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1-2-5空间几何体 57张


专题二

立体几何初步

空间几何体

考情分析

? 柱、锥、台、球及其简单组合体以及直 观图、三视图等内容是立体几何的基础, 是研究空间问题的基本载体,也是高考 对立体几何部分考查的一个重要方面, 根据对新课标实施地区的高考试卷分析 来看,三视图这一知识点的考查难度有 可能会增大,目前仅以选择题

或填空题 的形式进行考查,

考情分析

? 预测2013年高考可能会以解答题的形 式进行综合考查,同时考查空间几何体 的表面积与体积的计算.解决的策略应 从对空间几何体的整体观察入手,遵循 从整体到局部、具体到抽象的原则认识 空间图形.

要点串讲

? 1.空间几何体的结构特征 ? (1)棱柱的结构特征:棱柱有两个面互相平 行,而其余每相邻两个面的交线都互相平 行. ? (2)棱锥的结构特征:棱锥底面是多边形, 侧面都是有一个公共点的三角形. ? (3)棱台的结构特征:两底面是两个相互平 行且相似的多边形,侧棱的延长线相交于 一点,侧面是梯形.

? (4) 将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一 周,形成的几何体叫做圆柱,这条直线叫 做轴;将直角三角形绕着它的一条直角边 所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做 圆锥,这条直线叫做轴;将直角梯形绕着 它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周, 形成的几何体叫做圆台,这条直线叫做轴; 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周, 形成的几何体叫做球.半圆弧旋转而成的 曲面叫做球面.

? 2.三视图有如下一些规则: ? (1)三视图的正(主)视图、俯视图、侧(左)视 图分别是从物体的正前方、正上方、正左 方看到的物体轮廓的正投影围成的平面图 形.任意一个物体的长、宽、高,一般指 的是物体占有空间的左右、前后、上下的 最大距离.

? (2) 一个物体的三视图的排列规则是,俯视 图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视 图一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面, 高度与正(主)视图一样,宽度与俯视图的宽 度一样.为了便于记忆,通常说“长对正、 高平齐、宽相等”或“正侧一样高、正俯 一样长、俯侧一样宽”. ? 3.画立体图形的直观图的要求不高,只要 会画圆柱、圆锥、正棱柱、正棱锥和正棱 台的直观图即可.

? 4.空间几何体的表面积与体积 ? 圆柱的表面积公式: S = 2πr2 + 2πrl = 2πr(r +l); ? (其中r为底面半径,l为圆柱的高); ? 圆锥的表面积公式: S = πr2 + πrl = πr(r + l)(其中r为圆锥的底面半径,l为圆锥的母线 长); ? 圆 台 的 表 面 积 公 式 : S = π(r′2 + r2 + r′l + rl)(其中r′和r分别为圆台的上、下底面半径, l为母线长);

特殊棱柱 ——正方体、长方体、以及圆柱的体积公 式:V=Sh(S 为底面面积,h 为高); 一般棱柱的体积公式: V=Sh(S 为底面面积,h 为 高); 1 棱锥和圆锥的体积公式:V= Sh(S 为底面面积,h 3 为高);

1 圆台 ( 或棱台 ) 的体积公式: V= (S′+ S′ S + 3 S)h(S′、 S 分别为圆台(或棱台)的上、下底面面积,h 为圆台 (或棱台)的高 ); 4 3 球的表面积和体积公式:S= 4πR , V= πR (R 为 3
2

球的半径).

高频考点
类型一 【例 1】 棱柱、棱锥、棱台 在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可

能是如下各种几何形体的 4 个顶点.这些几何体是 ________(写出所有正确结论的编号). ①矩形;

? ②不是矩形的平行四边形; ? ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面 为等边三角形的四面体; ? ④每个面都是等边三角形的四面体; ? ⑤每个面都是直角三角形的四面体.

? [ 解析 ] ①正确,如图 (1) ;②错,我们找 不到符合题意的不是矩形的平行四边形; ③正确,如图(2);④正确,如图(3);⑤正 确,如图(4).故填①③④⑤.

? [答案] ①③④⑤

【探究 1】 把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个 圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的 比为 ________.

解析:设长方形的一条边长为 x cm,则另一条边长 为(6-x)cm,且 0<x<6,以长为(6-x)cm 的边作为所围 圆柱的高 h,若设圆柱的底面半径为 r,则有 2πr=x,所
? x ?2 x 1 ? ? 以 r= ,因此圆柱的体积 V=π (6-x)= (6x2- 2π 4π ?2π ? 1 3 x ),由于 V′= (12x-3x2), 4π

令 V′=0 得 x=4,容易推出当 x=4 时圆柱的体积取 得最大值,此时圆柱的底面周长为 4 cm,圆柱的高为 2 cm,所以圆柱的底面周长与高的比为 2:1.

答案:2:1

? 点评:由于圆柱的侧面展开图是一个矩形, 所以将一个矩形旋转一圈就得到一个圆 柱.在求圆柱体积的最大值时,将圆柱体 积表示为矩形一边长的函数,求出函数解 析式,然后借助导数求出函数的最大值, 从而得到圆柱的最大体积以及此时矩形的 一边的长,进而得到圆柱的底面周长与高 的比.该题的解答体现了函数思想的应 用.

? 类型二 直观图与三视图 ? 【例2】 如图所示是一个几何体的三视图, 用斜二测画法画出它的直观图.

[分析 ] 由三视图知该几何体是一个简单的组合 体, 它的下部是一个正四棱台, 上部是一个正四棱锥. 几何体为正四棱锥 画正四棱台两 → 与正四棱台的组合体 底面的直观图 画正四棱 → → 成图 . 锥的顶点

? [ 解 ] (1) 画轴.如图 (1) 所示,画 x 轴、 y 轴、 z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. ? (2) 画底面.利用斜二测画法在平面 xOy 内 画出下底面ABCD,在z轴上截取O′,使OO′ 等于三视图中相应的高度,过 O′ 作 Ox 的平 行线O′x′,Oy的平行线O′y′,在平面x′O′y′内 画出上底面A′B′C′D′. ? (3) 画正四棱锥顶点.在 O′z 上截取点 P ,使 PO′等于三视图中相应的高度.

? (4)成图.连接PA′,PB′,PC′,PD′,A′A、 B′B、C′D、D′D,整理得到三视图表示的几 何体的直观图如图(2)所示.

? [点评] 由三视图想象几何体时,要充分结 合正(主)视图、侧(左)视图和俯视图想象几 何体的结构特征.熟知一些基本几何体的 三视图对想象组合体的结构是非常有用 的.

【探究 2】 一个水平放置的三角形 ABC 用斜二测 画法画出的直观图是如图所示的边长为 1 的正三角形 A′ B′ C′,则在真实图形中 AB 边上的高是________, 三角形 ABC 的面积是 ________, 你发现了什么问题吗? 这个发现是 ________.

? 分析:这个图形既然是用斜二测画法画出 来的,而在这里隐藏了坐标系x′O′y′,我们 只要加上这个坐标系,按照斜二测画法的 规则“倒过去”即可得到真实图形.解本 题容易出错的地方:一是加坐标系时方法 选择不当,把坐标系加错,如以A′B′,A′C′ 为坐标系x′O′y′的两个坐标轴,这样坐标系 中的角x′O′y′就是60°了;二是在还原真实 图形时用错了斜二测画法的规则,如把与 横轴平行的线段长度变为原来的二倍或是 不改变与纵轴平行的线段的长度等,都会 导致计算结果的错误.

解析:将△ A′ B′ C′ 放入一个锐角为 45° 的斜角坐标系 x′ O′ y′中,如图(1)所示,将其按照斜二测画法的规则还原 为真实图形,如图 (2)所示,在真实图形中 OA=O′ A′, AB = A′ B′ , OC= 2O′ C′ ,在△ O′ D′ C′ 中, O′ C′ = C′ D′ 6 = ,故在真实图形中 OC= 6,即真实图形中三角 sin45° 2 6 形 ABC 的高为 6,三角形 ABC 的面积是 .由于直观图的面 2 3 3 4 2 积是 ,故直观图和真实图的面积之比是 = . 4 6 4 2

答案: 6

6 2 直观图和真实图的面积之比为 2 4

? 点评: 水平放置的平面图形的直观图的画 法 ? 第一,建立一个坐标系;第二,保持与坐 标轴的平行性不变;第三,长度规则:已 知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保 持长度不变,平行于y轴的线段,长度减为 原来的一半.按照这个规则很容易画出水 平放置的平面图形的直观图,但高考命题 中往往反其道而行之.实际上,上面的三 个规则是 “ 可逆 ” 的,我们可以 “ 逆用规 则 ” 解决这类问题.本题中只要找到了三 角形的三个顶点的位置,问题就解决了.

类型三

几何体的表面积与体积

【例 3】 如图所示,已知正四棱锥 S- ABCD 中,底面 边长为 a,侧棱长为 2a. (1)求它的外接球的体积; (2)求它的内切球的表面积.

[分析] 外接球球心到各顶点的距离相等,内切球球 心到各面的距离相等,两球心都在正四棱锥的高线上. 设外接球 构造三角形 设内切球 利用体积 → → → 球心为 O 求 OA的长 半径为r 相等求 r 求体积、 → 表面积

[解]

(1)如右图所示,连接 AC、 BD 交于点 O1,连

接 SO1,则 SO1⊥平面 ABCD. 设外接球球心为 O,则 O 在高 SO1 上. 连接 OA,则有 |OA|= |OS |, 1 2 在 Rt△ SAO1 中, |AO1|= |AC|= a, 2 2 6 又 |SA|= 2a,∴ |SO1|= a. 2

6 在 Rt△ OAO1 中, OO1= SO1-SO= a- |OA|, 2 又 |AO1|2+ |OO1|2=|OA|2,
? ∴? ? ? ? ? 2 ? ?2 ? 6 ?2 2 a ? +? a- |OA|? = |OA| , 2 ? ?2 ?

6 解得 |OA|= a, 3 6 所以正四棱锥 S- ABCD 的外接球半径为 a, 3
? 4 ? ? 6 ?3 8 6 3 其体积为 π·? a ? = πa . 3 ?3 ? 27

(2)设内切球的半径为 r, 球心为 M, 显然该正四棱锥由 以 M 为顶点的四个三棱锥 (三棱锥 M- SAB,三棱锥 M- SBC,三棱锥 M- SDC,三棱锥 M- SAD)和一个四棱锥 M - ABCD 组成, 这四个三棱锥和一个四棱锥的体积之和等于 该正四棱锥的体积, 在△ SBC 中,作 SE⊥ BC,垂足为 E, 1 7 则 |BE|= a,又 |SB|= 2a,∴ |SE|= a, 2 2

1 7 7 2 ∴ S△ SBC= × a× a= a . 2 2 4 又∵ 4VM- SBC+ VM—ABCD= VS—ABCD, 1 1 1 ∴ 4× × S△ SBC· r+ SABCD· r= × S 正方形 ABCD· 3 3 3 |SO1|, 4 7 2 1 1 2 6 2 ∴ × a· r+ × a · r= a · a, 3 4 3 3 2 42- 6 解得 r= a. 12 所以该内切球的表面积为
? 4π? ?

42- 6 ?2 4- 7 2 a ? = 3 πa . 12 ?

? [点评] 多面体、旋转体与球的外接、内切 问题是高考考查的重点,此类问题多借助 轴截面将立体几何问题转化为平面几何问 题,然后通过解三角形求解.对于多面体 内切球的问题,如本题常通过间接法进行 求解.在本题中,外接球、内切球的球心 都应在高SO1上,那么它们是同一个点吗?

【探究 3】

将一个钢球置于由 6 根长度为 6m 的钢

管焊接成的正四面体的钢架内,那么这个钢球的最大体积 为 ____m3. 分析:求解时,先由题意确定满足条件的正四面体内 的最大钢球的半径,再由球体积计算公式求得其体积.

解析: 设正四面体为 P-ABC,球心为 O,正四面 体的边长和高分别为 a,h,钢球的半径为 R. 由于钢球体积最大时与四个面都相切,显然 OA, OB,OC,OP 将正四面体分割为四个体积相同的四面体 1 O- ABC, O-PAB, O- PBC, O-PCA,所以 ×S 底 3
?1 ? × h= 4×? × S底×R?.所以 ?3 ?

h=4R.

6 1 又 h= a,所以 R= ,所以钢球的最大体积为 3 2 4 3 π V= πR = . 3 6

π 答案: 6

? 点评:本题是一道新颖的求解几何体体积 的典型问题,它与最值问题进行交汇,使 得其问题的能力立意更强了.求解本题最 主要的一点就是要确定出正四面体的内切 球及其半径的大小,而解决这一点利用的 是等积法.等积法是求解立体几何相关问 题的一种重要方法,如求解点到面的距离、 几何体的高、球体的半径等等,等积法的 应用要配合好几何体的分割组合,这是等 积法求解问题的关键点.

好方法好成绩

? 1.正四面体就是棱长都相等的三棱锥,正六 面体就是正方体,连接正方体六个面的中 心,可得到一个正八面体,正八面体可以 看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接 而成.正方体与球有以下三种特殊情形: 一是球内切于正方体;二是球与正方体的 十二条棱相切;三是球外接于正方体.它 们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a, 球的半径为R).

2R=a

2R= 2a

2R= 3a

? 2.一个平面图形在斜二测画法下的直观图 与原图形相比发生了变化,注意原图与直 观图中的“三变、三不变”.三变:坐标 轴的夹角改变,与y轴平行线段的长度改变 (减半),图形改变.三不变:平行性不变, 与 x 轴平行的线段长度不变,相对位置不 变.按照斜二测画法得到的平面图形的直 观图,其面积与原图形的面积有以下关系:
2 S 直观图= S 原图形,S 原图形=2 2S 直 观 图 . 4

3.长方体的外接球 (1)长、宽、高分别为 a、 b、 c 的长方体的体对 角线长等于外接球的直径,即 a2+ b2+ c2= 2R. (2)棱长为 a 的正方体的体对角线等于外接球的 直径,即 3a= 2R.

4.棱长为 a 的正四面体与球 3 6 2 (1)斜高为 a.(2)高为 a.(3)对棱中点连线长为 2 3 2 6 6 a.(4)外接球的半径为 a,内切球的半径为 a.(5)正四 4 12 2 3 面体的表面积为 3a ,体积为 a . 12
2

5.连接棱长为 a 的正方体的四个顶点可以得到一 1 个棱长为 2a 的正四面体,其体积为正方体体积的 . 3

高考陪练
1.(2011· 全国新课标版)在一个几何体的三视图中, 正 ( 主 ) 视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为 ( )

? 解析: 当几何体是半个圆锥和半个棱锥的 组合体时,其侧视图为D. ? 答案:D

? 2. (2011·山东)下图是长和宽分别相等的两 个矩形,给定下列三个命题:①存在三棱 柱,其正(主)视图、俯(左)视图如下图;② 存在四棱柱,其正视图、俯视图如下图; ③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下 图.其中真命题的个数是( )

? A.3 B.2 C.1 ? 解析:①②③均为真命题. ? 答案:A

D.0

? 3.(2011·江西)将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示,则该几何体的左 视图为( )

? 解析: 由左向右的正投影应是 D 中所示图 形. ? 答案:D

? 4.(2011·广东B)如图,某几何体的正视图, 侧(左)视图和俯视图分别是等边三角形,等 腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )
A.4 3 C.2 3 B. 4 D.2

? 解析: 由三视图可知,该几何体是四棱锥, 且底面是菱形,且侧面是等腰三角形,顶 点在底面的射影为底面菱形对角线的交点, 如图P-ABCD, ? △ABD为等边三角形,且边长为2,

∴AO= 3,又∵PA=2 3 ∴PO= PA2- AO2= 3, 1 1 1 ∴V= SABCD· PO= × × 2× 3×2×3= 2 3. 3 3 2

答案:C

5.(2011· 安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则 该几何体的表面积为 ( A.48 C.48+8 17 ) B.32+8 17 D.80

解析: 由三视图可知几何体是底面为等腰梯形的直棱柱, 1 底面等腰梯形的上底为 2, 下底为 4, 高为 4, 两底面积和为 2× 2 × (2+ 4)× 4= 24,四个侧面的面积为 4× (4+ 2+ 2 17)= 24+ 8 17,所以几何体的表面积为 48+ 8 17,故选 C.

答案:C


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