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巧用三角形面积的坐标公式求解高考题


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数 学通 讯— — 2 O 1 5年 第 1 、 2期 ( 上半月)  

?辅 教 导 学 ?  

巧用三角形面积的坐标 公式求解高考题 
任宪伟   蒋长友  

( 山东 省 嘉 祥 县 第 一 中学 洪 山校 区 ,2 7 2 4 0 0 )  

在 高 中数学 教材人 教 B版 中 , 必修 5 第一 章解 


三 角形 1 . 1 . 2余弦 定理后 面 的《 探 索与研 究 》 栏 目   内容为“ 平 行 四 边形 与 三 角形 面 积 的计 算 公 式 ” ,  
一  

迎 8 一 
8 ?

F 

在该栏 目给 出的 三角形 面积 公式 :  

√ c   ) 。 一 4 ?  
一  9
.  

在直角坐标系 . r O y中, - o  ̄一( 口   , n : ) ,   =  


8 鱼

?6  

( 6 l , 6 2 ) , S △   D B= =. ;  I   n l b 2 ~口 2 b l   I .   该公 式 乃 三 角 形 面 积 的 坐标 公 式 , 其 形 式 与  平 面 向量共 线 的充要 条件 的 坐标 公 式特 征 极其 相 
似, 这 样 可 有 益 于对 其 理 解 和 掌 握 ( 可 以 这 样 理 

答案 应选 ( D ) .   例2 ( 2 0 1 4年新 课标 全 国卷 I 理科 数 学 第 
2 0 题 )已 知 点 A( 0 , -2 ) , 椭 圆 E:   +  一 1 ( 口 > 
n   D  

解: 当向量  与商 不共 线时, 三点 0, A, B就能 
构成 三角 形 , 就有其面积; 当 向量  与  共 线  时, 三 点 O, A, B就不 能构成 三 角形 ) .  

6> o )的离心 率为  , F 是椭 圆 的焦 点 , 直线 A F  

的斜 率为 

, O为 坐标原 点.  

倘 若将 该公 式应 用 于求 解解 析 几何 中有 关三  角形 面积 问题时 , 别有 一番 情 趣 , 可 能使 问题更 易 
于求解 . 下 面就将 用 该公 式求 解 2 0 1 4年全 国高考  中 的三个 相关试 题 的过 程展 示 出来 , 以飨读者 .  

(I) 求 E 的方程 

( Ⅱ)设过点 A 的直 线 l 与 E 相 交 于 P, Q两  点, 当 △O PQ 的 面积最大 时 , 求 z 的方 程.  

例 1 ( 2 0 1 4年新课 标 全 国卷 Ⅱ 理 科 数 学第 
1 0 题) 设 F为抛 物线 C: Y   :3 x的焦 点 , 过 F且倾 

解析  ( I ) E的 方程: 鲁+   =1 ( 求解 过程  
略) ;   ( Ⅱ) 依 题意 , 当z - L . X轴 时不合 题 意 , 故设 直 
线 Z : Y— h 一 2,  

斜角为 3 O 。 的直 线 交 C于 A , B 两点 , O为 坐标 原 
点, 则 △O AB 的 面 积 为  (   )  

( A ) 学.( B )   .( c ) 蔓 .( D ) 导 .  
解析  抛物线 C : y 。 =3 x 的焦点为F ( 导, 0 ) ,  

设 P( x , , - y   ) , Q( x 2 ,   2 ) , 贝 0  


= (  。 ,  1 ) ,  

(  2 , Y 2 ) , Y l— k x1 — 2 , Y 2一 如 2— 2 .  

将3 , = = = b一 2 代 人 手+   一1 , 得  
( 1}4 k   ) z 。 一 1 6 k x+ 1 2= = :0 .  

直线A B的 方 程为  =  ( z 一 享 ) , 代人 抛物 线Y 。  
一 3 x, 并整理 得 X . z 一  +  =o .  
= ( zl , Y 1 ),  

当△ 一1   6 ( 4 k 。 一3 ) >0 即k 。 >}时,  
8 k± 2  ̄ / 4 志   一3  
。   — —   一 ’  

设 A( xl , Y 1 ) , B( x 2 , Y 2 ) ,即 

: ( z。 , y   ) , 于 是 z。 + 。一  , z   z 。一  ,  

s △   Ⅺ一  1  I   z l  
=  

2 一  

2   1  

  I

S △ f M B一 ÷ I   z 1 Y 2 一 2 Y 1     l


  ( I 妇  一 2 ) 一z : ( k x 。 一2 )I  

专 J  ? 譬 (   z 一   ) 一 z z ? 譬 ( z   一 导 ) I  
. {   1一   2   .  I  
? 



 

I 一 

,  

一 

即 AO P Q 的面积 为 s △ o 户 Q一 4 _ 

. 

?

辅教 导学 ?  

数 学 通 讯 —— 2 O 1 5年 第 1 、 2期 ( 上 半 月)  

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设 

= 棚 0 £ > o , S △  Q :  

一  

其 坐标 为 ( 1 , 0 ) .  

(I . ) 设 点 B( m - 5 - 。 , m) ( 优≠ £ ) , 根据 三点 A, B,  
—  

≤1 , 当且 仅 当 £ 一2 , 走 一±  时等 号成 立 ,  
—  

t上

D共线可知  / / - B 5. -  

t  

且 满足 △> 0 .   所 以, 当 △O P Q 的 面积 最 大 时 , Z的方程 为 y  
一   一

又  一 ( 2 , 一 £ ) , 百   一 ( 等 + 2 一   7 -   , 一   ) ,  
所 以一2   +£   百 t 2


等+ 2 ) 一 0 , 整 理 得  

2或 y一一 

一2 .  

(   一£ ) E t ( t +  ) +8 ]一 0 .  
而  ≠ t , 则 £ ( £ +  ) + 8— 0 , 解 得  一一 ( £  

例3 ( 2 0 1 4年高考 数 学 山东 卷 理科 第 2 1 题)   已 知抛 物线 C: Y   一2   ( p> 0 )的焦点 为 F, A 为 
C上异 于原 点 的任 意一点 , 过 点 A 的直线 Z 交 C于 

+旦)
.  

t  

另 一点 B, 交 z轴 的正半 轴于 点 D, 且有 l   F A   l — 
l   F D  I . 当点 A 的横坐 标为 3 时, △A DF为 正 三角 
形.  

( I)求 C 的 方 程 ;  

( Ⅱ)若 直线 l 。 / / z , 且 Z  和 c有 且 只有 一个 公 
共 点 E,  

(i) 证 明直 线 AE过 定点 , 并 求 出定点 坐标 ;   (i i ) &A B E 的面积 是否 存在 最小 值 ? 若存 在 ,   请 求 出最小 值 ; 若不 存在 , 请说 明理 r h.   解 析  r h题意 可知点 A在第 一 象 限或第 四象  限, 不 妨设 点 A在第 一象 限 , 抛 物线 C: Y 。 一2 p x(  

故 点 B 的 坐 标 为 ( 丢 ( £ + ÷ )   , 一 ( £ + 孚 ) ) , 则   ( 鲁 一   4 ,   + ÷ ) , 亩一 ( 鲁 +  + 4 , 一 (   + ÷ ) ) , 于 是   s △ 加   一   1   I ( 譬 一   ) [ 一 ( £ + ÷ ) ]  



( £ 十  ) (   + 
t t "

+4 )I  

>o ) 的焦点F的 坐标为( 要, o ) .  
(I) C的方程 为 Y 。一 4 x( 求 解过 程 略) ;   ( Ⅱ) (i ) 设 点 A 的坐标 为 (   , £ ) ( £ > o ) , 则 

1 ( £ + ÷ ) ( 孚 +   + 4 )   ≥ 丢 ? 4 ? ( 4 + 4 ) 一 1 6 ,   当 且 仅 当   一 ÷ , 且 等 一   ( t > o ) , 即 t 一 2  
=  

时等号 成立 .  

故 z G A B E 的面积存在最小值 , 其最小值为 1 6 .  

点 D 的坐标 为 ( 百 t 2 +2 O), k  一 一  t




抛 物 线 c在 

通 过 上述 几 例 可 以看 出 , 利 用 三 角 形 面 积 的 

轴 下 方 的部 分所对 应 的 函数 为 Y一一 2 √ z, 其 导 函 
数为y ' =- -   1 则  一  I 一  一一 。  

坐标公 式求 解关 键在 于确定 三 角形各 点 的坐标 .   对 于 易于求 解 各 点坐 标 的 , 求解 甚是 简 单 , 只 
需直 接利 用公式 求解 即 可 , 比如 例 1 就可 以直接 联  立抛 物线 C和直 线 AB 的方 程求解 出点 A, B的坐 
标进 行求 解.  

3 c  


z   号 ,  
一 一



解得 z  = = =  4 ,   : = : 一了 4 即点 E 的 坐 标 为 (   ,  

一  

而对 于求 解 方程 比较 困难 ( 方 程 的根不 是十 分 
) .  

简便) 或含字母 参数 时可利 用根与 系数 的关 系进 行 

当 譬 ≠   , 即 £ ≠ 2 时 直 线 A E 的 方 程 为   一   处理 :  



合理转 化 , 比如 例 2中 的三 角 形 的 面 积 就 可 这 样 
S △ 尸 0 Q— I  。 一  
一  

I  

4  

1 一  

= 

; 二   (   一 鲁 ) = 。 , 整 理 得   一   ( z 一  
百 一 

/   .1 6   k.    ̄

4 8 _   4    ̄ 4 -3 ;  

1 ) , 过定 点 F( 1 , O )  

再者 , 如果 题 目中含 有 多个 量 , 往 往运 算 较 为  繁琐 , 在 解题时巧 妙设点 的坐标 可 减少 含字 母 参数 

当 鲁 一  , 即 £ = 2 时 直 线 A E 的 方 程 为 z =   的个 数 使 问题 更 宜 求 解 ,比如 例 3的 求 解 就 是 如 此 .  
1 , 也过 点 F( 1 , 0 ) .   于是 直线 A E 过 定点 F( 即抛 物线 的 焦点 F) ,  

( 收 稿 日期 : 2 0 1 4 —1 0 —1 6 )  


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