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湖北省巴东一中高二数学教案 选修1-2:3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义


§3.2.1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

【学情分析】 : 学生在建立了复数的概念以后 ,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算 .由于实 数是复数的一部分,在建立复数运算时应当遵循的一个原则是作为复数的实数 ,在复数集里运 算时和在实数集里的运算应当是一致的. 复数兼备代数形式和几何形式(点表示和向量表示),对复数代数形式

的加减运算及其几何 意义的学习有助于理解复数两种表示形式的统一,同时也提供了一个数形结合思想的载体. 【教学目标】 : (1)知识与技能: 了解复数代数形式的加减运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. (2)过程与方法: 从实数集中的相关概念以及运算出发,对比引出复数的加减法的定义,对比复数的代数 形式,复数的向量形式同样具备其自身的加减法法则。培养学生类比、化归、数形结合的思 想方法。 (3)情感态度与价值观: 通过复数的代数形式的加减运算的学习,体会数集运算定义的完备性与一致性,增加对 数学逻辑美的认识。 【教学重点】 : 复数代数形式的加减运算及其几何意义。 【教学难点】 : 复数代数形式的加减运算几何意义。 【课前准备】 : powerpoint 课件 【教学过程设计】 : 教学环节 教学活动 1.同学们在学实数的时候有绝对值的概念,在复数里 | a ? bi | (b ? 0) 叫 做复数的模长,在实数集里有相反数的概念,那么复数 a ? bi 还有没有相反复 数的概念呢? 2.实数与实数相加减得到的仍是实数,现在我们学习了复数这个数集, (3)( ? i) 如果一个实数与一个纯虚数相加比如 等于多少呢?或者一个实数加 上一个虚数比如(3)+(1+i)又等于什么呢? 设计意图 将实 数运算以 及其中的 概 念 提 出,让学 生对比思 考在复数 中相应的 运算和概 念,引出 问题。

一、复习 引入

-1-

二、 讲授新 1.复数的加法: 课 ①设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) ,规定 (1) 复数 代数形式 z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? b) ? (c ? d )i 。 的加法运 算 ②复数的加法运算满足交换律、结合律,即对任意复数 z1 , z2 , z3 有

z1 ? z2 ? z2 ? z1 ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 )
(2) 复数 2.复数的减法 代数形式 ①已知复数 a ? bi ,根据加法定义,存在惟一的复数 ? a ? bi 使 的减法运 (a ? bi) ? (?a ? bi) ? 0 , ? a ? bi 叫做 a ? bi 的相反数 算 ②设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) ,规定

z1-z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? bi) ? (?c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i

(3) 复数 3.复数加减法的几何意义 加减法的 已知复数 z1 ? x1 ? y1i, z2 ? x2 ? y2i 及其对应的向量如图, 几何意义

??? ??? ? ??? ??? ? oz1 ? ( x1, y1 ), oz2 ? ( x2 , y2 ), 且 oz1 , oz2 不共线,以 oz1和oz2 为邻边作平行四
边形 oz1 zz2 ,根据向量的加法法则,对角线 oz 所表示的向量 oz ? oz1 ? oz2 , 而 oz1 ? oz2 所对应的坐标为 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,正是两个复数之和 z1 ? z2 所 对应的有序实数对。因此复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法 则,类似地,向量 z2 z1 所对应两个复数的差 z1 ? z2 ,作 oz ? z2 z1 ,则点 z 也
'

?? ? ??? ??? ?

??? ??? ?

????

?? ?

????

对应复数 z1 ? z2 。

z2 z1 z1 -z2 z'

z

-2-

三、 运用新 知 , 体验成功

练习 1: ①.计算:

1.(1 ? i) ? (1 ? i); 2.(2) ? (?2 ? 3i) 3.0 ? 5 ? (?4i) 4.(?5 ? i) ? (3 ? 2i)
②.写出下列各复数的相反数:

?3 ? 2i, 3 ? 7i,
③.计算:

1 3 ? i,?? ? 8, ? 6i. 2 2

1.(4 ? 5i) ? (4 ? 2i); 2.(?3 ? 2i) ? (4 ? 6i); 3.(?3 ? 2i ) ? (5 ? i) ? (4 ? 7i); 4.(1 ? i) ? (1 ? i) ? (5 ? 4i) ? (?3 ? 7i)
解:①2, 3i , 5 ? 4i , ?2 ? i ② 3 ? 2i,

及时运 用 新 知 识,巩固 练习,让 学生体验 成功,为 了使学生 实现从掌 握知识到 运用知识 的转化, 使知识教 育与能力 培养结合 起来,设 计分层练 习

1 3 ? 3 ? 7i, ? ? i,?? 8, 6i. 2 2

③ 3i , ?7 ? 8i , ?4 ? 6i , ?8 ? 13i

-3-

四、 师生互 动, 继续探 究

例1.

计算:

让学生 进行复数 代数形式 = 加减运 算。

(1 ? 2i) ? (2 ? 3i) ? (3 ? 4i) ? (4 ? 5i) ? ? ? (1999 ? 2000i) ? (2000 ? 2001i)
解:原式=

(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 1999 ? 2000) ? (?2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 2000 ? 2001)i
?1000 ? 1000i 。

分析:复数的加减法,相当于多项式中加减中的合并同类项的过程,两个复 数相加减,就是把实部与实部,虚部与虚部分别加减。 例2. 已知复数 z ? a ? bi(a, b ? R) , 若 z+z ? 0 , 证明复数 z 是纯虚数或0。 解: 将 z ? a ? bi(a, b ? R) 代入 z+z ? 0 得,(a ? bi) ? (a ? bi) ? 0 , 运算得:

2a ? 0, 所以 a ? 0 ,所以 z ? bi ,当 b ? 0 时, z ? 0 ,当 b ? 0 时, z 为纯
虚数。 分析:本题是证明一个虚数数为纯虚数的等价条件。 例3.已知 z1 ? ?3 ? i, z2 ? 5 ? 3i 对应的向量分别为 oz1和oz2 ,以 oz1 , oz2 为 邻边作平行四边形 oz1cz2 ,求向量 oc, z1 z2 , z2 z1 对应的复数。 解 : 由 复 数 加 减 法 的 几 何 意 义 知 : 向 量 oc 对 应 的 复 数 为

??? ??? ?

?? ? ???? ????

?? ?

z1 ? z2 ? (?3 ? i) ? (5 ? 3i) ? 2 ? 2i ,
向量 z1z2 对应的复数 z2 ? z1 ? (5 ? 3i) ? (?3 ? i) ? 8 ? 4i ; 向量 z2 z1 对应的复 数 z1 ? z2 ? ?8 ? 4i 。 五、 分层练 习, 巩固提 高 探究活动: 练习 2 : ①已知复数 z 满足 z ? i ? 3 ? 3 ? i, 求z ? ② 在 复 平 面 内 , 复 数 ?3 ? i与5 ? i 对 应 的 向 量 分 别 是 通过多角 度的练 习,并对 典型错误

????

????

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA和OB, 其中O是原点,求向量OA ? OB, BA 对应的复数以及 A, B 两点 进行讨论
之间的距离。 解:① 6 ? 2i ②2, 2 5 与矫正, 使学生巩 固所学内

-4-

容,同时 完成对新 知的迁 移。

六、 概括梳 理, 形成系 统 (小结) 七、 布置作 业

采取师生互动的形式完成。 即:学生谈本节课的收获,教师适当的补充、概括,以本节知识目标的 要求进行把关,确保基础知识的当堂落实。

采取师生 互动的形 式完成。

1、 课后作业。 2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。

1.计算 (3 ? i ) ? (2 ? i) 的结果为(

) D. 1- i ) D。 6 ? 2i

A.1 B. ?i C. 5 ? 2i 解:A 2.已知复数 z满足z ? i ? 3 ? 3 ? i, 则z =( A.0 B。 2i 解:D 3. | (3 ? 2i) ? (4 ? i) | 等于( C。 6 )

A. 58 B. 10 C.2 解:B 4.若 | z |? 1, 则复数z对应的点的轨迹是 ( A. 一个点 B. 两个点 C. 四个点 解:D 5. | (3 ? 2i) ? (1 ? i) | 表示( ). A. 点(3,2)与点(1,1)之间的距离 B. 点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离 C. 点(3,2)到原点的距离 D.以上都不对 解:A

D. ?1 ? 3i ). D. 一个圆

-5-

6.在复平面上复数 ?1 ? i, 0,3 ? 2i 所对应的分别是A,B,C,则平行四边形ABCD的对 角线 BD 的长为 。

解: BD ? BA ? BC ? 2 ? 3i,? | BD |? 4 ? 9 ? 13 。

??? ?

??? ? ??? ?

-6-


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