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直线的方程(2)


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直线与方程

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§3.2 直线的方程

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3.2.2

直线的两点式方程

课前预习目标

课堂互动探究

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课前预习目标
梳理知识 夯实基础

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课前热身 1.直线的两点式与截距式方程.

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两点式 条件 过P1(x1,y1)和P2(x2,y2)两点 截距式 在x轴上截距为a,在y轴上截距 为b

图形 方程 ________________ 适用 范围 不包括________坐标轴的直线 不包括________及垂直于 ________ ________________

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2.线段的中点坐标公式. 若P1(x1,y1),P2(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为 (x,y),则________.

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y-y1 x-x1 x y 1. = + =1 垂直于 过原点 y2-y1 x2-x1 a b 坐标轴的直线

自 我 校

? ?x=x1+x2 2 ? 对 2.? y +y 1 2 ? y = ? 2 ?

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名师讲解 1.直线的两点式方程 直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,且y1≠y2), y2-y1 则直线l的斜率为k= ,由直线的点斜式方程得y-y1= x2-x1 y2-y1 y-y1 x-x1 (x-x1),当y1≠y2时,得 = ,该方程称为直线 x2-x1 y2-y1 x2-x1 的两点式方程.

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若x1=x2,知P1P2与x轴垂直,此时的直线l的方程为x=x1. 若y1=y2,知P1P2与y轴垂直,此时的直线l的方程为y=y1. 另外,我们也可以按下面的思路推导. 设P(x,y)是直线l上异于点P1,P2的任意一点,由于点P, y-y1 y2-y1 P1,P2都在直线l上,则kPP1=kP1P2,即 = ,整理 x-x1 x2-x1 y-y1 x-x1 得 = . y2-y1 x2-x1

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注意 直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线, 若将方程化为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),则可表示经过 这两个点的所有直线.

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2.直线的截距式方程 直线的截距式方程是两点式的特殊情形,此时两点的坐标 x y 为(a,0)和(0,b)(ab≠0),此时方程的形式为a+b=1. 截距式方程在画直线时非常方便. 注意 直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直或过原点 的直线.

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洪雅中学 www.schyzx.net 完成《点金训练》61页自我测评

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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

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典例剖析



直线的两点式方程
已知三角形的三个顶点A(-2,2),B(3,2),

【例1】

C(3,0),求这个三角形的三边所在直线的方程以及AC边上的高 线所在直线的方程.

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【分析】 程的适用范围. 求直线的方程时要选好方程的形式,要注意方

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【解】 如图,直线AC过点

y-0 x-3 A(-2,2),C(3,0),由直线的两点式方程得 = , 2-0 -2-3 整理可得2x+5y-6=0, 这就是所求直线AC的方程. 直线AB经过A(-2,2),B(3,2),由于其纵坐标相等,可知 其方程为y=2,这就是所求直线AB的方程.

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直线BC经过B(3,2),C(3,0),由于其横坐标相等,可知其 方程为x=3,这就是所求直线BC的方程. 0-2 2 由于A(-2,2),C(3,0),∴kAC= =-5. 3-?-2? 由AC边上的高线与AC垂直,设其斜率为k, 5 则k· kAC=-1,得k=2. 5 根据直线的点斜式方程,得y-2= 2 (x-3),即5x-2y-11 =0,这就是所求的AC边上的高线所在直线的方程.

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洪雅中学 www.schyzx.net 练习:求过点M(m,0)和点N(2,1)的直线方程

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直线的截距式方程

【例2】

直线l过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y

轴上截距的3倍,求直线l的方程. 【分析】 设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距

为3b.因为截距可正,可负,可为零,所以应分b=0和b≠0两种 情况解答.

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【解】 (1)当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,

可设直线l的方程为y=kx, ∵直线l过点P(-6,3). 1 ∴3=-6k,k=-2. 1 ∴直线l的方程为y=-2x,即x+2y=0.

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(2)当直线在y轴上的截距不为零时,由题意可设直线l的方 x y 程为3b+b=1, 又直线l过点P(-6,3), -6 3 ∴ + =1,解得b=1. 3b b x ∴直线l的方程为3+y=1. 即x+3y-3=0. 综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0.

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洪雅中学 www.schyzx.net 练习1:已知直线mx+ny+12=0(mn≠0)在x轴,y轴上 的截距分别为-3和4,则mn=

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洪雅中学 www.schyzx.net 练习2:求过点(-2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反 数的直线方程

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洪雅中学 www.schyzx.net 练习1:求过定点(1,1),且在两坐标轴上截距的绝对 值相等的直线的方程

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直线方程的应用

【例3】

求与两坐标轴围成的三角形面积为9,且斜率为

-2的直线方程. 【分析】 依题意知截距不为0,故可设出直线的截距式

方程,利用待定系数法求解.

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【解】 x y 设直线方程为a+b=1,由题意
? ?a=3, 解得? ? ?b=6, ? ?a=-3, 或? ? ?b=-6.

?1 ?2|ab|=9, ? ?-b=-2, ? a

x y x y 所以所求的直线方程为3+6=1,或 + =1. -3 -6

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