tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

宁夏银川一中2015届高三上学期第六次月考数学试卷(文科)


宁夏银川一中 2015 届高三上学期第六次月考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集 U=I,M={x|y=ln(1﹣x)},N={x|2 集合为()
x(x﹣2)

<1},则右图中阴影部分表示的

/>A.{x|x≥1} 2. (5 分)若复数 A.9+i

B.{x|1≤x<2} =1+4i,则 B.9﹣i =()

C.{x|0<x≤1}

D.{x|x≤1}

C.2+i

D.2﹣i

3. (5 分)执行程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是()

A.120

B.720

C.1440

D.5040

4. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为() A.63.6 万元 5. (5 分)若 A.﹣ B. B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

=2,则 tan2α=() C. ﹣ D.

6. (5 分)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形,则 此四面体的外接球的体积为()

A.

B.3π

C.
*

D.π

7. (5 分)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N ) ,且 a2+a4+a6=9,则 的值是() A.﹣5 B.
2

(a5+a7+a9)

C. 5

D.

8. (5 分)函数 f(x)=x ﹣elnx 的零点个数为() A.0 B. 1 C. 2

D.3

9. (5 分)已知抛物线 y =4x 的准线过双曲线 此双曲线的一条渐近线为 y=2x,则双曲线的焦距等于() A. B. C.

2

的左顶点,且

D.

10. (5 分)在三角形 ABC 中,B=60°,AC= ,则 AB+2BC 的最大值为() A.3 B. C. D.2 11. (5 分)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 期为 π,且 f(﹣x)=f(x) ,则() A.f(x)在 C. f(x)在(0, 单调递减 )单调递增 B. f(x)在( D.f(x)在( , , )单调递减 )单调递增 的最小正周

12. (5 分)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f′(x) ,且 2f(x)+xf′(x)>x ,下面的不等式 在 R 内恒成立的是() A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)<x

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. (5 分)某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生, 将这 50 名学生随机编号 1~50 号, 并分组, 第一组 1~5 号, 第二组 6~10 号, …, 第十组 46~ 50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八组中抽得号码为的学生.

14. (5 分)若向量 =(﹣1,k) , =(3,1) ,且 + 与 垂直,则实数 k 的值为.

15. (5 分)已知 m∈[1,6],n∈[1,6],则函数 y= mx ﹣nx+1 在[1,+∞)上为增函数的概率 是.

3

16. (5 分)椭圆

+

=1 上有动点 P,E(3,0) ,则|PE|的最小值为.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (12 分)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an﹣a1=S1?Sn,n∈N (Ⅰ)求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{nan}的前 n 项和.
*

18. (12 分)2014 年山东省第二十三届运动会将在济宁召开,为调查我市某校高中生是否愿 意提供志愿者服务,用简单随机抽样方法从该校调查了 50 人,结果如下:K 是否愿意提供志愿者服务 性别 愿意 不愿意 男生 20 5 女生 10 15 (Ⅰ)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取 6 人,其中男生抽取多少人? (Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的 6 人中任选 2 人,求恰有一名女生的概率; (Ⅲ)你能否有 99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关? 下面的临界值表供参考: 2 P(K ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 独立性检验统计量 ,其中 n=a+b+c+d.

19. (12 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,四边形 ADEF 为梯形,AD∥FE,∠AFE=60°,且 平面 ABCD⊥平面 ADEF,AF=FE=AB= =2,点 G 为 AC 的中点.

(Ⅰ)求证:EG∥平面 ABF; (Ⅱ)求三棱锥 B﹣AEG 的体积; (Ⅲ)试判断平面 BAE 与平面 DCE 是否垂直?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由.

20. (12 分)设椭圆

的左右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆 C 上的一 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 .

点,且

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F(﹣1,0) ,交 y 轴于点 M,若 |MQ|=2|QF|,求直线 l 的斜率. 21. (12 分)已知函数 f(x)=2ax﹣ ﹣(2+a)lnx(a≥0) . (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)当 a>0 时,讨论 f(x)的单调性; (3)若对任意的 a∈(2,3) ,x1,x2∈[1,3],恒有(m﹣ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成 立,求实数 m 的取值范围.

【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分) 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PO 交圆 O 于 B, C 两点, PA=20, PB=10, ∠BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E. (Ⅰ)求证 AB?PC=PA?AC (Ⅱ)求 AD?AE 的值.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 直线 l 的极坐标方程是 P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. , 射线 OM: θ= 与圆 C 的交点为 O、 为参数) .以 O 为极点,x 轴

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24. (选做题)已知 f(x)=|x+1|+|x﹣1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|.

宁夏银川一中 2015 届高三上学期第六次月考数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集 U=I,M={x|y=ln(1﹣x)},N={x|2 集合为()
x(x﹣2)

<1},则右图中阴影部分表示的

A.{x|x≥1}

B.{x|1≤x<2}

C.{x|0<x≤1}

D.{x|x≤1}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算;指数函数单调性的应用;对数函数的定义域. 分析: 阴影部分用集合表示为 N∩CRM,只要求出 M、N 进行集合的运算即可. 解答: 解:M={x|y=ln(1﹣x)}={x|x<1},CRM={x|x≥1}, x(x﹣2) x(x﹣2) 0 N={x|2 <1}={x|2 <2 }={x|x(x﹣2)<0}={x|0<x<2}, N∩CRM={x|1≤x<2}, 故选 B. 点评: 正确理解集合 M、N 所表达的含义,以及真确理解韦恩图所表达的集合是解决本题 的关键. 2. (5 分)若复数 A.9+i =1+4i,则 B.9﹣i =() C.2+i D.2﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘法运算化简,移项后得答案. 解答: 解:由 =1+4i,得 z+3i=(1+4i) (1﹣2i)=9+2i,

∴z=9﹣i,则 . 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题. 3. (5 分)执行程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是()

A.120

B.720

C.1440

D.5040

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 通过程序框图,按照框图中的要求将几次的循环结果写出,得到输出的结果. 解答: 解:经过第一次循环得到 经过第三次循环得到 经过第五次循环得 ; ; 经过第二次循环得到

经过第四次循环得 输出结果

此时执行输出 720, 故选 B 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时,常采用写出几次的结果找 规律. 4. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为() A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点, 求出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为 6 代入,预报出结果.

解答: 解:∵ =42,

=3.5,

∵数据的样本中心点在线性回归直线上, 回归方程 ∴42=9.4×3.5+a, ∴ =9.1, ∴线性回归方程是 y=9.4x+9.1, ∴广告费用为 6 万元时销售额为 9.4×6+9.1=65.5, 故选:B. 点评: 本题考查线性回归方程.考查预报变量的值,考查样本中心点的应用,本题是一个 基础题,这个原题在 2011 年山东卷第八题出现. 5. (5 分)若 A.﹣ B. =2,则 tan2α=() C. ﹣ D. 中的 为 9.4,

考点: 二倍角的正切;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意和商的关系化简所给的式子,求出 tanα 的值,利用倍角的正切公式求出 tan2α 的值. 解答: 解:由题意得, 即 ,解得 tanα=3, = , ,

∴tan2α=

故选:A. 点评: 本题考查了利用商的关系化简齐次式,以及倍角的正切公式的应用. 6. (5 分)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形,则 此四面体的外接球的体积为()

A.

B.3π

C.

D.π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形,所以此四面体一定可以放在 棱长为 1 的正方体中, 所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球, 由此能求出此四面体的 外接球的体积. 解答: 解:由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形, 所以此四面体一定可以放在正方体中, 所以我们可以在正方体中寻找此四面体. 如图所示,四面体 ABCD 满足题意, 所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球, 由题意可知,正方体的棱长为 1,所以外接球的半径为 R= 所以此四面体的外接球的体积 V= 故选 C. = , .

点评: 本题的考点是由三视图求几何体的体积,需要由三视图判断空间几何体的结构特征, 并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度, 代入对应的体积公式分别求解, 考查了空间 想象能力. 7. (5 分)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N ) ,且 a2+a4+a6=9,则 的值是() A.﹣5 B. C. 5 D.
*

(a5+a7+a9)

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;压轴题;方程思想. 分析: 先由“log3an+1=log3an+1”探讨数列,得到数列是以 3 为公比的等比数列,再由 2 4 2 4 3 a2+a4+a6=a2(1+q +q ) ,a5+a7+a9=a5(1+q +q )得到 a5+a7+a9=q (a2+a4+a6)求解. 解答: 解:∵log3an+1=log3an+1 ∴an+1=3an ∴数列{an}是以 3 为公比的等比数列, 2 4 ∴a2+a4+a6=a2(1+q +q )=9 2 4 3 2 4 3 5 ∴a5+a7+a9=a5(1+q +q )=a2q (1+q +q )=9×3 =3

故选 A 点评: 本题主要考查等比数列的定义,通项及其性质,在等比数列中用“首项与公比”法是常 用方法,往往考查到方程思想. 8. (5 分)函数 f(x)=x ﹣elnx 的零点个数为() A.0 B. 1 C. 2 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出函数的导数,根据导数求的函数的极小值为 f( )>0,可得函数无零点.
2

D.3

解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣elnx,∴f′(x)=2x﹣ = 令 f′(x)=0,解得 x= 由于 f′(x)在(0, 得极小值. 由于 f( )= ﹣eln . )上小于零,在(

2



,+∞)上大于零,故 x=

时,函数 f(x)取

= ﹣ ln = (1﹣ln )>0,所以函数无零点.

故选 A. 点评: 本题考查函数的零点以及导数的应用,函数的零点问题一直是考试的重点内容之一, 与函数的图象与性质紧密结合,导数是解决此类问题的有效方法,2015 届高考必定有所体现.

9. (5 分)已知抛物线 y =4x 的准线过双曲线 此双曲线的一条渐近线为 y=2x,则双曲线的焦距等于() A. B. C.

2

的左顶点,且

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 2 分析: 先求出抛物线 y =4x 的准线方程,确定 a 值,在根据渐近线方程确定 b 的值,从而 确定 c 的值,焦距为 2c. 2 解答: 解:由抛物线 y =4x 知,p=2, 准线方程为:x=﹣1,∴a=1, ∵双曲线的一条渐近线为 y=2x, ∴ =2, ∴b=2∴c =a +b =5,
2 2 2

∴焦距 2c=2 故答案选 B 点评: 本题考查抛物线与双曲线的简单性质. 10. (5 分)在三角形 ABC 中,B=60°,AC= ,则 AB+2BC 的最大值为() A.3 B. C. D.2 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;余弦定理的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 设三角形的三边分别为 a, b, c, 利用余弦定理和已知条件求得 a 和 c 的关系, 设 c+2a=m 代入,利用判别大于等于 0 求得 m 的范围,则 m 的最大值可得. 解答: 解:由题意,设三角形的三边分别为 a,b,c,则 3=a +c ﹣2accos60° 2 2 ∴a +c ﹣ac=3 2 2 设 c+2a=m(m>0) ,代入上式得 7a ﹣5am+m ﹣3=0 2 ∴△=84﹣3m ≥0,∴0<m≤2 m=2 时,a= ,c= 符合题意
2 2

∴m 的最大值是 2 故选 D. 点评: 本题考查余弦定理的运用,考查最值,考查学生的计算能力,属于基础题.

11. (5 分)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 期为 π,且 f(﹣x)=f(x) ,则() A.f(x)在 C. f(x)在(0, 单调递减 )单调递增 B. f(x)在( D.f(x)在( , ,

的最小正周

)单调递减 )单调递增

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用辅助角公式将函数表达式进行化简,根据周期与 ω 的关系确定出 ω 的值,根据 函数的偶函数性质确定出 φ 的值,再对各个选项进行考查筛选. 解答: 解:由于 f(x)=sin(ωx+?)+cos(ωx+?)= 由于该函数的最小正周期为 π= 又根据 f(﹣x)=f(x) ,得 φ+ 因此,f(x)= 若 x∈ ,得出 ω=2, = +kπ(k∈Z) ,以及|φ|< cos2x, ,则 2x∈(0,π) ,从而 f(x)在 单调递减, ,得出 φ= . ,

若 x∈(



) ,则 2x∈(



) ,

该区间不为余弦函数的单调区间,故 B,C,D 都错,A 正确. 故选 A. 点评: 本题考查三角函数解析式的确定问题,考查辅助角公式的运用,考查三角恒等变换 公式的逆用等问题, 考查学生分析问题解决问题的能力和意识, 考查学生的整体思想和余弦曲 线的认识和把握.属于三角中的基本题型. 12. (5 分)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f′(x) ,且 2f(x)+xf′(x)>x ,下面的不等式 在 R 内恒成立的是() A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)<x 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 对于这类参数取值问题,针对这些没有固定套路解决的选择题,最好的办法就是排 除法. 解答: 解:∵2f(x)+xf′(x)>x , 令 x=0,则 f(x)>0,故可排除 B,D. 2 2 如果 f(x)=x +0.1,时 已知条件 2f(x)+xf′(x)>x 成立, 但 f(x)>x 未必成立,所以 C 也是错的,故选 A 故选 A. 点评: 本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题.通过分析解析式的特点,考查了分 析问题和解决问题的能力. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生, 将这 50 名学生随机编号 1~50 号, 并分组, 第一组 1~5 号, 第二组 6~10 号, …, 第十组 46~ 50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八组中抽得号码为 37 的学生. 考点: 系统抽样方法. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大(8﹣3)×5,由此能求出结果. 解答: 解:这 50 名学生随机编号 1~50 号,并分组,第一组 1~5 号,第二组 6~10 号,…, 第十组 46~50 号, 在第三组中抽得号码为 12 的学生, 则在第八组中抽得号码为 12+(8﹣3)×5=37. 故答案为:37. 点评: 抽样选用哪一种抽样形式,要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少, 可采用抽签法,若总体个数较多且个体各部分差异不大,可采用系统抽样,若总体的个体差异 较大,可采用分层抽样.
2 2

14. (5 分)若向量 =(﹣1,k) , =(3,1) ,且 + 与 垂直,则实数 k 的值为﹣2 或 1.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量垂直,数量积为 0 得出 k 的值. 解答: 解:∵向量 =(﹣1,k) , =(3,1) ,且 + 与 垂直, ∴( + )? =0, 即(﹣1+3,k+1)?(﹣1,k)=﹣2+k(k+1)=k +k﹣2=0; 解得 k=﹣2,或 k=1, ∴实数 k 的值为﹣2 或 1; 故答案为:﹣2 或 1. 点评: 本题考查了平面向量的垂直应用问题,是基础题. 15. (5 分)已知 m∈[1,6],n∈[1,6],则函数 y= mx ﹣nx+1 在[1,+∞)上为增函数的概率 是 .
3 2

考点: 几何概型;利用导数研究函数的单调性. 专题: 数形结合. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出函数 y= mx ﹣nx+1 在[1,+∞) 上为增函数时,点(m,n)对应的平面区域面积的大小,及 m∈[1,6],n∈[1,6]时,点(m, n)对应的平面区域面积的大小,并将它们代入几何概型计算公式进行解答. 解答: 解:∵函数 y= mx ﹣nx+1 ∴y'=2mx ﹣n, 若函数 y= mx ﹣nx+1 在[1,+∞)上为增函数 则 y'=2mx ﹣n≥0 在[1,+∞)上恒成立, 即 2m﹣n≥0,其对应的平面区域如下图中阴影所示:
2 3 2 3 3

则函数 y= mx ﹣nx+1 在[1,+∞)上为增函数的概率 P=

3

=

故答案为: 点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这 个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基 本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P= 求解.

16. (5 分)椭圆

+

=1 上有动点 P,E(3,0) ,则|PE|的最小值为



考点: 椭圆的参数方程. 专题: 计算题;圆锥曲线中的最值与范围问题;坐标系和参数方程. 分析: 求出椭圆的参数方程,运用两点间的距离公式,结合同角的平方关系化简和配方, 再由余弦函数的值域,以及二次函数的值域求法,即可得到最小值. 解答: 解:椭圆 + =1 的参数方程为 = = , . (0≤α<2π) ,

则|PE|= =

由于﹣1≤cosα≤1,当 cosα= ∈[﹣1,1]时,|PE|取得最小值,且为

故答案为: . 点评: 本题考查椭圆的参数方程的运用,考查余弦函数的值域,运用配方法是解题的关键. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. * 17. (12 分)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an﹣a1=S1?Sn,n∈N (Ⅰ)求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{nan}的前 n 项和. 考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)令 n=1 和 2,代入所给的式子求得 a1 和 a2,当 n≥2 时再令 n=n﹣1 得到 2an﹣1 ﹣1=Sn﹣1,两个式子相减得 an=2an﹣1,判断出此数列为等比数列,进而求出通项公式; n﹣1 (Ⅱ)由(Ⅰ)求出 nan=n?2 ,再由错位相减法求出此数列的前 n 项和. 解答: 解: (Ⅰ)令 n=1,得 2a1﹣a1= ,即 ,

∵a1≠0,∴a1=1, 令 n=2,得 2a2﹣1=1?(1+a2) ,解得 a2=2, 当 n≥2 时,由 2an﹣1=Sn 得,2an﹣1﹣1=Sn﹣1, 两式相减得 2an﹣2an﹣1=an,即 an=2an﹣1,

∴数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, n﹣1 n﹣1 ∴an=2 ,即数列{an}的通项公式 an=2 ; n﹣1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,nan=n?2 ,设数列{nan}的前 n 项和为 Tn, 2 n﹣1 则 Tn=1+2×2+3×2 +…+n×2 ,① 2 3 n 2Tn=1×2+2×2 +3×2 +…+n×2 ,② 2 n﹣1 n ①﹣②得,﹣Tn=1+2+2 +…+2 ﹣n?2 n n =2 ﹣1﹣n?2 , n ∴Tn=1+(n﹣1)2 . 点评: 本题考查了数列 an 与 Sn 之间的转化, 以及由错位相减法求出数列的前 n 项和的应用. 18. (12 分)2014 年山东省第二十三届运动会将在济宁召开,为调查我市某校高中生是否愿 意提供志愿者服务,用简单随机抽样方法从该校调查了 50 人,结果如下:K 是否愿意提供志愿者服务 性别 愿意 不愿意 男生 20 5 女生 10 15 (Ⅰ)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取 6 人,其中男生抽取多少人? (Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的 6 人中任选 2 人,求恰有一名女生的概率; (Ⅲ)你能否有 99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关? 下面的临界值表供参考: P(K ≥k) k
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

独立性检验统计量

,其中 n=a+b+c+d.

考点: 独立性检验的应用. 专题: 概率与统计. 分析: (I)根据分层抽样的定义,写出比例式,得到男生抽取人数即可. (II)由题意知本题是一个等可能事件的概率,本题解题的关键是利用排列组合写出所有事件 的事件数,及满足条件的事件数,得到概率. 2 (III)计算 K ,同临界值表进行比较,得到有多大把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者 服务与性别有关. 解答: 解: (I)由题意,男生抽取 6× =4 人,女生抽取 6× =2 人;

(II)在(I)中抽取的 6 人中任选 2 人,恰有一名女生的概率 P=

=



(III)K =

2

=8.333,由于 8.333>6.635,所以有 99%的把握认为

该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关. 点评: 本题考查分层抽样方法和等可能事件的概率,独立性检验的应用,属于中档题.

19. (12 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,四边形 ADEF 为梯形,AD∥FE,∠AFE=60°,且 平面 ABCD⊥平面 ADEF,AF=FE=AB= =2,点 G 为 AC 的中点.

(Ⅰ)求证:EG∥平面 ABF; (Ⅱ)求三棱锥 B﹣AEG 的体积; (Ⅲ)试判断平面 BAE 与平面 DCE 是否垂直?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由.

考点: 平面与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 分析: (Ⅰ)取 AB 中点 M,连接 MG,则 EF∥MG,①即得证. (Ⅱ)转换三棱锥 B﹣AEG 为 E﹣ABG 即可求得体积. (Ⅲ)只要证明 AE⊥CDE 即可. 解答: (I)证明:取 AB 中点 M,连 FM,GM. ∵G 为对角线 AC 的中点, ∴GM∥AD,且 GM= AD, 又∵FE∥ AD, ∴GM∥FE 且 GM=FE. ∴四边形 GMFE 为平行四边形,即 EG∥FM. 又∵EG?平面 ABF,FM?平面 ABF, ∴EG∥平面 ABF.…(4 分) (Ⅱ)解:作 EN⊥AD,垂足为 N, 由平面 ABCD⊥平面 AFED,面 ABCD∩面 AFED=AD, 得 EN⊥平面 ABCD,即 EN 为三棱锥 E﹣ABG 的高. ∵在△ AEF 中,AF=FE,∠AFE=60°, ∴△AEF 是正三角形. ∴∠AEF=60°, 由 EF∥AD 知∠EAD=60°, ∴EN=AE?sin60°= . ∴三棱锥 B﹣AEG 的体积为 (8 分) (Ⅲ)解:平面 BAE⊥平面 DCE.证明如下: ∵四边形 ABCD 为矩形,且平面 ABCD⊥平面 AFED, ∴CD⊥平面 AFED, ∴CD⊥AE. ∵四边形 AFED 为梯形,FE∥AD,且∠AFE=60°, ∴∠FAD=120°. .…

又在△ AED 中,EA=2,AD=4,∠EAD=60°, 由余弦定理,得 ED= . 2 2 2 ∴EA +ED =AD , ∴ED⊥AE. 又∵ED∩CD=D, ∴AE⊥平面 DCE, 又 AE?面 BAE, ∴平面 BAE⊥平面 DCE. …(12 分)

点评: 本题考查了线面平行的判定,借助体积的计算考查了线面垂直以及面面垂直的判定 和性质.

20. (12 分)设椭圆

的左右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆 C 上的一 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 .

点,且

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F(﹣1,0) ,交 y 轴于点 M,若 |MQ|=2|QF|,求直线 l 的斜率. 考点: 椭圆的标准方程;直线的斜率;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (1)题设知 F1 和 F2 的坐标,根据 ,推断有 ,设点 A

的坐标为根据原点 O 到直线 AF1 的距离求得 a,进而求得 b.答案可得. (2)设直线斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+1) ,设 Q(x1,y1) ,由于 Q,F,三点共线, 且|MQ|=|2QF|.进而可得(x1,y1﹣k)=±2(x1+1,y) ,求得 x1 和 y1,代入椭圆方程即可求得 k,进而得到直线斜率. 解答: 解: (1)由题设知 F1(﹣ 由于 ,则有 ,0) ,F2( ,所以点 A 的坐标为( ,0) ,其中 a> ,± )

故 AF1 所在直线方程为 y=± (

+ ) , 所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为



又|OF1|=

,所以

=|=

,解得:a=2.

∴所求椭圆的方程为



(2) 由题意可知直线 l 的斜率存在, 设直线斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y=k (x+1) , 故M (0, k) . 设 Q(x1,y1) ,由于 Q,F,三点共线,且|MQ|=|2QF|.

根据题意得(x1,y1﹣k)=±2(x1+1,y1) ,解得



又 Q 在椭圆 C 上,故





解得 k=0,k=±4,综上,直线的斜率为 0 或±4 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系.常需要直线方程和椭圆方程 联立,根据韦达定理求得问题.

21. (12 分)已知函数 f(x)=2ax﹣ ﹣(2+a)lnx(a≥0) . (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)当 a>0 时,讨论 f(x)的单调性; (3)若对任意的 a∈(2,3) ,x1,x2∈[1,3],恒有(m﹣ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成 立,求实数 m 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取 得极值的条件. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用导数判断函数的单调性求得极值即可; (2)分类讨论利用导数法判断函数的单调性; (3)由(m﹣ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|恒成立,等价于(m﹣ln3)a﹣2ln3>|f(x1) ﹣f(x2)|max,利用导数求得其最大值,解不等式求得 m 的取值范围. 解答: 解: (1) 当 a=0 时, (2 分) 由 上是减函数.…(4 分) ∴f(x)的极大值为 ,无极小值.…(5 分) ,解得 ,可知 f(x)在(0, )上是增函数,在( ,+∞) …

.①当 0<a<2 时,f(x)在(0, )和 数;…(7 分) ②当 a=2 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数; ③当 a>2 时, ( f x) 在 和

上是增函数,在

上是减函

…(8 分) 上是增函数, 在 上是减函数 (9

分) (3)当 2<a<3 时,由(2)可知 f(x)在[1,3]上是增函数, ∴ .…(10 分)

由(m﹣ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|对任意的 a∈(2,3) ,x1,x2∈[1,3]恒成立, ∴(m﹣ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|max…(11 分) 即 即 对任意 2<a<3 恒成立,…(12 分) ,∴ .…(14 分) 对任意 2<a<3 恒成立,

由于当 2<a<3 时,

点评: 本题主要考查学生运用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识,考查分类讨论 思想、恒成立问题的等价转化思想的运用能力,属难题. 【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分) 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PO 交圆 O 于 B, C 两点, PA=20, PB=10, ∠BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E. (Ⅰ)求证 AB?PC=PA?AC (Ⅱ)求 AD?AE 的值.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由已知条件推导出△ PAB∽△PCA,由此能够证明 AB?PC=PA?AC. (2)由切割线定理求出 PC=40,BC=30,由已知条件条件推导出△ ACE∽△ADB,由此能求 出 AD?AE 的值. 解答: (1)证明:∵PA 为圆 O 的切线, ∴∠PAB=∠ACP,又∠P 为公共角, ∴△PAB∽△PCA, ∴ ,

∴AB?PC=PA?AC.…(4 分) (2)解:∵PA 为圆 O 的切线,BC 是过点 O 的割线,

∴PA =PB?PC, ∴PC=40,BC=30, 又∵∠CAB=90°,∴AC +AB =BC =900, 又由(1)知 ,
2 2 2

2

∴AC=12 ,AB=6 , 连接 EC,则∠CAE=∠EAB, ∴△ACE∽△ADB,∴ ∴ , . (10 分)

点评: 本题考查三角形相似的证明和应用,考查线段乘积的求法,是中档题,解题时要注 意切割线定理的合理运用. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 直线 l 的极坐标方程是 P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 考点: 简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 坐标系和参数方程. 2 2 分析: 解: (I)利用 cos φ+sin φ=1,即可把圆 C 的参数方程化为直角坐标方程. , 射线 OM: θ= 与圆 C 的交点为 O、 为参数) .以 O 为极点,x 轴

(II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由

,联立即可解得.设(ρ2,θ2)为点

Q 的极坐标,同理可解得.利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出. 解答: 解: (I)利用 cos φ+sin φ=1,把圆 C 的参数方程 ﹣1) +y =1, 2 ∴ρ ﹣2ρcosθ=0,即 ρ=2cosθ.
2 2 2 2

为参数)化为(x

(II)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,由

,解得



设(ρ2,θ2)为点 Q 的极坐标,由

,解得



∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2. ∴|PQ|=2. 点评: 本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24. (选做题)已知 f(x)=|x+1|+|x﹣1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|. 考点: 不等式的证明;带绝对值的函数. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)将函数写成分段函数,再利用 f(x)<4,即可求得 M; (Ⅱ)利用作差法,证明 4(a+b) ﹣(4+ab) <0,即可得到结论.
2 2

解答: (Ⅰ)解:f(x)=|x+1|+|x﹣1|=

当 x<﹣1 时,由﹣2x<4,得﹣2<x<﹣1; 当﹣1≤x≤1 时,f(x)=2<4; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. 所以 M=(﹣2,2) .…(5 分) (Ⅱ)证明:当 a,b∈M,即﹣2<a,b<2, ∵4(a+b) ﹣(4+ab) =4(a +2ab+b )﹣(16+8ab+a b )=(a ﹣4) (4﹣b )<0, 2 2 ∴4(a+b) <(4+ab) , ∴2|a+b|<|4+ab|.…(10 分) 点评: 本题考查绝对值函数,考查解不等式,考查不等式的证明,解题的关键是将不等式 写成分段函数,利用作差法证明不等式.
2 2 2 2 2 2 2 2


推荐相关:

宁夏银川一中2015届高三上学期第六次月考数学试卷(文科)

宁夏银川一中2015届高三上学期第六次月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。宁夏银川一中 2015 届高三上学期第六次月考数学试卷(文科)一、选择题:本大题...


宁夏银川一中2015届高三上学期第六次月考数学(文)试卷word版含答案

暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档宁夏银川一中2015届高三上学期第六次月考数学(文)试卷word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。银川一中 2015 届高三第...


2015届宁夏银川一中高三上学期第二次月考试卷文科数学试

2015 届宁夏银川一中高三上学期第次月考试卷文科数学试考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ...


宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷(文科)

宁夏银川一中2015届高三上学期第次月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。宁夏银川一中 2015 届高三上学期第次月考数学试卷(文科)一、选择题:本大题...


宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷(文科)

宁夏银川一中2015届高三上学期第次月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。宁夏银川一中 2015 届高三上学期第次月考数学试卷(文科)一、选择题:本大题...


宁夏银川一中2015届高三第二次月考数学(文科)试卷

宁夏银川一中2015届高三第二次月考数学(文科)试卷_数学_高中教育_教育专区。银川一中 2015 届高三年级第二次月考 数学试卷(文)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12...


试题精选_宁夏银川一中2015届高三第四次月考数学(文科)试卷_精校完美版

试题精选_宁夏银川一中2015届高三第次月考数学(文科)试卷_精校完美版_高考_高中教育_教育专区。宁夏银川一中 2015 届高三第次月考数学(文科)试卷 第Ⅰ卷一、...


宁夏银川一中2015届高三上学期第一次月考试卷 文科综合 Word版含答案

宁夏银川一中2015届高三上学期第次月考试卷 文科综合 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。银川一中 2015 届高三年级第一次月考 文科综合试卷命题教师:赵敏丽、...


银川一中2013届高三年级第六次月考文科综合试卷 2013

百度文库 教育专区 高中教育 数学1/2 相关文档推荐 宁夏银川一中2013届高三......银川一中 2013 届高三年级第六次月考文科综合试卷 2013.2 第Ⅰ卷(选择题,140...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com