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福建省龙岩市武平一中2014-2015学年高二上学期周考数学试卷(实验班)


福建省龙岩市武平一中 2014-2015 学年高二上学期周考数学试卷 (实验班)
一、选择题: 1. (3 分)函数 f(x)=xlnx 的单调递减区间是() A.(0,e) B.(e,+∞) C. D.

2. (3 分)抛物线 A.x﹣y﹣1=0

在点 Q(2,1)处的切线方程是() B.x+y﹣3=0 C.x﹣y+1=0

D.x+y﹣1=0

3. (3 分)已知平面 α 的法向量是(2,3,﹣1) ,平面 β 的法向量是(4,λ,﹣2) ,若 α⊥β, 则 λ 的值是() A.﹣6 B. 6 C. ﹣ D.

4. (3 分)若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 A.﹣2 B. 2

2

的右焦点重合,则 p 的值为() C . ﹣4 D.4

5. (3 分)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象 最有可能的是()

A.

B.

C.

D.

6. (3 分)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

7. (3 分)若双曲线
2

(a>b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线

y =2bx 的焦点分成 7:5 的两段,则此双曲线的离心率为() A. B. C. D.

8. (3 分)设 P 是椭圆 和右焦点,则 A.8 ? +

+y =1 上任意一点,A 是椭圆的左顶点,F1,F2 分别是椭圆的左焦点 ? 的最大值为() C.12 D.20

2

B.16

9. (3 分)在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,若 A=2B,给出下 列命题: ① <B< , ; ];

② ∈(
2 2

③a =b +bc. 其中正确的个数是() A.0 B. 1

C. 2

D.3

10. (3 分)设函数 F(x)=

是定义在 R 上的函数,其中 f(x)的导函数 f′(x)满足

f′(x)<f(x)对于 x∈R 恒成立,则 () 2 2012 A.f(2)>e f(0) ,f>e f(0) 2 2012 C. f(2)<e f(0) ,f>e f(0)

B. f(2)>e f(0) ,f<e f(0) 2 2012 D.f(2)<e f(0) ,f<e f(0)

2

2012

11. (3 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,若平面 A1BCD1 上一动点 P 到 AB1 和 BC 的距离相等,则点 P 的轨迹为()

A.椭圆的一部分 C. 一条线段

B. 圆的一部分 D.抛物线的一部分 ) ,

12. (3 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2AD,设∠DAB=θ,θ∈(0,

以 A,B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1,以 C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率 为 e2,则()

A.随着角度 θ 的增大,e1 增大,e1e2 为定值 B. 随着角度 θ 的增大,e1 减小,e1e2 为定值 C. 随着角度 θ 的增大,e1 增大,e1e2 也增大 D.随着角度 θ 的增大,e1 减小,e1e2 也减小

二、填空题: 13. (3 分)数列{an}中,a1=1,an+1= , (n∈N+) ,则 a5=.

14. (3 分)函数 f(x)=
ax

的单调递增区间是.

15. (3 分) 设曲线 y=e +sine 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a=. 16. (3 分)已知 lga+lgb=0,则满足不等式 ≤λ 的实数 λ 的最小值是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知命题 p:方程
2 2

+

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q:实数 m 满足方

程(m+4)x ﹣(m+2)y =(m+4) (m+2)为双曲线.若“p∧q”为假命题,“p?q”为真命题, 求实数 m 的取值范围.

18. (12 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (Ⅰ)求 的值;



(Ⅱ)若 B 为钝角,b=10,求 a 的取值范围. 19. (12 分) 如图, 四棱锥 E﹣ABCD 中, 平面 EAD⊥平面 ABCD, DC∥AB, BC⊥CD, EA⊥ED, 且 AB=4,BC=CD=EA=ED=2. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ADE; (Ⅱ)求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在线段 CE 上是否存在一点 F 使得平面 BDF⊥平面 CDE,请说明理由.

20.已知椭圆

+y =1 的左、右焦点为 F1、F2,上顶点为 A,直线 AF1 交椭圆于 B.如图所

2

示沿 x 轴折起,使得平面 AF1F2⊥平面 BF1F2.点 O 为坐标原点. ( I ) 求三棱锥 A﹣F1F2B 的体积; (Ⅱ)图 2 中线段 BF2 上是否存在点 M,使得 AM⊥OB,若存在,请在图 1 中指出点 M 的坐 标;若不存在,请说明理由.

21.已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=12;数列{bn}的前 n 项和是{Sn},且 Sn+ bn=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列; (3)记 cn= ,{cn}的前 n 项和为 Tn,若 Tn 对一切 n∈N 都成立,求最
*

小正整数 m.

22. 如果两个椭圆的离心率相等, 那么就称这两个椭圆相似. 已知椭圆 C 与椭圆 相似,且椭圆 C 的一个短轴端点是抛物线 (Ⅰ)试求椭圆 C 的标准方程; 的焦点.

(Ⅱ)设椭圆 E 的中心在原点,对称轴在坐标轴上,直线 l:y=kx+t(k≠0,t≠0)与椭圆 C 交 于 A,B 两点,且与椭圆 E 交于 H,K 两点.若线段 AB 与线段 HK 的中点重合,试判断椭圆 C 与椭圆 E 是否为相似椭圆?并证明你的判断.

福建省龙岩市武平一中 2014-2015 学年高二上学期周考数 学试卷(实验班)
参考答案与试题解析

一、选择题: 1. (3 分)函数 f(x)=xlnx 的单调递减区间是() A.(0,e) B.(e,+∞) C. D.

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求出函数的导函数,定义域内使导函数小于 0 的区间即为原函数的单调递减区间. 解答: 解:函数 f(x)=xlnx 的定义域为(0,+∞) . ′ ′ f (x)=(xlnx) =lnx+1. 当 x∈ , . 上为减函数. .

所以,函数 f(x)=xlnx 在 即函数的减区间为

故答案为 C. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数的导函数在一个区间内大于 0,函数在 该 区间内为增函数,函数的导函数在一个区间内小于 0,函数在该区间内为减函数,此题是中 档题.

2. (3 分)抛物线 A.x﹣y﹣1=0

在点 Q(2,1)处的切线方程是() B.x+y﹣3=0 C.x﹣y+1=0 D.x+y﹣1=0

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 欲求在点(2,1)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在 x=2 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 解答: 解:∵ ,

∴y'(x)= x,当 x=2 时,f'(2)=1 得切线的斜率为 1,所以 k=1; 所以曲线 y=f(x)在点(2,1)处的切线方程为: y﹣1=1×(x﹣2) ,即 x﹣y﹣1=0. 故选 A. 点评: 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程 等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 3. (3 分)已知平面 α 的法向量是(2,3,﹣1) ,平面 β 的法向量是(4,λ,﹣2) ,若 α⊥β, 则 λ 的值是() A.﹣6 B. 6 C. ﹣ D.

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题: 空间向量及应用. 分析: 由题意可得平面的法向量垂直,由数量积为 0 可解 λ. 解答: 解:由题意可知:平面 α 和 β 的法向量分别是(2,3,﹣1)和(4,λ,﹣2) , 由平面 α⊥β,可得它们的法向量垂直, 故(2,3,﹣1)?(4,λ,﹣2)=8+3λ+2=0, 解得 λ= ,

故选 C 点评: 本题考查向量的数量积和向量垂直的关系,属基础题.

4. (3 分)若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 A.﹣2 B. 2

2

的右焦点重合,则 p 的值为() C . ﹣4 D.4

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据椭圆方程求出其右焦点的坐标,在于抛物线的性质可确定 p 的值. 解答: 解:椭圆 c =6﹣2=4,即 c=2, 故椭圆
2 2

中,

的右焦点为(2,0) ,

所以抛物线 y =2px 的焦点为(2,0) , 则 p=4, 故选 D. 点评: 本题主要考查椭圆的简单性质和抛物线的标准方程,难度不大,属于基础题.

5. (3 分)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象 最有可能的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 先根据导函数的图象确定导函数大于 0 的范围和小于 0 的 x 的范围,进而根据当导 函数大于 0 时原函数单调递增, 当导函数小于 0 时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间. 解答: 解:由 y=f'(x)的图象易得当 x<0 或 x>2 时,f'(x)>0, 故函数 y=f(x)在区间(﹣∞,0)和(2,+∞)上单调递增; 当 0<x<2 时,f'(x)<0,故函数 y=f(x)在区间(0,2)上单调递减; 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 6. (3 分)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 常规题型.

分析: 延长 CA 到 D,根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角,而三角形 A1DB 为等边三角形,可求得此角. 解答: 解:延长 CA 到 D,使得 AD=AC,则 ADA1C1 为平行四边形, ∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角, 又 A1D=A1B=DB= AB, 则三角形 A1DB 为等边三角形,∴∠DA1B=60° 故选 C. 点评: 本小题主要考查直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的性质、异面直线所成的角、异面直线所成 的角的求法,考查转化思想,属于基础题.

7. (3 分)若双曲线
2

(a>b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线

y =2bx 的焦点分成 7:5 的两段,则此双曲线的离心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题.
2

分析: 依题意,抛物线 y =2bx 的焦点 F( ,0) ,由

= 可求得 c=3b,结合双曲线的

性质即可求得此双曲线的离心率. 解答: 解:∵抛物线 y =2bx 的焦点 F( ,0) ,线段 F1F2 被抛物线 y =2bx 的焦点分成 7: 5 的两段,
2 2



= ,

∴c=3b, ∴c =a +b =a + c ,
2 2 2 2 2



= .

∴此双曲线的离心率 e=



故选 C. 点评: 本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质,求得 c=3b 是关键,考查分析与运 算能力,属于中档题.

8. (3 分)设 P 是椭圆 和右焦点,则 A.8 ? +

+y =1 上任意一点,A 是椭圆的左顶点,F1,F2 分别是椭圆的左焦点 ? 的最大值为() C.12 D.20

2

B.16

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆 +y =1 可得 A (﹣2, 0) ,
2

, F2

. 设P (2cosθ,

sinθ) (θ∈ 9. (3 分)在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,若 A=2B,给出下 列命题: ① <B< , ; ];

② ∈(
2 2

③a =b +bc. 其中正确的个数是() A.0 B. 1

C. 2

D.3

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 锐角三角形 ABC 中三个角都是锐角, 得到 2B 及 π﹣3B 都是锐角, 求出角 B 的范围, 利用正弦定理即余弦定理得出 解答: 解:∵锐角三角形 ABC 中, ∴ , , ; ,a =b +c ﹣2bccosA
2 2 2



解得 ∵ ∵ ∴ ∴

<B<

; ,

<B<

; , ,

∵a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 2 ∵b +c ﹣2bccosA﹣(b +bc) 2 =c ﹣2bccosA﹣bc =c(c﹣2bcosA﹣b) =c2R(sinC﹣2sinBcosA﹣sinB) =2Rc(sin3B﹣2sinBcos2B﹣sinB) =2Rc(sinBcos2B+cosBsin2B﹣2sinBcos2B﹣sinB) =2Rc(cosBsin2B﹣sinBcos2B﹣sinB) =0 ∴a =b +bc. ∴①③对. 故选:C. 点评: 本题考查锐角三角形的特点;考查三角形的正弦定理、余弦定理;属于一道中档题.
2 2

2

2

2

10. (3 分)设函数 F(x)=

是定义在 R 上的函数,其中 f(x)的导函数 f′(x)满足

f′(x)<f(x)对于 x∈R 恒成立,则 () 2 2012 A.f(2)>e f(0) ,f>e f(0) 2 2012 C. f(2)<e f(0) ,f>e f(0) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用.

B. f(2)>e f(0) ,f<e f(0) 2 2012 D.f(2)<e f(0) ,f<e f(0)

2

2012

分析: 由 f′(x)<f(x) ,利用导数与函数单调性的关系,判断出函数 F(x)= 定义在 R 上的减函数,即可得答案. 解答: 解:由 f′(x)<f(x)得,f′(x)﹣f(x)<0, ∴F′(x)= <0,



∴函数 F(x)=

是定义在 R 上的减函数,

∴F(0)>F(2) ,F(0)>F, 即 F(0)>
2

,F(0)>
2012



即 f(2)<e F(0) ,f<e F(0) , ∵F(0)=f(0) , 2 2012 ∴f(2)<e f(0) ,f<e f(0) , 故选:D. 点评: 考查利用导数研究判断函数单调性及导数的运算法则的运用,属于中档题,

11. (3 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,若平面 A1BCD1 上一动点 P 到 AB1 和 BC 的距离相等,则点 P 的轨迹为()

A.椭圆的一部分 C. 一条线段

B. 圆的一部分 D.抛物线的一部分

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设 AB1∩A1B=O,求得 PO 与 P 到 BC 的距离相等,根据抛物线的定义,可得结论. 解答: 解:设 AB1∩A1B=O,则 PO 表示 P 到 AB1 的距离, ∵平面 A1BCD1 上一动点 P 到 AB1 和 BC 的距离相等, ∴PO 与 P 到 BC 的距离相等, 根据抛物线的定义,可得点 P 的轨迹为抛物线的一部分. 故选:D. 点评: 本题考查抛物线定义及线面垂直的性质.定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本 轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等) ,可用定义直接探求. 12. (3 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2AD,设∠DAB=θ,θ∈(0,

) ,

以 A,B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1,以 C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率 为 e2,则()

A.随着角度 θ 的增大,e1 增大,e1e2 为定值 B. 随着角度 θ 的增大,e1 减小,e1e2 为定值 C. 随着角度 θ 的增大,e1 增大,e1e2 也增大 D.随着角度 θ 的增大,e1 减小,e1e2 也减小 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 连接 BD、AC,假设 AD=t,根据余弦定理表示出 BD,进而根据双曲线的性质可得 到 a 的值,再由 AB=2c,e= 可表示出 e1= ,最后根据余弦函数的单调性可

判断 e1 的单调性;同样表示出椭圆中的 c'和 a'表示出 e2 的关 系式,最后令 e1、e2 相乘即可得 到 e1e2 的关系. 解答: 解: 连接 BD, AC 设 AD=t, 则 BD= =

∴双曲线中 a=

e1=

∵y=cosθ 在(0,

)上单调减,进而可知当 θ 增大时,

y=

=

减小,即 e1 减小

∵AC=BD ∴椭圆中 CD=2t(1﹣cosθ)=2c∴c'=t(1﹣cosθ) AC+AD= e2= = +t,∴a'= ( +t)

∴e1e2=

×

=1

故选 B.

点评: 本题主要考查椭圆和双曲线的离心率的表示,考查考生对圆锥曲线的性质的应用, 圆锥曲线是 2015 届高考的重点每年必考,平时要注意基础知识的积累和练习. 二、填空题: 13. (3 分)数列{an}中,a1=1,an+1= , (n∈N+) ,则 a5= .

考点: 数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用数列递推式,代入计算,即可得出结论. 解答: 解:∵数列{an}中,a1=1,an+1= ,

∴a2= ,a3= ,a4= ,a5= , 故答案为: . 点评: 本题考查数列递推式,考查学生的计算能力,比较基础.

14. (3 分)函数 f(x)=

的单调递增区间是(0,e) .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出函数 的导数为 y′的解析式, 令 y′>0 求得 x 的范围, 即可得到函数

的单调递增区间.

解答: 解:由于函数

的导数为 y′=



令 y′>0 可得 lnx<1,解得 0<x<e, 故函数 的单调递增区间是 (0,e) ,

故答案为: (0,e) . 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性,属于基础题. 15. (3 分)设曲线 y=e +sine 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a=2. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=0 处的导数,从而求出切线的斜率,再根 据两直线垂直建立等式关系,解之即可. 解答: 解:∵y=e +sine, ax ∴y′=ae ax ∴曲线 y=e 在点(0,1)处的切线方程是 y﹣1=a(x﹣0) ,即 ax﹣y+1=0 ∵直线 ax﹣y+1=0 与直线 x+2y+1=0 垂直 ∴﹣ a=﹣1,即 a=2. 故答案为:2. 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及两直线垂直的应用等有关 问题,属于基础题. 16. (3 分)已知 lga+lgb=0,则满足不等式 ≤λ 的实数 λ 的最小值是 1.
ax ax

考点: 对数的运算性质.

专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由已知得到 b= ,代入 解答: 解:∵lga+lgb=0, ∴lgab=0,ab=1,则 b= , 后利用基本不等式求其最大值,则答案可求.



=

=



∴则满足不等式

≤λ 的实数 λ 的最小值是 1.

故答案为:1. 点评: 本题考查了对数的运算性质,考查了利用基本不等式求最值,是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知命题 p:方程
2 2

+

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q:实数 m 满足方

程(m+4)x ﹣(m+2)y =(m+4) (m+2)为双曲线.若“p∧q”为假命题,“p?q”为真命题, 求实数 m 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 范围. 解答: 椭圆的简单性质;复合命题的真假;双曲线的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 由题意求出命题 p 中 m 的范围,命题 q 中 m 的范围,利用复合命题的真假求解 m 的 (本小题满分 13 分) 表示焦点在 y 轴上的椭圆∴m>2 …(3 分)

解:∵方程

∵方程(m+4)x ﹣(m+2)y =(m+4) (m+2)为双曲线,即 ∴(m+4) (m+2)>0 解得 m<﹣4 或 m>﹣2 …(6 分) 若“p∧q”为假命题,“p?q”为真命题,则 p、q 恰有一真一假…(8 分) (1)若“p 真 q 假”则有: 解得 m∈?; …(10 分)

2

2

为双曲线,

(2)若“p 假 q 真”则有:

解得 m<﹣4 或 2≥m>﹣2…(12 分)

综上(1) (2)知,实数 m 的取值范围是{m|m<﹣4 或 2≥m>﹣2}…(13 分)

点评: 本题考查椭圆的基本性质与双曲线的基本性质,复合命题的真假,基本知识的应用.

18. (12 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (Ⅰ)求 的值;



(Ⅱ)若 B 为钝角,b=10,求 a 的取值范围. 考点: 正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)直接利用正弦定理化简已知表达式,通过两角和的正弦函数与三角形的内角 和,求出 的值;

(Ⅱ)通过(Ⅰ)求出 a 与 c 的关系,利用 B 为钝角,b=10,推出关系求 a 的取值范围. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (I)由正弦定理,设 则 所以 , .…(4 分) ,

即(cosA﹣3cosC)sinB=(3sinC﹣sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C) .…(6 分) 又 A+B+C=π, 所以 sinC=3sinA 因此 (II)由 .…(8 分) 得 c=3a.…(9 分)

由题意

,…(12 分)



…(14 分)

点评: 本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用,注意三角形的判断与应用,考查计 算能力. 19. (12 分) 如图, 四棱锥 E﹣ABCD 中, 平面 EAD⊥平面 ABCD, DC∥AB, BC⊥CD, EA⊥ED, 且 AB=4,BC=CD=EA=ED=2. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ADE; (Ⅱ)求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在线段 CE 上是否存在一点 F 使得平面 BDF⊥平面 CDE,请说明理由.

考点: 平面与平面垂直的性质;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)证明 BD⊥AD,利用平面 EAD⊥平面 ABCD,证明 BD⊥平面 ADE; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 CDE 的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值; (Ⅲ)求出平面 BEF 一个法向量,利用平面 BEF⊥平面 CDE,向量的数量积为 0,即可得出 结论. 解答: (I)证明:由 BC⊥CD,BC=CD=2,可得 . 由 EA⊥ED,且 EA=ED=2,可得 . 又 AB=4,所以 BD⊥AD. 又平面 EAD⊥平面 ABCD,平面 ADE∩平面 ABCD=AD,BD?平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 ADE.…(5 分) (II)解:建立 空间直角坐标系 D﹣xyz, 则 D(0,0,0) , , , , , , .

设 =(x,y,z)是平面 CDE 的一个法向量,则

令 x=1,则 =(1,1,﹣1) . 设直线 BE 与平面 CDE 所成的角为 α, 则 sinα= 所以 BE 和平面 CDE 所成的角的正弦值 (III)解:设 ,λ∈. . 则 . .…(10 分) , ,

设 = (x', y', z') 是平面 BEF 一个法向量, 则

令 x'=1,则 =(1,0,﹣

) . , .

若平面 BEF⊥平面 CDE,则 ? =0,即

所以,在线段 CE 上存在一点 F 使得平面 BEF⊥平面 CDE.…(14 分)

点评: 本题考查线面、面面垂直的判定,考查线面角,正确运用向量知识是关键.
2

20.已知椭圆

+y =1 的左、右焦点为 F1、F2,上顶点为 A,直线 AF1 交椭圆于 B.如图所

示沿 x 轴折起,使得平面 AF1F2⊥平面 BF1F2.点 O 为坐标原点. ( I ) 求三棱锥 A﹣F1F2B 的体积; (Ⅱ)图 2 中线段 BF2 上是否存在点 M,使得 AM⊥OB,若存在,请在图 1 中指出点 M 的坐 标;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)利用椭圆的标准方程及其性质、面面垂直的性质及三棱锥的体积计算公式即 可得出; (Ⅱ)利用线线垂直的斜率之间的关系、线面垂直的判定和性质定理即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)由 得 a =2,b =1,∴b=1,
2 2



∴上顶点 A(0,1) ,左焦点 F1(﹣1,0) ,右焦点 F2(1,0) . 直线 AF1:y=x+1,联立 消去 y 点得到 3x +4x=0,
2

解得 ∴B ∴ =

, . = .

∵平面 AF1F2⊥平面 BF1F2,平面 AF1F2∩平面 BF1F2=F1F2,AO⊥F1F2, ∴AO⊥平面 BF1F2.



=

=

= .

(Ⅱ)假设存在点 M,使得 AM⊥OB,由(Ⅰ)可知 AO⊥平面 BF1F2,∴AO⊥BO. 过点 O 作 OM⊥OB 交 BF2 于点 M,连接 AM.

∵kOB=

= ,∴kOM=﹣4,∴直线 OM 的方程为 y=﹣4x.

直线 BF2 的方程为

,化为



联立

,解得





,可知点 M 在线段 BF2 上,

由以上作法可知:BO⊥平面 AOM,∴BO⊥AM,满足条件. 因此图 2 中线段 BF2 上存在点 M,使得 AM⊥OB,图 1 中点 M 的坐标为 .

点评: 是掌握椭圆的标准方程及其性质、线面与面面垂直的判定和性质定理及三棱锥的体 积计算公式、线线垂直的斜率之间的关系是解题的关键.

21.已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=12;数列{bn}的前 n 项和是{Sn},且 Sn+ bn=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列; (3)记 cn= ,{cn}的前 n 项和为 Tn,若 Tn 对一切 n∈N 都成立,求最
*

小正整数 m.

考点: 数列与不等式的综合;等比数列的通项公式;等比关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由数列{an}是等差数列,a2=6,a5=12,利用等差数列的通项公式列出方程组, 求出它的首项和公差,由此能求出数列{an}的通项公式. (2)由数列{bn}的前 n 项和是{Sn},且 Sn+ bn=1,当 n=1 时,解得 ,由此能够证明{bn}是公比的等比数列. (3)由 bn= =2?( ) ,知 Cn=
n

.当 n≥2 时推导出

=

,由此利用裂项求和法

得到 Tn=1﹣

<1.由 Tn

对一切 n∈N 都成立,知

*

≥1.由此以能求出最

小正整数 m 的值. 解答: (1)解:∵数列{an}是等差数列,a2=6,a5=12, ∴ ,解得 a1=4,d=2,

∴an=4+2(n﹣1)=2n+2. (2)证明:∵数列{bn}的前 n 项和是{Sn},且 Sn+ bn=1, ∴当 n=1 时, 当 n≥2 时,∵Sn=1﹣ ∴Sn﹣Sn﹣1= ∴ = . ,解得 ,Sn﹣1=1﹣ ,即 . , ,

∴{bn}是以 为首项, 为公比的等比数列. (3)解:由(2)知,bn= ∴Cn= ∴Tn= =1﹣ ∵Tn ∴ <1. 对一切 n∈N 都成立, ≥1.∴m≥2012,
*

=2?( ) , = = ,

n

=

∴最小正整数 m 的值为 2012.

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查等比数列的证明,考查最小正整数的求法.解 题时要认真审题,仔细解答,注意构造法和裂项求和法的合理运用.

22. 如果两个椭圆的离心率相等, 那么就称这两个椭圆相似. 已知椭圆 C 与椭圆 相似,且椭圆 C 的一个短轴端点是抛物线 的焦点.

(Ⅰ)试求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设椭圆 E 的中心在原点,对称轴在坐标轴上,直线 l:y=kx+t(k≠0,t≠0)与椭圆 C 交 于 A,B 两点,且与椭圆 E 交于 H,K 两点.若线段 AB 与线段 HK 的中点重合,试判断椭圆 C 与椭圆 E 是否为相似椭圆?并证明你的判断. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)求出椭圆的离心率,抛物线的焦点坐标,设椭圆 C 的方程,即可求得椭圆的 几何量,从而可求椭圆 C 的标准方; (Ⅱ)解法一:椭圆 C 与椭圆 E 是相似椭圆.联立椭圆 C 和直线 l 的方程,利用韦达定理, 根据弦 AB 的中点与弦 HK 的中点重合, 建立方程, 从而可得椭圆 E 的离心率, 即可得到结论; 解法二:设椭圆 E 的方程,根据 A,B 在椭圆 C 上,设点的坐标,代入两式相减并恒等变形 得斜率,同理由 H,K 在椭圆 E 上,得斜率,利用弦 AB 的中点与弦 HK 的中点重合,建立方 程,从而可得椭圆 E 的离心率,即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,椭圆 1) .…(2 分) 设椭圆 C 的方程为 , 的离心率为 ,抛物线 的焦点为(0,

由题意,得:

,解得



∴椭圆 C 的标准方程为

.…(5 分)

(Ⅱ)解法一:椭圆 C 与椭圆 E 是相似椭圆.…(6 分)
2 2 2

联立椭圆 C 和直线 l 的方程,

,消去 y,得(1+2k )x +4ktx+2t ﹣8=0,…(7 分)

设 A,B 的横坐标分别为 x1,x2,则

.…(8 分)

设椭圆 E 的方程为

,…(9 分)

联立方程组

,消去 y,得(n +m k )x +2ktm x+m (t ﹣n )=0,

2

2 2

2

2

2

2

2

设 H,K 的横坐标分别为 x3,x4,则 ∵弦 AB 的中点与弦 HK 的中点重合,…(11 分) ∴x1+x2=x3+x4,∴
2

.…(10 分)

=
2



∵k≠0,t≠0,∴化简得 m =2n ,…(12 分) 求得椭圆 E 的离心率 ∴椭圆 C 与椭圆 E 是相似椭圆. 解法二:设椭圆 E 的方程为 y2) ,H(x3,y3) ,K(x4,y4) . ∵A,B 在椭圆 C 上, ∴ 且 ,两式相减并恒等变形得 .…(8 分) ,并设 A(x1,y1) ,B(x2, ,…(13 分)

由 H,K 在椭圆 E 上,仿前述方法可得
2 2

.…(11 分)

∵弦 AB 的中点与弦 HK 的中点重合,∴m =2n ,…(12 分) 求得椭圆 E 的离心率 ,…(13 分)

∴椭圆 C 与椭圆 E 是相似椭圆. 点评: 本题主 要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基 础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思 想等.


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