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江西省东乡一中、都昌一中、丰城中学等八校2016届高三数学下学期第二次联考试题 理(扫描版)


江西省东乡一中、 都昌一中、 丰城中学等八校 2016 届高三数学下学期第二次联 考试题 理(扫描版)

1

2

3

4

江西省八校联考理科数学参考答案 1 -12 13. ? DACDA BBBCD DC

2 4

14. [3,11] 15.

10 3

16. 3或1

17.解 : (Ⅰ)由 an?1 ? 1 ? an ? 1 ? 1 知数列
2

?

an ? 1 是公差为 1,首项为 2 的等差数列…2 分
…4 分

?

? an ? 1 ? n ? 1,? an ? ? n ? 1? ? 1
(Ⅱ )由(Ⅰ) 得 bn ? (?1)n (n ? 1)2 ? (?1)n ,

bn?1 ? bn ? (?1) n [(n ? 1) 2 ? n 2 ] ? (?1) n (2n ? 1) …6 分

n 为偶 数时, Tn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (bn?1 ? bn ) ? 5 ? 9 ? ? ? (2n ? 1)
? n( n ? 3) ……8 分 2

n 为奇数时, Tn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (bn?2 ? bn?1 ) ? bn
? 5 ? 9 ? …+ (2n ?1) ? (n ? 1) 2 ? 1

(n ? 1)(n ? 2) n 2 ? 3n ? 2 2 ? ? (n ? 1) ? 1 ? ? ……11 分 2 2

? n 2 ? 3n ? 2 ? ,n为奇数 ? ? 2 T ? 所以, n ? ……12 分 ? n(n ? 3) ,n为偶数 ? ? 2 1 1 CP BC ? 18.解:法一: (Ⅰ)当 t ? 时,得 PC ? ,在矩形 ABCD 中, ,则 AC ? PB 3 2 BC AB
又? PB ? AA , ? AC ? PB ,……3 分 1 ,? PB ? 平面AAC 1 1

? BC1 ? B1C ?? ,? BC1 ? 平面A1B1C ,故 BC1 ? AC 1 ? BC1 ? A1B1
则 AC ? 平面 PBC1 ……6 分 1 ( Ⅱ ) 过 C 作 CH ? BC1 交 BC1 于 H , 连 接 PH , P 1 2 H , ? BC1 ? 平面A 1B1C ,

? BC1 ? PH 1 , BC1 ? P 2 H , 则 ?PHP 1 2 就是所求二面角的一个平面角 ? ……9 分
∵ PC ? 1 , P2C ? 1

3 2 , CH ? ’? CD ? CH 2 2

在 Rt?PCH 中, tan ?P 1 HC ? 1

3 ,在 Rt?P 2CH 中, tan ?P 2 HC ? 2 ……10 分 2
5

tan ? ? tan(?P2 HC ? ?PHC )? 1

2 4 2 4 66 ,故 cos ? ? .……12 分 ? 8 33 33
z
D1
A1 B1

法二: (Ⅰ)建立如图空间直角坐标系 O ? xyz ,

3 B ?1,2,0? , C1 ?0,2,1? , A1 ?1,0,1? , C ?0,2,0? P(0, ,0) , 2

C1

AC ? ( ?1,2, ?1) , BC1 ? ( ?1,0,1) , 1
1 BP ? ( ?1, ? ,0) ,则 2
?

?

?

D A

P
B

C

y

? ? x ?A ? 1C ? BP ? 0 ,? AC ? 平面 PBC1 ……6 分 ? PB , BC ? AC ? ? ? 1 ,则 AC 1 1 ? ? A1C ? BC1 ? 0

(Ⅱ) P , P2 (0, , 0) , 1 (0,1,0)

??? ? ???? ? 3 ? ?BP ,0 ? 1 ? (?1, ?1,0) , ? BP 2 ? ? ?1, ?
? 2 ?
设平面 BC1P 1 与平面 BC1P 2 的法向量分别是 n1 , n2
? ? ?n ? ? 1? BP 1 ?0 n ,解得 ?? ? 1 ? (1, ?1,1) ? ?n1? BC1 ? 0

1 2

z
D1
A1 B1

C1

D A

P2 P1
B

C

y

x

? ? ? ? ?n ? n1? n2 4 2 4 66 ? 2 ? BP2 ? 0 由? ,解得 n2 ? (3, ?2,3) , cos ? ? ? ……12 分 ? ? ? ? ? 33 33 ? | n | ? | n | 1 2 ? n2 ? BC1 ? 0

50 ? 22 ? 12 ? 8 ? 8? 50 19.解:(Ⅰ )由表中数据得 K 的观测值 K ? ? ? 5.024 30 ? 20 ? 30 ? 20 9 所以根据统计有 97.5? 的把握认为视觉和空间能力与性别有关.………3 分
2
2

2

1 1 1 1 C8 C8 ? C22 C12 41 (Ⅱ) 记他们选做的题不同的事件为 A,? P( A) ? ……6 分 ? 1 1 C30C20 75

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C8 ? 56 种,
3

X 可能取值为 0,1, 2, 3 , P ? X ? 0? ?
P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ?
1 C52C3 15 ? , 56 28 1 2 C5 C3 15 ? , 56 56

3 C5 5 ? , ……7 分 56 28

………8 分

P ? X ? 3? ?
1 2

3 C3 1 ? 56 56

………10 分

X

0

3
6

X 的分布列

P

5 56

15 28

15 56

1 56

为:

? EX ? 0 ?

15 15 1 63 9 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 28 56 56 56 8

.………12 分

20.解: (1)椭圆的 上顶点为 ? 0, b ? ,则由

4b ? 1 3 ? 得b ? 1, 5 5

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 … …3 分 4

(2)设 A ? x1 , y1 ? , E ? m,0? (m ? 0, m ? ?2) , F ? 0, n ? 由 FA ? ?1 AE 得: ? x1, y1 ? n ? ? ?1 ? m ? x1, ? y1 ? ,所以 A ?

??? ?

??? ?

? ?1m n ? , ? ……5 分 ? 1 ? ?1 1 ? ?1 ?

同理由 FB ? ?2 BE 得 B ?

??? ?

??? ?

? ?2m n ? , ? ? 1 ? ?2 1 ? ?2 ?

把 A?

? ?1m ? ?2m x2 n ? n ? ? y 2 ? 1 得: , 分别代入 , B , ? ? ? 4 ? 1 ? ?1 1 ? ?1 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?2 ?

?? 4 ? m 2 ? ?12 ? 8?1 ? 4 ? 4n 2 ? 0 ? ……9 分 ? 2 2 2 4 ? m ? ? 8 ? ? 4 ? 4 n ? 0 ? ? ? 2 2 ?
2 2 2 即 ?1 , ?2 是关于 x 的方程 4 ? m x ? 8 x ? 4 ? 4n ? 0 的两个根,… …10 分

?

?

? ?1 ? ?2 ?

?8 ? ?8 4 ? m2

?m ? ? 3 ,所以直线 l 恒过定点 ? 3,0 ……12 分
21. 解:易知 x ? 1 ,因 G ' ? x ? ?

?

?

x ? ?1 ? a ?

? x ? 1?

2

,……2 分

' 当 a ? 0 时, G ? x ? ? 0 ,故 G ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是增加的;……3 分 ' 当 a ? 0 时, x ? ?1,1 ? a ? 时 , G ? x ? ? 0 此时 G ? x ? 是减少的;……4 分 ' 当 x ? ?1 ? a, ??? 时, G ? x ? ? 0 ,此时 G ? x ? 是增加 的

……5 分

2)易得: an?1 ? ln ? an ? 1? 先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 ,易知 n ? 1 时, 0 ? an ? 1 成立,
7

* 假设 n ? k k ? N 时, 0 ? ak ? 1 成立,则 0 ? ln ? ak ? 1? ? ln2 ? 1 则 0 ? ak ?1 ? 1,

?

?

* 故 n ? k ? 1 时, 0 ? an ? 1 也成立,综上知 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立……8 分

x?2 在 ? 2, ??? 上是增加的,又因 G ? 2? ? 0 , x ?1 x?2 n * 故对任意 x ? 2 恒有 ln ? x ? 1? ? ,即任意 n ? N 恒有 ln ? n ? 1? ? x ?1 n ?1
由 1)知当 a ? 1 时, G ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln ? x ? 1? ? 由 an?1 ? ln ? an ? 1? 和 ln ? an ? 1? ?

an an ? 1

,得

1 1 1 1 ? ? 1,即 ? ? 1 ,……10 分 an ?1 an an ?1 an

故 n ? 1 时,有

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? n ? 1 ,所以 ? n,? an ? a2 a1 a3 a2 an an?1 an n
1 n
……12 分

n ? 1 时, an ? 1 ,? an ?


1 ? an ? 1 成立 n

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题号. 22. 证明: (1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

PN NA ? , BN PN 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP . ………5 分
2 2 ∴ MN ? PN ? NA ? NB , ∴

M N P C O A D B

(2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. ………10 分 23.解析: (1)由极直互化公式得:

C : x2 ? ( y ? 2)2 ? 4

l : x ? y ? 4 ? 0 ………4 分

联立方程解得交点坐标为 (0,4), (2,2) ………5 分 (2)由(1)知: P(0,2) , Q(1,3) 所以直线 PQ : y ? x ? 2 , 化直线 PQ 的参数方程为普通方程: y ?

4 4m x? ?2, n n

8

4 ? ?1 ? ? n 对 比系数得: ? , m ? ?4, n ? 4 ………10 分 ? ?2 ? 4 m ? 2 ? n ?
24 .解; (Ⅰ)由 3x ? | ?2 x ? 1|? a 得: 2 x ? 1 ? 3x ? a ,

??3x ? a ? 2 x ? 1 ? 3x ? a

a ?1 ? ?x ? 得: ? 5 ,故 a ? 3 ……5 分 ? ?x ? a ?1
(Ⅱ)由已知得, | x ? a |? x ? 1 ? 0 , ( x ? a) 2 ? ( x ? 1) 2 … …6 分

(a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 ,
a ? 1 时, (a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 恒成立……7 分
a ? 1 时,由 (a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 得, a ? 2 x ? 1 ,从而 a ? 3 ……8 分

a ? 1 时,由 (a ? 1)(a ? 2 x ? 1) ? 0 得, a ? 2 x ? 1 ,从而 a ? 1 ……9 分
综上所述, a 的取值范围为 (?? , 1] ? [3 , ? ?) ……10 分

9

10



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