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江苏2014立体几何高考专题复习学案


立体几何专题复习
高考动态 ............................................................................................................................................ 2 复习建议 ........................

.................................................................................................................... 2 专题一:立体几何中的概念和计算 ................................................................................................ 3 考点一:立体几何中的概念 ............................................................................................................................. 3 考点 1.1:空间几何体的结构特征 ........................................................................................................... 3 考点 1.2:点共线、点共面、线共面........................................................................................................ 5 考点 1.3:异面直线及其判定 ................................................................................................................... 7 考点二:立体几何中的计算 ............................................................................................................................. 9 考点 2.1:几何体的表面积和体积 ........................................................................................................... 9 考点 2.2:外接球与内切球 ..................................................................................................................... 12 考点 2.3:异面直线所成的角 ................................................................................................................. 14 考点 2.4:线面之间的夹角 ..................................................................................................................... 16 考点 2.5:点到平面之间的距离 ............................................................................................................. 18 专题二:立体几何证明 .................................................................................................................. 21 考点一:空间中的平行关系 ........................................................................................................................... 21 考点 1.1:直线与平面平行判定 ............................................................................................................. 21 考点 1.2:平面与平面平行判定 ............................................................................................................. 25 考点二:空间中的垂直关系 ........................................................................................................................... 27 考点 2.1:直线与直线、平面垂直判定.................................................................................................. 27 考点 2.2:平面与平面垂直判定 ............................................................................................................. 33

高考动态
题号 8 2013 16 7 2012 16 2011 2010 16 16 8 2009 12 16 24(15%) 14(8.75%) 14(8.75%) 19(11.9%) 面面垂直 + 线面平行 线面平行 + 面面垂直 线线垂直 + 点到平面的距离 三棱锥的体积(类比推理) 线、面位置关系的判定(命题) 线面平行 + 面面垂直 19(11.9%) 面面平行 + 线线垂直 四棱锥的体积 分值及比例 三棱锥和三棱柱的体积 考点

从分值上来看,高考中立体几何部分所占分值介于 14-24 分之间,总占比 8.75%-15%; 从题型上来看,填空题不固定,但解答题第 16 题都是立体几何的证明题; 解读 与 预测 从考点上来看,填空题部分主要考察的是立体几何中的概念和计算,解答题中主要考察线 线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直中的两个; 结合近五年的高考动态,预计 2014 年高考中立体几何将会有一道填空题、一道解答题,总 分值 19,占比 11.9%;填空题的考点为棱锥体积的计算,解答题的考点为线面平行+面面垂直的 证明。

复习建议

根据五年来高考中立体几何的考察形式和预测,给出复习建议如下: (1)重视立体几何中基本概念的理解; (2)加强立体几何中体积的计算; (3)重视线面、面面平行和垂直的证明方法的总结与归纳; (4)重视证明题中证明格式的规范书写。

专题一:立体几何中的概念和计算
考点一:立体几何中的概念
柱、锥、台、球的定义与性质是基础,以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点,以上考点 以填空题出现,难度不大. 2,2

考点 1.1:空间几何体的结构特征
【例 1】 给出下列四个命题: ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 ④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正确的命题为________. 【解析】 对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错;对于②,对等腰三角形的腰是否

为侧棱未作说明(如图),故②错;对于③,若底面不是矩形,则③错;④正确. 【答案】 ①②③ 【点评与小结】 解决该类题目需准确理解几何体的定义,要真正把握几何体的结构特征,并且学会通过反 例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,设法举出一个反例即可. 【例 2】以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数是________. 【解析】命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥.命题②题,因这条腰必须是垂直 于两底的腰.命题③对.命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行. 【答案】 1 【备选例题与习题】 1、设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体;

④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是________. 【解析】命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的.底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面 不垂直,故命题②是错误的.因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的.命题④由棱 台的定义知是正确的. 【答案】 ①④ 2.在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的四个顶点,这些几何形体是________(写 出所有正确结论的编号). ①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体. 【解析】①显然可能;②不可能;③取一个顶点处的三条棱,连接各棱端点构成的四面 体;④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体;⑤正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,三棱锥 D1-DBC 满足条件. 【答案】①③④⑤

考点 1.2:点共线、点共面、线共面
【例 1】如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. 【解析】(1)如图,连接 EF,CD1,A1B. ∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA,∴CE、D1F、DA 三线共点. 【点评与小结】要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用平面的基本性 质 2,即证点在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在此直线上. 【例 2】如图,M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列四个命题: ①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都平行.其中真命题是________.(填写序号) 【解析】①采用反证法:若不能作一条线,则两相交线确定一平面,从而证明 AB,B1C1 共面与它们异面矛 盾,从而假设不正确,①正确,②④也是同样的方法. 【答案】①②④ 【备选例题与习题】 1、l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,给出下列四个命题: ①l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3; ②l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3; ③l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面;

2,2

④l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面. 其中正确命题的序号是________. 【解析】在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故①错;两平行线中的一条垂直于第三条直 线,则另一条也垂直于第三条直线,②正确;相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故 ③错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故④错. 【答案】② 2、如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 分别为 FA、FD 的中点. (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 【解析】(1)证明 由已知 FG=GA,FH=HD, 可得 GH 1 AD.又 BC 2 1 AD,∴GH 2 BC, 1 AD,BE 2 1 FA,G、H 2

∴四边形 BCHG 为平行四边形. (2)解 法一 由 BE 1 AF,G 为 FA 中点知,BE 2 FG,

∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面.

又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面.

法二如图所示,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, ∵BE ∵BC 1 AF,∴B 为 MA 中点. 2 1 AD,∴B 为 M′A 中点, 2

∴M 与 M′重合,即 FE 与 DC 交于点 M(M′),∴C、D、F、E 四点共面

考点 1.3:异面直线及其判定
【例 1】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 【解析】(1)不是异面直线.理由如下: 连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点, ∴MN∥A1C1. 又∵A1A C1C,

2,2

∴A1ACC1 为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体, ∴B、C、C1、D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α,使 D1B?平面 α,CC1?平面 α, ∴D1,B、C、C1∈α,与 ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线. 【点评与小结】证明两直线为异面直线的方法: (1)定义法(不易操作). (2)反证法: 先假设两条直线不是异面直线, 即两直线平行或相交,由假设的条件出发, 经过严密的推理, 导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. 【例 2】 如图,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的 图形有________(填上所有正确答案的序号).

【解析】图(1)中,直线 GH∥MN; 图(2)中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面; 图(3)中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图(4)中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN,

因此直线 GH 与 MN 异面.所以图(2)、(4)中直线 GH 与 MN 异面. 【答案】(2)、(4) 【备选例题与习题】 1、若 P 是两条异面直线 l,m 外的任意一点,则给出四个命题: ①过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行; ②过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直; ③过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交; ④过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面; 上述命题中正确的是________(填序号). 【解析】对于①,若过点 P 有直线 n 与 l,m 都平行,则 l∥m,这与 l,m 异面矛盾. 对于②,过点 P 与 l、m 都垂直的直线,即过 P 且与 l、m 的公垂线段平行的那一条直线. 对于③,过点 P 与 l、m 都相交的直线有一条或零条. 对于④,过点 P 与 l、m 都异面的直线可能有无数条. 【答案】② 2、在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB1,BC1 的中点,则以下结论:①EF 与 CC1 垂直;②EF 与 BD 垂直;③EF 与 A1C1 异面;④EF 与 AD1 异面,其中不成立的序号是________. 【解析】连结 A1B,在△A1BC1 中,EF∥A1C1,所以①,②,④正确,③错. 【答案】③

考点二:立体几何中的计算
简单几何体的表面积和体积多以常见几何体考查,主要考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能 力.在近几年的高考题中频繁出现.

考点 2.1:几何体的表面积和体积
【例 1】如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径, ∠ABD=60° ,∠BDC=45° ,△ADP ∽△BAD. (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11R,求三棱锥 P-ABC 的体积. 【解析】(1)∵BD 是圆的直径,∴∠BAD=90° , AD DP 又∵△ADP∽△BAD,∴ = , BA AD 3 4R2× 4 AD2 ?BDsin 60° ?2 DP= = = =3R.∴DP 的长为 3R. BA BDsin 30° 1 2R× 2 (2)在 Rt△BCD 中,CD=BDcos 45° = 2R, ∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2,∴PD⊥CD, 又∠PDA=90° ,AD∩CD=D,∴PD⊥底面 ABCD, 1 则 S△ABC= AB· BCsin(60° +45° ) 2 3+1 2 1 3 2 1 2 = R· 2R? × + × ?= R. 2 4 ?2 2 2 2? 所以三棱锥 P-ABC 的体积为 3+1 3 1 1 3+1 2 VP-ABC= · S△ABC· PD= · R· 3R = R. 3 3 4 4 【点评与小结】求几何体的体积问题,可以多角度、全方位地考虑问题,常采用的方法有“换底法”、“分割 法”、“补体法”等,尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视. 3 【例 2】一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm,高是 cm. 2 (1)求三棱台的斜高; (2)求三棱台的侧面积和表面积. 3 【解析】 (1)设 O1、O 分别为正三棱台 ABC-A1B1C1 的上、下底面正三角形的中心,如图所示,则 O1O= , 2 3 过 O1 作 O1D1⊥B1C1,OD⊥BC,则 D1D 为三棱台的斜高;过 D1 作 D1E⊥AD 于 E,则 D1E=O1O= , 2

2,5

因 O1D1=

3 3 3 × 3= ,OD= × 6= 3, 6 2 6 3 3 = .在 Rt△D1DE 中, 2 2

则 DE=OD-O1D1= 3- D1D= D1E2+ED2=

?3?2+? 3?2= 3(cm). ?2? ? 2 ?

(2)设 c、c′分别为上、下底的周长,h′为斜高, 1 1 27 3 S 侧= (c+c′)h′= (3× 3+3× 6)× 3= (cm2), 2 2 2 27 3 3 2 3 2 99 3 27 3 S 表=S 侧+S 上+S 下= + × 3+ × 6= (cm2).故三棱台斜高为 3 cm,侧面积为 cm2,表 2 4 4 4 2 99 3 面积为 cm2. 4 【备选例题与习题】 1、如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是 AB,AC,AA 1 的中点,设三 棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 , 三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V2 , 则 V1 : V2 ? 【解析】三棱锥 F ? ADE 与三棱锥 A1 ? ABC 的相似比为 1:2,故体积之比为 1:8. 又因三棱锥 A1 ? ABC 与三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积之比为 1 : 3 .所以,三棱锥 .

C1 B1

A1
F
E

C
B A

F ? ADE 与三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积之比为 1:24.
2、 如图, 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? AD ? 3cm ,AA1 ? 2cm , 则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm3.

D

【解析】∵长方体底面 ABCD 是正方形,∴△ ABD 中 BD =3 2 cm, BD 边上的高是

3 2 cm(它也是 2

A ? BB1D1D 中 BB1D1D 上的高) 。
∴四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ? 3 2 ? 2 ?

1 3

3 2=6 。 2

3、在三棱锥 S-ABC 中,面 SAB,SBC,SAC 都是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形,且 AB=BC=CA=2,

则三棱锥 S-ABC 的表面积是________. 1 2 3 2 【解析】设侧棱长为 a,则 2a=2,a= 2,侧面积为 3× × a =3,底面积为 × 2 = 3,表面积为 3+ 3. 2 4 4、如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则 该多面体的体积是________. 【解析】由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为 1,侧棱长为 1,斜高为 接顶点和底面中心即为高,可求得高为 2 1 2 2 ,所以体积 V= × 1× 1× = . 2 3 2 6 3 ,连 2

5、 某四面体的六条棱中, 有五条棱长都等于 a, 则该四面体体积的最大值为________. 【解析】如图所示,在四面体 ABCD 中,若 AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x, 取 AD 的中点 P,BC 的中点 E, 连结 BP,EP,CP,易证 AD⊥平面 BPC,所以 1 1 1 VA-BCD= S△BPC· AD= × × a× 3 3 2 x2 a2 a2- - · x 4 4

3a2 1 1 9a4 1 3 x2- ?2+ ≤ a3,当且仅当 x2= a2,即 = a· ? 3 a2-x2?x2= a· -? 2 ? ? 12 12 4 8 2 x= 6 a 时取等号. 2

考点 2.2:外接球与内切球
【例 1】 (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ________. (2)已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱锥 D-ABC 的 外接球的表面积等于________.

2,2

【解析】(1)由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为 a. 如图,设 O,O1 分别为下、上底面中心,且球心 O2 为 O1O 的中点,又 AD= 1 2 1 2 7 2 设球的半径为 R,则 R2=AO2 a. 2= a + a = 3 4 12 7 7 所以 S 球=4πR2=4π× a2= πa2. 12 3 (2)由题意知:当矩形为正方形时,其周长最小,其正方形边长为 2 2,折起后,三棱锥 D-ABC 的外接 球的半径为正方形对角线的一半,即 R=2,所以表面积为 16π. 7π 【答案】 (1) a2 3 (2)16π 3 3 a a,AO= a,OO2= , 2 3 2

【点评与小结】 解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数 量关系, 选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、 几何体的各种元素以及体现这些元素之 间的关系),达到空间问题平面化的目的. 【例 2】 (1)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为________. (2)设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45° 角的平面截球 O 的表面得到圆 C,若圆 C 7π 的面积等于 ,则球 O 的表面积等于________. 4 【解析】(1)设△ABC 外接圆的圆心为 O1, 则|OO1|= OC2-O1C2= 1 6 1- = . 3 3 2 6 . 3

三棱锥 S-ABC 的高为 2|OO1|=

1 3 2 6 2 所以三棱锥 S-ABC 的体积 V= × × = . 3 4 3 6

R (2)如图,设 O′为截面圆的圆心,设球的半径为 R,则 OM= ,又∠O′MO=45° , 2 ∴OO′= 2 R. 4

在 Rt△O′OB 中,OB2=O′O2+O′B2, R2 7 ∴R2= + ,∴R2=2,∴S 球=4πR2=8π. 8 4 2 (2)8π 6 【备选例题与习题】 【答案】(1) 1.已知点 P,A,B,C 是球 O 表面上的四个点,且 PA、PB、PC 两两成 60° 角,PA=PB=PC=1 cm,则 球的表面积为________cm2. 【解析】如图,取 AB 的中点 M,连接 PM、CM,过 P 作棱锥的高 PN,则垂足 N 必 在 CM 上, 连接 AN.棱锥的四个侧面都是边长为 1 的正三角形, 故可得 CM=PM= 3 , 2

2 3 6 3 从而 CN= CM= ,在 Rt△PCN 中,可求得 PN= ,连接 AO,则 AN=CN= , 3 3 3 3 设 AO=PO=R,则在 Rt△OAN 中,有 R2=? 3π 面积 S=4πR2= (cm2). 2 3 【答案】 π 2 2.已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球面上.若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球 心到截面 ABC 的距离为________. 6 ?2+? 3?2,解得 R= 6.∴球的表 4 ? 3 -R? ? 3 ?

【解析】如图所示:将正三棱锥内接于正方体中. 球心为正方体的对角线的交点 O,则(2R)2=PA2+PB2+PC2, ∵PA=PB=PC,R= 3,∴PA=2. 设 PO 与平面 ABC 交于 H 点,正方体中 PO⊥平面 ABC,利用等体积可求 PH= 则 OH 为球心到平面 ABC 的距离,OH=PO-PH. 2 3 ∵PO= 3,PH= 3,∴OH= . 3 3 【答案】 3 3 2 3. 3

考点 2.3:异面直线所成的角 【例 1】如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=60° ,PA=AB=AC=2,E 是 PC 的中点. (1)求异面直线 AE 和 PB 所成的角的余弦值; (2)求三棱锥 A-EBC 的体积. 【解析】(1)取 BC 的中点 F,连结 EF,AF,则 EF∥PB,所以∠AEF 就是异面直线 AE 和 PB 所成角或其补角. ∵∠BAC=60° ,PA=AB=AC=2, PA⊥平面 ABC, ∴AF= 3,AE= 2,EF= 2, 2+2-3 1 cos∠AEF= = . 2× 2× 2 4 1 1 3 3 (2)因为 E 是 PC 中点,所以 E 到平面 ABC 的距离为 PA=1,VA-EBC=VE-ABC= × × 4× 1= . 2 3 4 3 【点评与小结】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平 行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角 形中进行. 【例 2】 已知 A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点,

2,2

(1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. 【解析】(1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共 面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面 直线. (2)解 取 CD 的中点 G,连接 EG、FG, 则 EG∥BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成的角, 即为异面直线 EF 与 BD 所成的角. 1 在 Rt△EGF 中,由 EG=FG= AC,求得∠FEG=45° ,即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45° . 2 【备选例题与习题】 1、如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线;

③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 【解析】还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线,GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN. 【答案】②③④ 2、如图(1),在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,AC=BC=4,D 是 AB 的中点,E 是 AC 的中点,现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B,如图(2).

(1)求异面直线 AB 与 DE 所成的角; (2)若 M、N 分别为棱 AC、BC 上的动点,求△DMN 周长的平方的最小值. 【解析】(1)如图,取 BC 的中点 F,连结 EF、DF,则 AB∥EF,AB 与 DE 所成的角即为 EF 与 DE 所成的 角. ∵AD=BD=2 2,∠ADB=90° , ∴AB=4.∴EF=2. 又∵DE=DF=2, ∴异面直线 AB 与 DE 所成的角为 60° . (2)如图是以 C 为顶点沿 CD 展开的侧面展开图,依题意即求 DD1 的长. ∵∠ACD=∠BCD1=45° ,AC=BC=AB, ∴∠ACB=60° .
2 2 ∴∠DCD1=150° ,CD=CD1=2 2.∴DD2 2 2× 2 2· cos 150° =16+8 3. 1=(2 2) +(2 2) -2×

考点 2.4:线面之间的夹角
【例 1】如图,二面角 α-l-β 的大小是 60° ,线段 AB?α,B∈l,AB 与 l 所成的角为 30° ,则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是________. 2,3

【解析】如图,过点 A 作 AO⊥平面 β 于点 O,作 OC⊥l 于点 C,连接 AC,则 AC⊥l,∠ACO 为平面 α 与 平面 β 所成二面角的平面角,且∠ACO=60° ,则 AC= AO 3 AC ,AO= AC,在 Rt△ACB 中,AB= = sin 60° 2 sin 30°

AO 3 2AC,在 Rt△ABO 中,AB 与平面 β 所成的角∠ABO 的正弦值 sin∠ABO= = . AB 4 【例 2】已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是∠A=60° 、边长为 a 的菱形,又 PD⊥底 ABCD,且 PD=CD, 点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点. (1)证明:DN∥平面 PMB; (2)证明:平面 PMB⊥平面 PAD; (3)求直线 PB 与平面 BD 的夹角.

【备选例题与习题】 1. 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA⊥底面 ABCD 且 PA = 4,则 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 【答案】 2 2、已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦值等于 ________. 【解析】 (1)方法一 取 A1C1 的中点 E,连接 AE,B1E,如图. .

由题意知 B1E⊥平面 ACC1A1, 则∠B1AE 为 AB1 与侧面 ACC1A1 所成的角. 设正三棱柱侧棱长与底面边长为 1, 3 B1E 2 6 则 sin∠B1AE= = = AB1 2 4 3、已知四面体 ABCD 的六条棱长都是 1,则直线 AD 与平面 ABC 的夹角的余弦值为

考点 2.5:点到平面之间的距离
【例 1】已知直二面角 α-l-β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足.则 AB=2,AC= BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于________. 【解析】如图,连接 BC,AD,AB,∵AC⊥l,∴AC⊥β,∴AC⊥BC, ∴BC= 3,CD= 2. 设 D 到平面 ABC 的距离为 h,∵VA-BDC=VD-ABC, 1 1 1 1 6 ∴ × 1× × 1× 2= × × 3× 1× h,∴h= . 3 2 3 2 3 【例 2】 如图, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, △ABE 为等腰三角形, AE=BE, 平面 ABCD⊥平面 ABE, 点 F 在 CE 上,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)证明:平面 ADE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求点 D 到平面 ACE 的距离.

2,2

【备选例题与习题】

1、正方形 ABCD 的边长为 a,MA⊥平面 ABCD,且 MA=a,试求: (1)点 M 到 BD 的距离; (2)AD 到平面 MBC 的距离.

2、如图,ABCD 是边长为 1 的正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥DE,DE=2AF. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDE; (Ⅱ)求点 F 到平面 BDE 的距离



专题二:立体几何证明
立体几何证明部分主要包括:直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直 的判定和性质,以及综合运用。在高考中主要出现在大题中,形式为证明题,运用平行及垂直的性质及定 理。

考点一:空间中的平行关系 考点 1.1:直线与平面平行判定

3,3

利用直线与平面平行的判定定理,找到平行直线,或者利用平面与平面平行的性质,证明直线与平面 平行,注意解题步骤。 方法总结:中位线、平行四边形、平面与平面平行性质 【例 1】如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等边三角形,棱

1 EF // BC ,证明 FO//平面 CDE; ?2
【解析】证明:取 CD 中点 M,连结 OM, 在矩形 ABCD 中 OM //

1 BC ?2

又 EF //

1 BC ,则 EF // OM ?2 ?

连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形 ∴FO//EM 又∵FO ? 平面 CDE,且 EM ? 平面 CDE ∴FO//平面 CDE 【点评与小结】 (1)本题主要考查直线与平面平行的判定定理; (2)利用三角形中位线定理是证明线面平行的重要方法之一; (3)当题目中出现等腰三角形时,作其底边中线是常见的辅助线做法。 【例 2】如图,正方形 ABCD 与等边三角形 ABE 所的平面互相 是 DE、AB 的中点。证明:MN∥平面 BCE; 垂直,M、 N 分别

【解析】证明:取 AE 的中点 P ,连结 MP 、 NP 由题意可得: MP ∥ AD ∥ BC ,

平 BCE , BC ? 平 又∵ MP ? 平面 平面 BCE
? MP ∥平面 BCE ∴
同理可证 NP ∥平面 BCE ∵ MP ? NP ? P ∴平面 MNP ∥平面 BCE ,又 MN ? 平面MNP ,

D M A P E O

C

N

B

? MN ∥平面 BCE ∴
【点评与小结】 (1)本题主要考查两个平面平行的判定和性质定理;

(2)利用面面平行的性质是证明线面平行的又一方法;当在已知的平面内不易找到与已知直线平行的直线 时,常用该方法; 【例 3】正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB , 在 AE 、

Q, P ? D Q 且A BD 上各有一点 P 、

PQ / / 平面 BCE , 求证:
AB交BC

【解析】证法一:如图(1),作PM∥AB交BE于M,作QN∥ 于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ ∴PE=QB 又∵PM∥AB∥QN, ∴ ∴
PM PE QN BQ , ? ? AB AE DC BD

PM QN . ? AB DC

∴PM∥QN 即四边形PMNQ为平行四边形. ∴PQ∥MN. 又∵MN ? 面BCE,PQ ? 面BCE ∴PQ∥面BCE. 证法二:如图 (2),连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K,连结EK ∵AD∥BC



DQ AQ ? . QB QK

又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB,且AP=DQ, ∴
AQ AP ? QK PE

则PQ∥EK ∴EK ? 面BCE,PQ ? 面BCE ∴PQ∥面BCE. 【点评与小结】证明直线和平面平行的方法有:①利用定义采用反证法;②判定定理;③利用面面平行, 证线面平行.其中主要方法是②、③两法,在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线。 备选例题与习题: 1.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,点 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,点 F 在 AC1 上,且 AC1=4AF,求证:平面 ADF⊥平面 BCC1B1; 【解析】连结 CF 延长交 AA1 于点 G,连结 GB. 因为 AC1=4AF,AA1//CC1 所以 CF=3FG, 又因为 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点 所以 CE=3EB, 所以 EF//GB, 而 EF?平面 ABBA1,GB ?平面 ABBA1, 所以 EF //平面 ABBA1 A B E D A G F C B E D A1 B1 C1 F C A1 B1 C1

2 .如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C 1 D1 中,已知平面 AA1 C 1 C ? 平面 ABCD , 且 AB ? BC ? CA ? 3 ,
AD ? CD ? 1 ,若 E 为棱 BC 的中点,求证: AE // 平面 DCC 1 D1 .

【解析】在三角形 ABC 中,因为 AB ? AC 且 E 为 BC 中点,所以 AE ? BC , 又因为在四边形 ABCD 中
D1 A1 C1

B1

AB ? BC ? CA ? 3 , DA ? DC ? 1 ,
所以 ?ACB ? 60? , ?ACD ? 30? 所以 DC ? BC 所以 AE ? DC ,

D A B
C

E

因为 DC ? 平面 DCC1 D1 , AE ? 平面 DCC1 D1 所以 AE ? 平面 DCC1 D1 3 .如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , AC ? BD 于 O ,设 E 为线段 PC 上一点,若

AC ? BE ,求证: PA // 平面 BED
【解析】? AC ? BE , AC ? BD , BE 和 BD 为平面 BED 内 两相交直线

? AC ? 平面 BED ,
连接 EO ,? EO ? 平面 BED

? AC ? EO ,
? PA ⊥平面 ABCD ,? AC ? 平面 ABCD

? AC ? PA ,
又 AC , PA, EO 共面

? EO // PA ,
又? PA ? 平面 BED , EO ? 平面 BED

? PA // 平面 BED

考点 1.2:平面与平面平行判定

1,1

利用平面与平面平行的判定定理,找到两组相交的平行线,注意步骤。 【例 1 】如图,在三棱锥 P-ABC 中, PA=3 , AC=AB=4 , PB=PC=BC=5,D、E 分别是 BC、AC 的中点,F 为 PC 上的 PF:FC=3:1, 试在 PC 上确定一点 G, 使平面 ABG∥平面 DEF; 【解析】如图所示取 PC 的中点 G,连结 AG,BG, ∵PF:FC=3:1 ∴F 为 GC 的中点 又 D、E 分别为 BC、AC 的中点 ∴AG∥EF,BG∥FD 又 AG∩GB=G,EF∩FD=F ∴面 ABG∥面 DEF 即 PC 上的中点 G 为所求的点. 【点评与小结】 (1)本题主要考查平面与平面平行的判定定理;直线与平面垂直的判定与性质; (2)构造三角形的中位线是证明平行问题的重要方法,本题将面面平行问题转化为线线平行问题也体现了 数学中的化归思想; (3)本题属于结论开放型问题,有一定的灵活性,作题时应注意特殊点的选取。 备选例题与习题: ⌒ 1. 如图, 已知 BC 是半径为 1 的半圆 O 的直径, A 是半圆周上不同于 B, C 的点, F 为AC的中点. 梯形 ACDE 中,DE∥AC,且 AC=2DE,平面 ACDE⊥平面 ABC.求证: (1)平面 ABE⊥平面 ACDE; (2)平面 OFD∥平面 BAE. 【解析】 (1)因为平面 ACDE⊥平面 ABC,平面 ACDE∩平面 ABC 所以 AB⊥平面 ACDE. 因为 AB?平面 ABE, 所以平面 ABE⊥平面 ACDE. (2)设线段 AC 与 OF 交于点 M,连结 MD.
C O B A F D E

P

一点, 且

A E

F D C

B

⌒ 因为 F 为AC的中点 所以 OF⊥AC,M 为 AC 的中点. 因为 AB⊥AC,OF⊥AC 所以 OF∥AB. 又 OF ? 平面 BAE,AB?平面 ABE, 所以 OF∥平面 BAE. 因为 M 为 AC 的中点,且 DE∥AC,AC=2DE, 所以 DE∥AM,且 DE=AM. 所以四边形 AMDE 为平行四边形 所以 DM∥AE. 又 DM ? 平面 BAE,AE?平面 ABE, 所以 DM∥平面 BAE. 又 OF∥平面 BAE,MD∩OF=M,MD?平面 OFD,OF?平面 OFD, 所以平面 OFD∥平面 BAE.
C A F M O B D E

考点二:空间中的垂直关系 考点 2.1 直线与直线、平面垂直判定
3,3

利用直线与平面垂直的判定定理,在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直,证明直线与平面垂直; 直线与直线的垂直则利用直线与平面垂直的性质定理。 方法总结:直线与平面垂直性质(题目中给出正棱柱、直棱柱或直线与平面垂直条件) 勾股定理(题目中给出数量关系或者线段长度等条件) 等腰三角形、等边三角形(角平分线、中线、高线三线合一) 圆(直径所对的圆周角是直角) 正方形(对角线互相垂直、边垂直) 菱形(对角线互相垂直)等 【例 1】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC, E 是 PC 的中点. (1)证明 CD⊥AE; (2)证明 PD⊥平面 ABE; 【解析】 (1)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中, 因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD 故 PA ? CD .

P E A B
C

D

∵ AC ? CD,PA ? AC ? A
∴ CD ? 平面 PAC
而 AE ? 平面 PAC

∴ CD ? AE .
(2)证明:由 PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60° ,可得 AC ? PA .

∵ E 是 PC 的中点
∴ AE ? PC .
由(1)知, AE ? CD ,且 PC ? CD ? C 所以 AE ? 平面 PCD . 而 PD ? 平面 PCD

∴ AE ? PD .

∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB ? AD
∴ AB ? PD .
又∵ AB ? AE ? A 综上得 PD ? 平面 ABE . 【点评与小结】 (1)本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推 理论证能力; (2)要灵活掌握线线垂直与线面垂直的相互转化关系 【例 2】如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在 的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (3) 设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积分 别为

VF ? ABCD , VF ?CBE ,求 VF ? ABCD : VF ?CBE .
【解析】 (1)证明:? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB

C

? CB ? 平面 ABEF
? AF ? 平面 ABEF
D M
E

? AF ? CB
又? AB 为圆 O 的直径

B
O

? AF ? BF ? AF ? 平面 CBF
(2)设 DF 的中点为 N ,则 MN //

A

F

1 1 CD ,又 AO // CD 2 2

则 MN // AO , MNAO 为平行四边形

? OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF ? OM // 平面 DAF
(3)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,? 平面 ABCD ? 平面 ABEF

? FG ? 平面 ABCD

?VF ? ABCD ?

1 2 S ABCD ? FG ? FG 3 3 1 1 1 1 S ?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG , 3 3 2 6

? CB ? 平面 ABEF

?VF ?CBE ? VC ? BFE ?

?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 : 1
【点评与小结】 (1)本题考查面面垂直的性质; (2)利用面面垂直是证明线面垂直的又一方法,注意该定理的使用条件; (2)要灵活掌握线面垂直与面面垂直的相互转化关系. 【例 3】在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC=∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2.求证:PC⊥ AE 【解析】在 Rt△ ABC 中,AB=1,∠BAC=60° ∴BC= 3 ,AC=2.取 PC 中点 F ,连 AF , PF ,则 ∵PA=AC=2 ∴PC⊥ AF ∵PA⊥平面 ABCD, CD ? 平面 ABCD, ∴PA⊥ CD ,又∠ACD=90° ,即 CD ? AC ∴ CD ? 平面PAC ∴ CD ? PC ∴ EF ? PC ∴ PC ? 平面AEF ∴PC⊥ AE 【点评与小结】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定 与性质以及三棱锥的体积计算等基础知识,考查空间相象能力与逻辑推理的能力. 备选例题与习题: 1. 在如图的多面体中,EF ⊥平面 AEB ,AE ? EB ,AD // EF ,EF // BC ,BC ? 2 AD ? 4 ,EF ? 3 ,

P

E A

B

D

C

AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点.

(1) 求证: AB // 平面 DEG ; (2) 求证: BD ? EG ; 【解析】(1)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点
B

A

D

E

F

G

C

∴ AD/ /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形 ∴ AB / / DG ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG (2)证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB ,
B

A

D

E

H
G

F

C



EF ? AE ,
又 AE ? EB, EB ? EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE ∴ AE ? 平面 BCFE 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE ∵ EG ? 平面 BCFE ∴ DH ? EG ∵ AD / / EF , DH / / AE ∴四边形 AEHD 平行四边形 ∴ EH ? AD ? 2 ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG, EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形 ∴ BH ? EG 又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD ∴ EG ⊥平面 BHD ∵ BD ? 平面 BHD ∴ BD ? EG

2.如图,面 ABEF⊥面 ABCD,四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC ∥ AD,BE∥ AF,G、H 分别是 FA、FD 的中点。 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE. 【解析】 (1)由题意知, FG ? GA, FH ? HD , G E A B C D H F
1 2
1 2

1 1 所以 GH / / AD ,又 BC / / AD 2 2
故 GH / / BC 所以四边形 BCHG 是平行四边形。
0 (2)连结 EC ,由 AB ? BE , BE / / AG 及 ?BAG ? 90

知 ABEG 是正方形,故 BG ? EA 。 由题设知 FA, FD, AB 两两垂直 故 AD ? 平面 FABE , 因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影, BG ? ED 又 ED ? EA ? E 所以 BG ? 平面 ADE 由(1)知 CH // BG 所以 CH ? 平面 ADE 。 由(2)知 F ? 平面 CDE ,故 CH ? 平面 CDE 得平面 ADE ? 平面 CDE 3. 如图, 在五面体 ABCDEF 中, 点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点, 面 CDE 是等边三角形, 棱 EF // (1)证明 FO//平面 CDE; (2)设 BC ?

1 BC 。 ?2

3CD ,证明 EO⊥平面 CDF

【解析】 (1)证明:取 CD 中点 M,连结 OM, 在矩形 ABCD 中 OM //

1 BC ?2

又 EF //

1 BC ,则 EF // OM ?2 ?

连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形

∴FO//EM 又∵FO ? 平面 CDE,且 EM ? 平面 CDE ∴FO//平面 CDE (2)证明:连结 FM,由(1)和已知条件, 在等边 ?CDE 中,CM=DM,EM⊥CD 且 EM ? 因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO⊥FM ∵ CD⊥OM,CD⊥EM ∴ CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO 而 FM ? CD=M,所以 EO ? 平面 CDF

3 1 CD ? BC ? EF 。 2 2

考点 2.2

平面与平面垂直判定

2,5

利用平面与平面垂直的判定定理,证明直线与平面垂直,重点就是找到垂直平面的直线。 方法总结:平面与平面垂直的性质非常重要,常常通过垂直交线等条件可找到垂直平面的直线。 【例 1】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? , N 是 PB 中点,过 A、N、D 三点的平面交 PC 于 M . (1)求证: AD // MN ; (2)求证:平面 PBC ⊥平面 ADMN . 【解析】 (1)依题意有 AD // BC ,∴ BC // 平面 ADMN 而平面 PBC ? 平面 ADMN ? MN ,∴ BC // MN ∴ AD // MN (或证 AD∥平面 PBC) A P M C N D N P M C

(2)取 AD 中点 E,连结 PE 、 BE 、BD、如右图 ∵ ABCD 为边长为 2 的菱形,且 ?BAD ? 60? ∴ ?ABD 为等边三角形,又 E 为 AD 的中点 ∴ BE ? AD ∴ AD ⊥面 PBE 又∵ PE ? AD ∴AD⊥PB E A

B

D

又∵ PA ? AB , N 为 PB 的中点 ∴ AN ? PB ∴ PB ? 平面 ADMN 而 PB ? 平面 PBC ∴平面 PBC ? 平面 ADMN

B

【点评与小结】从结论入手,找到两个平面的交线 MN,再由第(1)问可将 MN 转化为 AD,即找到垂直 AD 的直线即可。 【例 2 】如图,三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, D 、 E 分别是棱 BC 、 AB 的中点,点 F 在棱 CC1 上,已知

AB ? AC, AA1 ? 3, BC ? CF ? 2 .
(1)求证: C1E ∥平面 ADF; (2)若点 M 在棱 BB1 上, 当 BM 为何值时, 平面 CAM ⊥平面 ADF? 【解析】 (1)连接 CE 交 AD 于 O ,连接 OF . 因为 CE,AD 为△ABC 中线,所以 O 为△ABC 的重心, 从而 OF//C1E.
CF CO 2 ? ? . CC1 CE 3

OF ? 面 ADF, C1 E ? 平面 ADF 所以 C1 E // 平面 ADF (2)当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 由于 B1 B ? 平面 ABC,BB1 ? 平面 B1BCC1 所以平面 B1BCC1 ? 平面 ABC 由于 AB=AC, D 是 BC 中点 所以 AD ? BC 又平面 B1BCC1∩平面 ABC=BC 所以 AD ? 平面 B1BCC1 而 CM ? 平面 B1BCC1,于是 AD ? CM 因为 BM =CD=1,BC= CF=2 所以 Rt?CBM ≌ Rt?FCD ,所以 CM ? DF DF 与 AD 相交,所以 CM ? 平面 ADF CM ? 平面 CAM,所以平面 CAM ? 平面 ADF 当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF 【点评与小结】要证明 C1 E // 平面ADF ,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线面平行。要在平面

ADF 中找到与 C1 E 平行的直线,可反用线面平行的性质,利用过 C1 E 的平面与平面 ADF 的交线 OF ,这
里注意 O 为 ?ABC 的重心, ( 备选例题与习题: 1.如图, M , N , K 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AB, CD, C1 D1 的中点. (1)求证: AN //平面 A1MK ; (2)求证:平面 A1 B1C ? 平面 A1MK . 【解析】 (1)连结 NK. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 四边形 AA1 D1 D, DD1C1C 都为正方形, A M B D N C A1 D1 K C1 B1

CO 2 ? ) ,再利用比例关系证明 C1 E // OF 从而证明结论。 OE 1

? AA1 // DD1 , AA1 ? DD1 , C1 D1 // CD, C1 D1 ? CD. ?

? N , K 分别为 CD, C1 D1 的中点 ?

D1 A1

K B1

? DN // D1K , DN ? D1K . ?
? DD1KN 为平行四边形 ?
? KN / DD1 , KN ? DD1. ? AA1 // KN , AA1 ? KN . ? AA1 KN 为平行四边形 ? AN // A1 K . ? A1 K ? 平面 A1MK , AN ? 平面 A1MK
? AN // 平面 A1MK .

D

N

A

M

B

(2)连结 BC1. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB // C1D1 , AB ? C1D1.

? M , K 分别 AB, C1 D1 中点

? BM // C1K , BM ? C1K .
四边形 BC1 KM 为平行四边形

? MK // BC1.
在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1 B1 ? 平面 BB1C1C , BC1 ? 平面 BB1C1C,

? A1 B1 ? BC1. ? MK // BC1 ,? A1B1 ? MK . ? BB1C1C 为正方形 ? BC1B1C. M K? B C 1 .

? A1 B1 ? 平面 A1 B1C , B1C ? 平面 A1 B1C , A1B1 ? B1C ? B1 ,

?MK ? 平面 A1B1C.

?MK ? 平面 A1MK ,?平面 A1MK ? 平面 A1B1C.
2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E 为的 PC 中点. ⑴求证:PA∥平面 BDE; ⑵求证:平面 PBC⊥平面 PDC. 【解析】 (1)连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO, PO ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ O 是 AC 中点 又 E 为 PC 中点 ∴ PA ∥ EO 又 EO ? 面BDE , PA ? 面BDE ∴ PA ∥平面 BDE (2)在△ PAC 中, 易得 AO ? CO ? PO ? 3 ∴ ?APC ? 90 ∴ PC ? 2 2 ∴在△ PDC 中可求得 DE ?
?

2 ,同理在△ PBC 中可求得 BE ? 2
?

∴在△ BDE 中可得 ?BED ? 90 ,即 BE ⊥ DE 又 PB ? BC , E 为 PC 中点 ∴ BE ⊥ PC

BE ⊥面 PDC ,又 BE ? 面 PBC
∴平面 PBC ? 平面 PDC 3.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC , D 为棱 CC1 上任一点. (1)求证:直线 A1 B1 ∥平面 ABD ; (2)求证:平面 ABD ⊥平面 BCC1 B1 . 【解析】 (1)由直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 得 A1 B1 / / AB ,而 EF ? 面ABD, AB ? 面ABD 所以直线 EF ∥平面 ABD

(2)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱 所以 AB ? BB1 ,又 AB ? BC , 而 BB1 ? 面 BCC1 B1 , BC ? 面 BCC1 B1 ,且 BB1 ? BC ? B 所以 AB ? 面 BCC1 B1 又 AB ? 面ABD ,所以平面 ABD ⊥平面 BCC1 B1 4.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是侧面 AA1B1B 对角线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对角线的交点, D 是棱 BC 的中点. 求证: (1) EF // 平面 ABC; (2)平面 AEF⊥平面 A1AD. 【解析】 (1)连结 A1 B和A1C . 因为 E、F 分别是侧面 AA1 B1 B 和侧面 AA1C1C 的对角线的交点, 所以 E、F 分别是 A1 B和A1C 的中点. 所以 EF // BC 又 BC ? 平面 ABC 中, EF ? 平面 ABC 中, 故 EF // 平面 ABC (2)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱, 所以 A1 A ? 平面 ABC 所以 BC ? A1 A . 故由 EF // BC ,得 EF ? A1 A 又因为 D 是棱 BC 的中点,且 ?ABC 为正三角形 所以 BC ? AD . 故由 EF // BC ,得 EF ? AD 而 A1 A ? AD ? A , A1 A, AD ? 平面 A1 AD 所以 EF ? 平面 A1 AD 又 EF ? 平面 AEF 故平面 AEF ? 平面 A1 AD B D B1 E F A C B A1 C1 D C B1 E F A A1 C1

5.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD ,BC//平面 PAD, ?PBC ? 90? ,
?PBA ? 90? .

求证: (1) AD // 平面 PBC ;

(2)平面 PBC ? 平面 PAB . P

【解析】 (1)因为 BC//平面 PAD, 而 BC ? 平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 PAD = AD, 所以 BC//AD 因为 AD ? 平面 PBC,BC ? 平面 PBC 所以 AD // 平面 PBC (2)自 P 作 PH ? AB 于 H ,因为平面 PAB ? 平面 面 PAB I 平面 ABCD =AB, 所以 PH ? 平面 ABCD 因为 BC ? 平面 ABCD 所以 BC ? PH. 因为 ?PBC ? 90? 所以 BC ? PB, 而 ?PBA ? 90? ,于是点 H 与 B 不重合 即 PB∩PH = H. 因为 PB,PH ? 平面 PAB 所以 BC ? 平面 PAB 因为 BC ? 平面 PBC 故 平面 PBC ? 平面 PAB B

A

D

C P

ABCD ,且平

A H B C

D


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高三数学二轮专题复习教案――立体几何_专业资料。...40 ? 24 2 2 2 点评:在课改地区的高考题中,...例 9、 (2008 江苏模拟)一个多面体的直观图和三...


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立体几何复习学案

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高三一轮复习立体几何学案

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高三立体几何一轮复习教案

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立体几何复习学案教师版

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