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河南省南阳市方城县第一高级中学(五校)2015-2016学年高二12月联考数学(文)试题


2015 年秋期五校第二次联考 高二数学(文科)试题 一.选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)

1. 下列说法中,正确的是(
2 2



A.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.命题“存在 x ? R, x 2 ? x ? 0 ”的否定是:“任意 x

? R, x2 ? x ? 0 ” C.命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 2. 已知 a,b 是实数,则“a=1 且 b=2”是“a +b ﹣2a﹣4b+5=0”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2



3. 已知条件 p : ?3 ? x ? 1 ,条件 q : x2 ? x ? a2 ? a ,且的必要不充分条件,则 a 的取值范围 是( A. )

? 1? ?1, ? ? 2? ? 1? ?

B. ? ?1, 2?

C. ? , 2 ? 2

?1 ?

? ?

D. ? ?1, ? ? ? 2, ?? ? 2 4. 下列说法中错误的个数为 ( )

? ?

①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②若一个命题的否命题为假,则它本身 一定为真;③ ?

?x ? 1 ?x ? y ? 3 是? 的充要条件;④ a ? b 与 a ? b 是等价的;⑤“ x ? 3 ” ? y ? 2 ? xy ? 2

是“ x ? 3 ”成立的充分条件。 A.2 B.3 C.4 D.5

x2 y 2 5. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1, F2, P 是椭圆上一点, |PF1|=|F1F2| a b
且 cos∠PF2F1=

2 ,则椭圆离心率为( 3



A.

1 2

B.

3 7

C.

2 3

D.

3 4

6. 直线 l 经过点 P(1,1)且与椭圆 那么直线 l 的方程为( A. 3x+2y﹣5=0
2

x2 y 2 ? ? 1 交于 A,B 两点,如果点 P 是线段 AB 的中点, 3 2

) B. 2x+3y﹣5=0 C. 2x﹣3y+5=0 D. 3x﹣2y+5=0

7. 设 F 为抛物线 y =2x 的焦点,A,B,C 为抛物线上三点,若 F 为△ABC 的重心, 则的 FA ? FB ? FC 值为( A.1 B.2

??? ?

??? ?

??? ?

) C.3 D.4

8. 已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 ,C1 与 C2 ,双曲线 C 2 的方程为 a 2 b2 a 2 b2
)

的离心率之积为

3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2
y=0
2

A.



B.
2

x±y=0

C.

x±2y=0

D. 2x±y=0

9. 设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 ( ) A.5 B. +

x2 2 +y =1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是 10

C.7+

D.6 过F 1 ,若△ABF2 的内切圆周长为

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,弦 10. 椭圆 25 16
π ,A、B 两点的坐标分别为 ( ) 和 ,则

的值为

A.

B.

C.

D. 11. 抛物线 y =2px(p>0)焦点为 F,准线为 L,经过 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,交准线 于 C 点,点 A 在 x 轴上方,AK⊥L,垂足为 K,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则△AKF 的面积 是 ( )
2

A. 4

B.3

C.4

D.8

12. 已知两定点 A(-2,0)和 B(2,0),动点 P(x,y)在直线 l:y=x+3 上移动,椭圆 C 以 A,B 为焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为( )

A.

B.

C.

D.

二.填空题(20 分) 13. 设命题 p :

2x ?1 ? 0 ,命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 x ?1
.

a 的取值范围是 14. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30°的直线 a 2 b2
.

交双曲线右支于 M 点,若 MF2⊥x 轴,则双曲线的离心率为
2

15. 已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线 的距离之和的最小值是____________ 16. 如右图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b),原点 O 为 AD 的中点,抛 物线 y =2px(p>0)经过 C,F 两点,则
2

b =________. a

三.解答题(本题共 70 分,其中 17 题 10 分,18-22 题每题 12 分) 17. 已知命题 p:方程
2

x2 y2 ? ? 1 所表示的图形是焦点在 y 轴上的双曲线,命题 q:方 2 ? ? m ?1

程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根,又 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.(10 分)

18. 设命题 p:实数 x 满足 x ? 1 ? a ,其中 a ? 0 ;命题 q:实数 x 满足 3 (1)若 p 命题中 a=1,且 p 且 q 为真,求实数 的取值范围;

x 2 ? x ?6

?1

(2)若 ? p 是 q 的必要不充分条件,求实数 的取值范围.(12 分)

19. 已知 a ? R ,命题 p: “任意 x ??1,2? , x ? a ? 0 ”,命题 q: 存在
2

x ? R, x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 .
⑴若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; ⑵若命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.(12 分)

20. 已知抛物线 y =4x 截直线 y=2x+m 所得弦长 AB=3 (1)求 m 的值;

2



2)设 P 是 x 轴上的一点,且△ABP 的面积为 9,求 P 的坐标

21. F1,F2 分别是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x a 2 b2

轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.(12 分)

22.

已知双曲线 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x. a 2 b2

(1)求双曲线 E 的离心率. (2)如下图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、四象 限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E? 若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.(12 分)

2015 年秋期第二次月考高二数学(文科)试题答案 一选择题 BCBCB,BCADD,CB

二填空题 13. [ 0, ] 三解答题

1 2

14.

3

15.

17 2

16. 1 ? 2

17. 答: 解:若 p 为真,则: ∴m>2;



若命题 q 为真,则:△=16(m﹣2) ﹣16<0; ∴1<m<3; 由 p∨q 为真,p∧q 为假知 p,q 一真一假;

2



,或



∴解得 m≥3,或 1<m≤2; ∴m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).
?

18.解(1)当 : 又 真,所以

时, : ???? 2 分 都为真

???? 1 分

???? 3 分

由 (2) :



???6 分 ???? 7 分 ???? 8 分

∴满足条件

的解集 A=

:B= 是 的必要不充分条件

???? 12 分
?

19.解⑴因为命题 令 可, 也就是 ; ??7 分 ⑵由⑴可知,当命题 p 为真命题时, ,根据题意,只要 ??4 分

, 时, 即



命题 q 为真命题时, ??11 分 因为命题 真一假, 为真命题,命题

,解得

为假命题,所以命题 p 与命题 q 一

当命题 p 为真,命题 q 为假时,



当命题 p 为假,命题 q 为真时, 综上: . ??14 分 20. 或



故点 P 的坐标为(5,0)或(-1,0)

?

21.解:(1)根据 将 b =a -c 代入 2b =3ac,
2 2 2 2

,2b =3ac.

2

解得





=-2(舍去).

故 C 的离心率为

.

(2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)

是线段 MF1 的中点,故

=4,即 b =4a.①

2

由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则

解得 a=7,b =4a=28,故 a =7,b=2 22.解:方法一: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x, .

2

所以

=2,

所以 故 c=

a,

从而双曲线 E 的离心率

e=



.

(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 设直线 l 与 x 轴相交于点 C.



=1.

当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a.又因为△OAB 的面积为 8,

所以

|OC|?|AB|=8,

因此

a?4a=8,解得 a=2,

此时双曲线 E 的方程为



=1.

若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为



=1.

以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E:



=1 也满足条件.

设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,则

记 A(x1,y1),B(x2,y2).

因为 4-k <0, 所以 Δ =4k m +4(4-k )(m +16)=-16(4k -m -16). 又因为 m =4(k -4),
2 2 2 2 2 2 2 2

2

所以 Δ =0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点.

因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 方法二:(1)同方法一.



=1.

(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为



=1.

设直线 l 的方程为 x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

依题意得-

<m<

.

由 设直线 l 与 x 轴相交于点 C,则 C(t,0).

由 S△OAB=
2

|OC|?|y1-y2|=8,得
2 2

|t|?

=8.

所以 t =4|1-4m |=4(1-4m ).


2

得(4m -1)y +8mty+4(t -a )=0.
2 2 2 2

2

2

2

2

因为 4m -1<0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ =64m t -16(4m -1)(t -a )=0,即 4m a +t -a =0, 即 4m a +4(1-4m )-a =0,即(1-4m )(a -4)=0, 所以 a =4,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 方法三:(1)同方法一.



=1.

(2)当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得

k>2 或 k<-2.



得(4-k )x -2kmx-m =0,

2

2

2

因为 4-k <0,Δ >0,所以 x1x2= 又因为△OAB 的面积为 8,

2



所以

|OA|?|OB|? sin∠AOB=8,又易知 sin∠AOB=



所以

化简得 x1x2=4.

所以

=4,即 m =4(k -4).

2

2

由(1)得双曲线 E 的方程为



=1,


2

得 (4-k )x -2kmx-m -4a =0.
2 2 2 2 2

2

2

2

2

因为 4-k <0,直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 Δ =4k m +4(4-k )(m +4a ) =0, 即(k -4)(a -4)=0,所以 a =4,
2 2 2

所以双曲线 E 的方程为



=1.

当 l⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于 8 可得 l:x=2,又易知 l:x=2 与双曲线 E: 1 有且只有一个公共点.





综上所述,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为



=1.


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