =?. 三 基础训练 1 . (课本改编题 )已知全集 U = {1,2,3,4,5,6,7}, A= {2,4,5} ,B= {1,3,5,7},则 A∩( ? UB) = ________. 2.(2011· 上海)若全集 U=R,集合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0},则?UA=________. 3.(课本改编题)已知集合 A={-1,2},B={x|mx+1=0},若 A∪B=A,则 m 的可能取值组 成的集合为________. 4. 已知 A、 B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集, 且 A∩B={3}, (?UB)∩A={9}, 则 A 等于( A.{1,3} C.{3,5,9} B.{3,7,9} ( ) D.{3,9} 2 5.已知 R 是实数集,M={x| <1},N={y|y= x-1},则 N∩(?RM)等于 x A.(1,2) C.? 四 题型分类解析 题型一 集合的基本概念 例1 (1)已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且 1∈A,求实数 2 013a 的值; (2)x,x2-x,x3-3x 能表示一个有三个元素的集合吗?如果能表示一个集合,说明理由; 如果不能表示,则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合. 探究提高 (1)加强对集合中元素的特征的理解,互异性常常容易忽略,求解问题时要特 别注意. (2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 变式训练 1 若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________. 题型二 集合间的基本关系 例2 1 ? ? 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B=?x|-2<x≤2?.
? ?

)

B.[0,2] D.[1,2]

(1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由. 探究提高 在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助 分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行分类讨论.分类 时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对每一类情况都要给出问题的解答.

分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类;③逐类讨论;④归纳结论. 变式训练 2 已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范围是 (c,+∞),其中 c=________. 题型三 集合的基本运算 例3 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?, 则 m 的值是________. 探究提高 本题的主要难点有两个:一是集合 A,B 之间关系的确定;二是对集合 B 中 方程的分类求解.集合的交并补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系,这些联 系通过 Venn 图进行直观的分析不难找出来,如 A∪B=A?B?A,(?UA)∩B=??B?A 等,在解题中碰到这种情况时要善于转化,这是破解这类难点的一种极为有效的方法. 变式训练 3 设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围. 题型四 集合中的新定义问题 例4 在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 和 如下:

那么 d A.a

(a

c)等于 B.b C.c D.d

(

)

探究提高 本题新定义了两种运算,看似复杂,但事实上运算结果可以通过题目中的表 格得出.借助于集合定义新运算是高考中命制创新试题的一个良好素材. 变式训练 4 已知集合 S={0,1,2,3,4,5},A 是 S 的一个子集,当 x∈A 时,若有 x-1?A, 且 x+1?A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,那么 S 中无“孤立元素”的 4 个元素的子 集共有________个,其中的一个是____________. 五 思想方法提炼 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检 验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系, 求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想的 又一体现. 4.Venn 图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法 要特别注意端点是实心还是空心. 5.要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性.

课时规范训练
(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.(2011· 广东)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数, 且 y=x},则 A∩B 的元素个数为 A.0 ( ) ) B.1 C.2 D.3 x 2.已知集合 M={x| ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则 M∩N 等于 ( x-1 A.? C.{x|x>1} A.(2,3)∪(3,4) C.(2,3)∪(3,4] 二、填空题 4.已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=__________. 5.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B= __________. 6.定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合 A={0,1},B={2,3},则 集合 A⊙B 的所有元素之和为________. 三、解答题 7.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 8.对任意两个集合 M、N,定义:M-N={x|x∈M 且 x?N},M*N=(M-N)∪(N-M),设 M ={y|y=x2,x∈R},N={y|y=3sin x,x∈R},求 M*N. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1.设集合 A={1,2,3,5,7},B={x∈Z|1<x≤6},全集 U=A∪B,则 A∩(?UB)等于 ( A.{1,4,6,7} C.{1,7} 的个数是 D.8 1 3.(2011· 湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP 等于 x 1 1 ? ? A.? B.? ?2,+∞? ?0,2? A.57 B.56 C.49 B.{2,3,7} D.{1} ( ( ) ) ) B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x<0} ( ) B.(2,4) D.(2,4]

3.如果全集 U=R,A={x|2<x≤4},B={3,4},则 A∩(?UB)等于

2.(2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 SB

C.(0,+∞)

1 ? D.(-∞,0]∪? ?2,+∞? ( )

4.已知集合 A={x|log2x+1>0},B={y|y= 3-2x-x2},则(?RA)∩B 等于 1? 1? A.? B.? ?0,2? ?0,2? 1? C.(-3,2] D.? ?-3,2? 二、填空题

5.已知集合 A=(-∞,0],B={1,3,a},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围是________. 6.设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=________. 7.设 A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若 A∩B=?,则实数 t 的取值范围是__________. 三、解答题 x-5 8.已知集合 A={x| ≤0},B={x|x2-2x-m<0}, x+1 (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. 答案 要点梳理 1 . (1) 确定性 互异性 无序性 2) 属于 空集 不属于 ∈ ? (3) 列举法 描述法 图示法 区间法 (5)有限集 无限集 2.(1)A?B B?A ? ? 基础自测 1.{2,4} 2.{x|0<x<1} 1? ? 3.?0,1,-2? 4.D 5.B ? ? 题型分类· 深度剖析 例1 解 (1)当 a+2=1,即 a=-1 时, (a+1)2=0,a2+3a+3=1 与 a+2 相同, ∴不符合题意. 当(a+1)2=1,即 a=0 或 a=-2 时, ①a=0 符合要求. ②a=-2 时,a2+3a+3=1 与(a+1)2 相同,不符合题意. 当 a2+3a+3=1,即 a=-2 或 a=-1. ①当 a=-2 时,a2+3a+3=(a+1)2=1,不符合题意. ②当 a=-1 时,a2+3a+3=a+2=1,不符合题意. 综上所述,a=0. ∴2 013a=1. (2)因为当 x=0 时,x=x2-x=x3-3x=0. 所以它不一定能表示一个有三个元素的集合. 要使它表示一个有三个元素的集合,

? 2n 2n-1 2n-2

3.(1){x|x∈A,且 x∈B} {x|x∈U,且 x?A}

x≠x -x, ? ?2 3 则应有?x -x≠x -3x, ? ?x≠x3-3x. ∴x≠0 且 x≠2 且 x≠-1 且 x≠-2 时,{x,x2-x,x3-3x}能表示一个有三个元素的集 合. 9 变式训练 1 0 或 8 例2 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若 a=0,则 A=R; 1? ? 4 ②若 a<0,则 A=?x|a≤x<-a?; ? ? 1 4? ? ③若 a>0,则 A=?x|-a<x≤a?. ? ? (1)当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图,

2

?a>-2 则? 1 ?-a≤2

4

1

a>0或a<-8 ? ? ,∴? 1 , ? ?a>0或a≤-2

又 a<0,∴a<-8. 当 a>0 时,若 A?B,如图,

?-a≥-2 则? 4 ?a≤2

1

1
?a≥2或a<0 ? ,∴? . ? ?a≥2或a<0

又∵a>0,∴a≥2. 综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2. (2)当 a=0 时,显然 B?A; 当 a<0 时,若 B?A,如图,

?a≤-2 则? 1 ?-a>2

4

1

-8≤a<0 ? ? ,∴? 1 . ? ?-2<a<0

1 又∵a<0,∴- <a<0. 2 当 a>0 时,若 B?A,如图,

?-a≤-2 则? 4 ?a≥2

1

1
?0<a≤2 ? ,∴? . ?0<a≤2 ?

又∵a>0,∴0<a≤2. 1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2. 2 (3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时,A=B. 由(1)、(2)知,a=2. 变式训练 2 4 例3 1或2 1 变式训练 3 解 (1)∵A={x| ≤x≤3}, 2 当 a=-4 时,B={x|-2<x<2}, 1 ∴A∩B={x| ≤x<2}, 2 A∪B={x|-2<x≤3}. 1 (2)?RA={x|x< 或 x>3}, 2 当(?RA)∩B=B 时,B??RA, 即 A∩B=?. ①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B??RA; 1 ②当 B≠?,即 a<0 时,B={x|- -a<x< -a},要使 B??RA,需 -a≤ , 2 1 解得- ≤a<0. 4 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a≥- . 4 例4 A 变式训练 4 6 {0,1,2,3} 课时规范训练 A组 1.C 2.C 3.A 4.-1 或 2 5.{(0,1),(-1,2)} 6.18 7.解 由已知得 A={x|-1≤x≤3}, B={x|m-2≤x≤m+2}. ? ?m-2=0, (1)∵A∩B=[0,3],∴? ?m+2≥3. ? ∴m=2. (2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2}, ∵A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1, 即 m>5 或 m<-3.

8.解 ∵M={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}, N={y|y=3sin x,x∈R}={y|-3≤y≤3}, ∴M-N={y|y>3}, N-M={y|-3≤y<0}, ∴M*N=(M-N)∪(N-M) ={y|y>3}∪{y|-3≤y<0} ={y|y>3 或-3≤y<0}. B组 1.C 2.B 3.A 4.A 5.a≤0 6.-3 7.(-∞,-3) x-5 8.解 由 ≤0, x+1 所以-1<x≤5,所以 A={x|-1<x≤5}. (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3}, 则?RB={x|x≤-1 或 x≥3}, 所以 A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)因为 A={x|-1<x≤5}, A∩B={x|-1<x<4}, 所以有 42-2×4-m=0,解得 m=8. 此时 B={x|-2<x<4},符合题意, 故实数 m 的值为 8.


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