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2012~2013年广东省汕头金山中学高二数学第一学期期末(与答案)


2012~2013 年广东省汕头金山中学第一学期期末 高二数学(理科)测试题
1.集合 M ? {4,5, ?3m} , N ? {?9,3} ,若 M ? N ? ? ,则实数 m 的值为(A A. 3 或 ?1 A.焦点: ?2,0? , B. 3 准线: y ? ?2 C. 3 或 ?3 ) B.焦点: ?2,0? , D D. ?1 准线: x ? ?2 201

3-1-15 )

2.抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点坐标与准线方程( C.焦点: ?? 2,0? , 准线: y ? 2 3.已知双曲线

D.焦点: ?? 2,0? , 准线: x ? 2

x2 y2 ? ? 1 的渐近线 l1 经过二、四象,直线 l 过点 A(2,3) 且垂直于直线 l1 , 4 16

则直线 l 方程为(B) A. 2 x ? y ? 7 ? 0 B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 5 ? 0

4.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 其中( A ? 0, ? ? 0 )则“ f (0) ? 0 ”是“ y ? f ?x ? 是奇函数”的(C) A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

5.已知圆 C : ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4(a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0. 当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3 , 则 a ?( B ) A. 2 B. 2 ? 1 C. 2 ? 2 D. 2 ? 1

6.下列函数中,在其定义域内既是减函数又是奇函数为(C) A. f ( x) ?

1 x

B. f ( x) ? ? x

C. f ( x) ? 2

?x

? 2x

D. f ( x) ? ? tan x

7.如图,函数 y ? f (x) 的图象是中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的两段弧,则不等式 f ( x) ? f (? x) ? x 的 解集为 ( A )

? B. ? | ?2 ? x ? ? x
? ?

A. x | ? 2 ? x ? 0,或 2 ? x ? 2

? ?

2,或 2 ? x ? 2

C. ? x | ?2 ? x ? ? D. x | ? 2 ? x ?

? 2 2 ,或 ? x ? 2? 2 2 ?

?

2,且x ? 0

?

8.如图在长方形 ABCD 中,AB= 3 ,BC=1,E 为线段 DC 上一动点,现将 ? AED 沿 AE 折起,使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C,则 K 所形成轨迹的长度为 (D )

第 12 题

A.

3 2

B.

2 3 3

C.

? 2

D.

? 3
. .

9.函数 f ( x) ? lg x ? lg ( x ? 3) 的定义域为 10.在 ? ABC 中,已知 a ? 3 3 , b ? 4, A ? 30? ,则 sin B ?

11.已知 a, b, c, d 是实数,原命题: “若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ”. 写出它的 否命题是: .

12.已知直线 l 过点 A(1,3) , 且直线 l 与曲线 y ? 2x 2 交于 M , N 两点. 若 A 点恰好是 M , N 的中点, 则直线 l 的方程是: .

13.某旅游公司有甲、乙、丙三种特色产品,其数量分别为 a, b, c (单位:件) ,且 a, b, c 成等差数列。 现采用分层抽样的方法从中抽取 30 件,其中已知抽到甲产品的概率为 件数为 14.椭圆 .

1 ,则抽到丙产品的 6

x2 y2 ? ? 1 的两焦点是 F1 , F2 ,则其焦距长为 16 9
.

,若点 P 是椭圆上一点,且 ?PF F2 1

是直角三角形,则 S ?PF1F2 的大小是

15.已知函数 f ? x ? ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

1 2

1)求函数 y ? f ?x ? 的最小正周期; 2)求函数 y ? f ?x ? 在区间 ??

? ? ?? , ? 上的对称轴方程与零点. ? 2 6?

16.已知函数 f ( x) ? kx ? b 的图象与 x, y 轴分别相交于点 A, B , AB ? 2i ? 2 j( i, j 分别是与 x, y 轴正半轴 同方向的单位向量),函数 g ( x) ? x ? x ? 6 .
2

(1)求 k, b 的值; (2)当 x 满足 f ( x) ? g ( x) 时,求函数

g ( x) ? 1 的最小值. f ( x)

17.如图,在三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C ,已知 AB ? BC ? 1, BB1 ? 2 ,

?BCC 1 ?

?
3

, E 为 CC1 的中点.

1)证明: C1 B ? 平面 ABC; 2)求二面角 A ? B1 E ? B 的大小.

18.已知等差数列 ?an ? 的前 3 项和为 6 ,前 8 项和为 ? 4 . 1)求数列 ?an ? 的通项公式; 2)设 bn ? (4 ? an )q n?1 (q ? 0, n ? N ? ) , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

19.设椭圆 C1 与抛物线 C 2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C 2 的顶点均为原点,从每条曲线上至少取两个 点,将其坐标记录于下表中:

x
y

3

?2

4

2
2 2
?

3
1 2

?2 3

0

?4

1)求 C1 , C 2 的标准方程, 并分别求出它们的离心率 e1 , e2 ; 2)设直线 l 与椭圆 C1 交于不同的两点 M , N ,且 OM ? ON ? 0 (其中 O 坐标原点) ,请问是否存在这样的 直线 l 过抛物线 C 2 的焦点 F ? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
2 2 20.已知 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? kx

1)若 k ? 2 ,求方程 f ?x ? ? 0 的解;

2)若对 y ? f ?x ? 在 ?0,2? 上有两个零点,求 k 的取值范围.

.解: (1)当 a=1 时, b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 ,又??an ?? n ?为等比数列,不妨设 ? n ?公比 ,b a 为 q1 , 由 等 比 数 列 性 质 知 :
2 b2 ? b1b3 ? (2 ? a2 )2 ? 2?3 ? a3 ? , 同 时 又 有

2 2 2 2 2 a2 ? a1q1 , a3 ? a1q1 ? ?2 ? a1q1 ? ? 2 3 ? a1q1 ? ?2 ? q1 ? ? 2 3 ? q1 ? q1 ? 2 ? 2 所 以 :

?

?

?

?

an ? 2 ? 2
( 2 )
2

?

?

n ?1

,n ?1

?an ?

要 唯 一 , ? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 由 b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 且

b2 ? b1b3 ? ?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a ? 3 ? aq12 ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,
? a ? 0 ,?aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正根)

?

?

??4a ? ? 4a?3a ? 1? ? 0 ? 4a?a ? 1? ? 0 ,此时满足条件的 a 有无数多个,不符合。
2

? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 等 比 数 列 ?an ? 首 项 为 a , 其 余 各 项 均 为 常 数 0 , 唯 一 , 此 时 由

?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a??3 ? aq12 ? ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,可推得 3a ? 1 ? 0, a ? 1 符合
3
综上: a ?

1 。 3

19. [解](1)由已知得 A( ?

b b b ,0),B(0,b),则 AB ={ ,b},于是 =2,b=2. ∴k=1,b=2. k k k
2

(2)由 f(x)> g(x),得 x+2>x -x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,

1 g ( x) ? 1 x 2 ? x ? 5 = =x+2+ -5 x?2 x?2 f ( x)
由于 x+2>0,则

g ( x) ? 1 ≥-3,其中等号当且仅当 x+2=1,即 x=-1 时成立 f ( x)



g ( x) ? 1 的最小值是-3. f ( x)

已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )q
n?1

(q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

解:(1)设{an}的公差为 d ,由已知得

?3a1 ? 3d ? 6 ? ?8a1 ? 28d ? ?4
解得 a1=3,d=-1 故 an=3-(n-1)(-1)=4-n????????????????5 分 - (2)由(1)的解答得,bn=n·qn 1,于是 - Sn=1·q0+2·q1+3·q2+??+(n-1)·qn 1+n·qn. 若 q≠1,将上式两边同乘以 q,得 + qSn=1·q1+2·q2+3·q3+??+(n-1)·qn+n·qn 1. 将上面两式相减得到 - (q-1)Sn=nqn-(1+q+q2+??+qn 1) =nqn-

qn ? 1 q ?1

nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 于是 Sn= (q ? 1)2
若 q=1,则 Sn=1+2+3+??+n=

n( n ? 1) 2

? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1) ? ? (q ? 1) 2 所以,Sn= ? ??????????????12 分 ? n(n ? 1) (q ? 1) ? 2 ?


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