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全国高中数学联赛福建赛区2015预赛试题及参考答案


2015 年福建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷
(考试时间:2015 年 5 月 24 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上)
x?4 ? ? 1.设集合 A ? ? x ? 0, x ? Z ? ,从集合 A 中随机抽

取一个元素 x ,记 ? ? x2 ,则随机 x ?3 ? ?

变量 ? 的数学期望 E? ?

。 。

2.已知 f ( x) ? x ? g ( x) ,其中 g ( x) 是定义在 R 上,最小正周期为 2 的函数。若 f ( x) 在区间

4? 上的最大值为 1,则 f ( x) 在区间 ?10 , 12? 上的最大值为 ?2 ,

x2 y 2 3. F1 、 F2 为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若椭圆 C 上存在一点 P ,使 a b

得 PF1 ? PF2 ,则椭圆离心率 e 的取值范围为

。 。

4.已知实数 x , y , z 满足 x2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 24 ,则 x ? 2 y ? 3z 的最小值为 5.已知函数 f ( x) ? x 2 cos 的前 100 项之和 S100 ?

?x
2

,数列 ? an ? 中, an ? f (n) ? f (n ? 1) ( n ? N * ) ,则数列 ? an 。

?

6. 如图, 在四面体 ABCD 中,DA ? DB ? DC ? 2 ,DA ? DB ,DA ? DC , 且 DA 与平面 ABC 所成角的余弦值为
6 。则该四面体外接球半径 R ? 3



7 .在复平面内,复数 z1 、 z2 、 z 3 的对应点分别为 Z1 、 Z 2 、 Z3 。若 z1 ? z2 ? 2 ,

uuu r uuur OZ1 ? OZ 2 ? 0 , z1 ? z2 ? z3 ? 1,则 z3 的取值范围是



8 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ex ( ,则 a 的取值范围 x ? aex )恰 有 两 个 极 值 点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 为 。
x ) ?0 9.已知 f ( x) ? m ? 2x ? x2 ? nx ,若 ? x f ( x ?? ? f (f ( x )) 0 ? ? ?

? ,则 m ? n 的取值范围

为 10.若 sin



?
9

? sin

2? n? 1 4? ? L ? sin ? tan ,则正整数 n 的最小值为 9 9 2 9
1



二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11.求函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的最小值。

y2 ? 1 于 A 、 B 两点。 1) 斜率为 k 的直线 l 交双曲线 C : x ? 12.已知过点 P(0 , 3
2

(1)求 k 的取值范围; (2)若 F2 为双曲线 C 的右焦点,且 AF2 ? BF2 ? 6 ,求 k 的值。

13.如图, I 、D 分别为 △ABC 的内心、旁心, BC 与圆 I 、圆 D 相切,切点分别为 E 、F ,
G 为 AD 与 BC 的交点。
A

(1)求证:

AI GE ? ; AD GF
I M B F G E

(2)若 M 为 EF 中点,求证: AE∥DM 。 (旁心:三角形旁切圆的圆心,它是三角形一个内角的平 分线和其它两个内角的外角平分线的交点。 )

C

D

14.在坐标平面内,横纵坐标都是整数的点称为整点,三个顶点都是整点的三角形称为整
7 ? 2015) 为内心且直角顶点在坐标原点 O 的整点直角三角形 OAB 的 点三角形。求以点 I (2015 ,

个数。 15.若对任意的正整数 m ,集合 ? m , m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 的任意 n ( n ? 3 )元子集中, 总有 3 个元素两两互素,求 n 的最小值。

2

2015 年福建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案
(考试时间:2015 年 5 月 24 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上)
x?4 ? ? 1.设集合 A ? ? x ? 0, x ? Z ? ,从集合 A 中随机抽取一个元素 x ,记 ? ? x2 ,则随机 x ?3 ? ?

变量 ? 的数学期望 E? ? 【答案】 5



【解答】 A ? ? ? 4 , ? 3, ? 2, ?1,,, 0 1 2 ? ,随机变量 ? 的取值为 0,1,4,9,16。 易得, ? 的概率分布列为

?
P

0
1 7

1
2 7

4
2 7

9
1 7

16
1 7



1 2 2 E? ? 0 ? ?1 ? ? 4 ? 7 7 7

9 ?

1 1 ? 1?6 ? 。5 ? 7 7

2.已知 f ( x) ? x ? g ( x) ,其中 g ( x) 是定义在 R 上,最小正周期为 2 的函数。若 f ( x) 在区间

4? 上的最大值为 1,则 f ( x) 在区间 ?10 , 12? 上的最大值为 ?2 ,
【答案】 ∵ ∴ 9 【解答】依题意,有 f ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? g ( x ? 2) ? x ? g ( x) ? 2 ? f ( x) ? 2 。
f ( x) 在区间 ?2 , 4? 上的最大值为 1,



最大值为 7,在区间 ?10 , 12? 上的最大值为 9。 3. F1 、 F2 为椭圆 C :

f ( x) 在区间 ?4 , 6? 上的最大值为 3,在区间 ?6 , 8? 上的最大值为 5,在区间 ?8 , 10? 上的

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若椭圆 C 上存在一点 P ,使 a 2 b2

得 PF1 ? PF2 ,则椭圆离心率 e 的取值范围为



? 2 ? , 1? 【答案】 ? ? ? 2 ? 【解答】设 A 为椭圆 C 的上顶点,依题意有 ?F1 AF2 ? 90? 。



c c2 1 2 ? e ? 1。 ?F2 AO ? 45? , ? 1 。 c2 ? a2 ? c2 , 2 ? , b a 2 2

4.已知实数 x , y , z 满足 x2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 24 ,则 x ? 2 y ? 3z 的最小值为 【答案】
?12



【解答】由柯西不等式,知
2 2 2 2 2 ? 2 ( x ? 2 y ? 3z )2 ? (1? x ? 2 ? 2 y ? 3 ? 3z ) 2 ? ? ? 1 ? ( 2) ? ( 3) ? ? ( x ? 2 y ? 3z ) ? 144 。

3

∴ ∴

x?2 y ?3 z ? ? 1 ,当且仅当 2

x 2y 3y ,即 x ? y ? z ? ?2 时等号成立。 ? ? 1 2 3

x ? 2 y ? 3z 的最小值为 ?12 。

5.已知函数 f ( x) ? x 2 cos 的前 100 项之和 S100 ? 【答案】
10200

?x
2

,数列 ? an ? 中, an ? f (n) ? f (n ? 1) ( n ? N * ) ,则数列 ? an 。

?

【解答】依题意,有 T100 ? ? f (n) ? ? 22 ? 42 ? 62 ? 82 ? L ? 982 ? 1002 ? 4(3 ? 7 ? L ? 99)
n ?1

100

? 4?

3 ? 99 ? 25 ? 5100 。 2



S1 0 0? 2 T 1 0 ?0 f( 1 )? f ( 1 0 ? 1 ) ?2 5 1 ?0 0 ? 0? 0。 1 0 2 0 0
6 。 则该四面体外接球半径 R ? 3

6. 如图, 在四面体 ABCD 中,DA ? DB ? DC ? 2 ,DA ? DB ,DA ? DC , 且 DA 与平面 ABC 所成角的余弦值为 【答案】 。

3

【解答】如图,作 DO ? 面 ABC 于 O ,连结 AO ,并延长交 BC 于 点 E , 连 结 DE 。 则 ? D A E是 DA 与 平 面 ABC 所 成 的 角 ,
co? s DAE ? 6 。 3

∵ DA ? DB ? DC ? 2 , DA ? DB , DA ? DC , ∴ DA ? 面 DBC , O 为 △ABC 的外心,且 AB ? AC ? 2 2 。 ∴
DA ? DE , E 为 BC 中 点 , 结 合 c o s ?D A E?

6 知, 3

AE ? 6 , BE ? AB2 ? AE 2 ? 8 ? 6 ? 2 。
∴ ∴ , DB ? DC 。 B C? 2 B E ? 2 2
DA 、 DB 、 DC 两两互相垂直, 四面体外接球半径 R ? 3 。

7 .在复平面内,复数 z1 、 z2 、 z 3 的对应点分别为 Z1 、 Z 2 、 Z3 。若 z1 ? z2 ? 2 ,

uuu r uuur OZ1 ? OZ 2 ? 0 , z1 ? z2 ? z3 ? 1,则 z3 的取值范围是
【答案】



3? ?1,

【解答】设 z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ( i 为虚数单位) , ∵ ∴

uuu r uuur z1 ? z2 ? 2 , OZ1 ? OZ 2 ? 0 ,
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 2 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

4

2 2 z1 ? z2 ? ( x1 ? y1 )2 ? ( x2 ? y2 ) 2 ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) ? 2 。

设复数 z1 ? z2 对应的点为 P 。由 z1 ? z2 ? z3 ? 1知,点 Z3 在以 P 为圆心,1 为半径的圆上。 又 OP ? 2 ,因此, 2 ?1 ? OZ3 ? 2 ?1 ,即 z3 的取值范围是 ?1, 3? 。 为 【答案】 。
1 ( 0, ) 2

8 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ex ( ,则 a 的取值范围 x ? aex )恰 有 两 个 极 值 点 x1 , x2 ( x1 ? x2 )

【解答】 f ?( x) ? ex ( x ? aex ) ? ex (1 ? aex ) ? ( x ? 1 ? 2aex )ex 。 依题意, f ?( x) ? ( x ?1 ? 2aex )ex ? 0 有两个不同的实根。 设 g ( x) ? x ? 1 ? 2aex ,则 g?( x) ? 1 ? 2aex , g ( x) ? 0 有两个不同的实根。 若 a ? 0 ,则 g ?( x) ? 1 , g ( x) 为增函数, g ( x) ? 0 至多 1 个实根,不符合要求。 若 a ? 0 ,则当 x ? ln ∴ ∴
1 1 时, g ?( x) ? 0 ; x ? ln 时, g ?( x) ? 0 。 2a 2a

1? ? ? 1 ? g ( x) 在区间 ? ?? , ln ? 上为增函数, ?ln , ? ? ? 上为减函数。 2a ? ? ? 2a ?
g ( x) 的最大值为 g (ln
1 1 1 ) ? ln ? 1 ? 1 ? ln 。 2a 2a 2a

又 x ??? 时, g ( x) ? x ? 1 ? 2aex ? ?? ; x ??? 时, g ( x) ? x ? 1 ? 2aex ? ?? 。 ∴ 当且仅当 g (ln
1 1 1 ) ? ln ? 0 ,即 0 ? a ? 时, g ( x) ? 0 恰有 2 个不同的实根。 2a 2a 2

g ( x) ? 0 ,f ?( x) ? 0 ; g ( x) ? 0 , 设 g ( x) ? 0 的两根为 x1 , 。 则 x ? x1 时, x( x1 ? x2 ) x1 ? x ? x2 时, 2

f ?( x) ? 0 ; x ? x2 时, g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 。

∴ ∴

x1 为 f ( x) 的极小值点, x2 为 f ( x) 的极大值点。 0 ? a ?
1 a 的取值范围为 (0 , ) 。 2
x ?? ?

1 符合要求。 2

x ) ?0 9.已知 f ( x) ? m ? 2x ? x2 ? nx ,若 ? x f (

f (f ( x )) 0 ?

? ?

? ,则 m ? n 的取值范围

为 【答案】



4? ?0 ,
x

【解答】设 x1 ? ? x f ( x) ? 0 ? ,则 f ( x1 ) ? m ? 2 1 ? x12 ? nx1 ? 0 。 ∴ ∴

f ( f ( 1x ) ? )

f (0 ?) m ? 。0

f ( x) ? x2 ? nx , f ( f ( x)) ? f ( x2 ? nx) ? ( x2 ? nx)2 ? n( x2 ? nx) ? ( x2 ? nx)( x2 ? nx ? n) 。

由 ? x f ( x) ? 0 ? ? ? x f ( f ( x)) ? 0 ? 知, 方程 x2 ? nx ? n ? 0 的解集 A 是方程 x 2 ? nx ? 0 的解集
5

B 的子集。

若 A ? ? ,则 △ ? n2 ? 4n ? 0 , 0 ? n ? 4 。
2 ? ? x0 ? nx0 ? n ? 0 若 A ? ? ,设 x0 ? A ,则 ? 2 ,得 n ? 0 。 x ? nx ? 0 ? 0 ? 0

又 0 ? n ? 4 时, ? x f ( x) ? 0 ? ? ? , 所以, 0 ? n ? 4 。 m ? n 的取值范围是 ?0 , 4? 。 10.若 sin 【答案】

?
9

? sin

2? n? 1 4? ? L ? sin ? tan ,则正整数 n 的最小值为 9 9 2 9



4

【解答】由 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? , cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,知
2sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 。



2 sin ? 9 2sin

?

si n? 18

?

co? s 18

?

3 ? c, os 18

2? ? 3? 5? ? sin ? cos ? cos , 9 18 18 18

……………
2sin n? ? (2n ? 1)? (2n ? 1)? ? sin ? cos ? cos 9 18 18 18 2? n? ? ? (2n ? 1)? ? L ? sin ) ? sin ? cos ? cos 。 9 9 18 18 18

上述各式左右两边分别相加,得
2(sin

?
9

? sin

∴ ∴ ∴

2?

1 4 ? ? tan ? sin ? 2 9 18

c o s? 18

?

(n 2? 1? ) ? ? (2n ? 1)? c o s , cos ? cos ? cos 。 18 18 18 18

(2 n? 1 ?) (2n ? 1)? ? cos ? , 0 ? k? ? ( k ? Z ) , n ? 9k ? 4 ( k ? Z ) 。 18 18 2

正整数 n 的最小值为 4。

6

二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11.求函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的最小值。 【解答一】由 4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0 ,得 x ? ∴
1 3 或x? 。 2 2

1? ?3 ? ? 函数的定义域为 ? ?? , ? ? ? , ? ??。 2? ?2 ? ? 8x ? 8

………………………
? 2? 4x ? 4 4 x2 ? 8x ? 3

5分

记 y ? f ( x) ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 ,则 f ?( x) ? 2 ? 当x? ∴

2 4 x2 ? 8x ? 3

3 ?3 ? 时,易知 f ?( x) ? 0 。 f ( x) ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 在 ? , ? ? ? 上为增函数。 2 ?2 ? 3 3 时, f ( x) 的最小值为 f ( ) ? 3 。 2 2

x?

…………………………

10 分

当x? ∴

1 4x ? 4 4(1 ? x) 4(1 ? x) 时, f ?( x) ? 2 ? ? 2? ? 2? ?0。 2 2 2 2(1 ? x) 4 x ? 8x ? 3 4( x ?1) ?1

1 1 1? ? f ( x) 在 ? ?? , ? 上为减函数, x ? 时, f ( x) 的最小值为 f ( ) ? 1 。 ……… 15 分 2 2 2? ?

综合得,函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的最小值为 1。 【解答二】函数化为 y ? (2 x ? 2) ? (2 x ? 2) 2 ? 1 ? 2 。 由 (2 x ? 2)2 ? 1 ,知 2x ? 2 ? 1 ,可设 2 x ? 2 ?

………………

20 分

1 ? ? ( ? ? ? ? ,且 ? ? 0 ) sin ? 2 2

………………………… 当0 ?? ?

5分

?
2

时, y ?

? 3 1 1 1 ? cos ? 1 ? ?1 ? 2 ? ?2? ? 2 ,当 ? ? ,即 x ? 时, 2 ? 2 2 sin ? sin ? sin ? tan 2
……………………… 10 分

y 取最小值 3。

当?

?
2

? ? ? 0 时, y ?

? 1 1 1 1 ? cos ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? tan ? 2 ,当 ? ? ? ,即 x ? 2 2 2 sin ? sin ? sin ? 2
………………………… …………………… 15 分 20 分

时, y 取最小值 1。 综合得,函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的最小值为 1。 或换元后利用导数求解。

7

【解答三】由 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 ,得 ( y ? 2 x)2 ? 4 x2 ? 8x ? 3 , ∴
2 2 , y 2 ? 4 x y? 4 x ?4 x ? 8 x? 3x?

y2 ? 3 。 4y ?8

…………………… ………………… ……………

5分 10 分 15 分

依题意,有 y ? 2 x ,因此, ∴

y2 ? 3 1 ? y。 4y ?8 2

y?

( y ? 3)( y ? 1) y2 ? 3 ? 0 ,解得 1 ? y ? 2 或 y ? 3 。 ? 0, 2( y ? 2) 2y ? 4
1 。 2

将 y ? 1 代入方程 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 ,解得 x ? ∴ ∴

y ? 1 在函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的值域内。

函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的最小值为 1。

…………………………

20 分

8

y2 ? 1 于 A 、 B 两点。 12.已知过点 P(0 , 1) 斜率为 k 的直线 l 交双曲线 C : x ? 3
2

(1)求 k 的取值范围; (2)若 F2 为双曲线 C 的右焦点,且 AF2 ? BF2 ? 6 ,求 k 的值。 【解答】 (1)设 l 方程为 y ? kx ? 1 。

? 2 y2 ?1 ?x ? 由? ,得 (3 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 4 ? 0 ……… ①。 3 ? y ? kx ? 1 ?
∵ ∴ ∴ 直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点,
2 ? ? 3? k ? 0 ,解得 ?2 ? k ? 2 ,且 k ? ? 3 。 ? 2 2 △ ? 4 k ? 16(3 ? k ) ? 0 ? ?

k 的取值范围为 (?2 , ? 3) ? (? 3 , 3) ? ( 3 , 2) 。

……………

5分

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 。则 x1 ? x2 ? ∴
2 2 AF ( x 2 ? 1 ?2 ) ? y 1 ? 2 1

2k ?4 , x1 x2 ? 。又 F2 (2 , 0) , 2 3? k 3? k2

2 x ?4 x ?3 ) ? 2 x ?1 BF2 ? 2x2 ?1 。 1 ?4 ?( 3 x 1 1 ,

………………………… ∵ ∴
(2 x1 ? 1 ) (x2 2 ? ? 1 ) x1 4 x2 ? ?1 6 x2 ( x2 ? ) ? 12 1? 3? k 4 k ? 2 3? k k2 ? 4 k? 13 ? ? 1? 2 , 3? k

10 分

k 2 ? 3 时, (2x1 ?1)(2 x2 ?1) ? 0 ,

AF2 ? BF2 ? 2x1 ?1 ? 2x2 ?1 ? (2x1 ?1) ? (2x2 ?1) ? 2 x1 ? x2
? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?
由 AF2 ? BF2 ? 6 ,得 ∴
k 2 ? 1 , k ? ?1 。

4 3 ? 4 ? k2 。 3? k2

11 4 3 ? 4 ? k2 。 ? 6 ,解得 k 2 ? 1 或 k 2 ? ? 3 (舍去) 2 3 3? k

……………………………

15 分

3 ? k 2 ? 4 时, (2x1 ?1)(2 x2 ?1) ? 0 ,

AF2 ? BF2 ? 2x1 ?1 ? 2x2 ?1 ? (2x1 ?1) ? (2x2 ?1) ? 2 x1 ? x2 ?1 ? 2
由 AF2 ? BF2 ? 6 ,得 2

2k ?1 。 3? k2

3 1 ? 13 2k ,均不符合, ? 1 ? 6 ,解得 k ? ?2 或 k ? 或 k ? 2 2 2 3? k

舍去。此时,满足条件的 k 不存在。 综上可得, k 的值为 1 或 ?1 。 …………………………… 20 分

9

13.如图, I 、D 分别为 △ABC 的内心、旁心, BC 与圆 I 、圆 D 相切,切点分别为 E 、F ,
G 为 AD 与 BC 的交点。
A

(1)求证:

AI GE ? ; AD GF
I M B F G E

(2)若 M 为 EF 中点,求证: AE∥DM 。 (旁心:三角形旁切圆的圆心,它是三角形一个内角的平 分线和其它两个内角的外角平分线的交点。 ) 【解答】 (1)设圆 I 、圆 D 的半径分别为 r 、 R , 则
AI r ? 。 AD R

C

…………………… 5 分
AI IP r ? ? 。 ) AD DQ R

(作 IP ? AB 于 P , DQ ? AB 于 Q ,则

由条件知, A 、 I 、 D 三点共线, IE ? BC , DF ? BC 。 ∴ ∴
IE ∥ DF ,

D A

GE IE r ? ? 。 GF DF R

P I M B Q F N G E C

AI GE ? 。 AD GF

………………… 10 分

(2)由 即 ∴ ∵

AI GE GI AI ? GI GE ? ? ? ,得 , AD GF GD AD ? GD GF

AG GE ? 。 AD ? GD GF
AG ? A D? G D ? AG
M 为 EF 中点,

GE 。 ………… 15 分 G?F G E

D

GF ? GE ? MF ? MG ? (ME ? MG) ? 2MG ,



AG GE AG GE ? ? ,即 。 2 DG 2 MG DG GM
AE ∥ DM 。

结合 ?EGA ? ?MGD ,可得 △EGA ∽△MGD 。因此, ?GEA ? ?GMD 。 ∴ ………………………………… 20 分
∥ D F, M 为 EF 中 点 知 , MN∥IE∥DF , 且 另 解 : 设 ID 的 中 点 为 N , 则 由 I E

MN ?

1 ( DF ? IE ) 。 2 AI IE AI IE AI IE AI IE ? ? ? ? ,可得 , ,即 。……… 15 分 AD DF AD ? AI DF ? IE 2 DN 2 MN DN NM



又 ?AIE ? ?DNM 。 ∴ ∴
△A I E ∽△ D N , M ?EAI ? ?MDN 。
AE ∥ DM 。
10

………………………………… 20 分

14.在坐标平面内,横纵坐标都是整数的点称为整点,三个顶点都是整点的三角形称为整 点三角形。求以点 I (2015 , 7 ? 2015) 为内心且直角顶点在坐标原点 O 的整点直角三角形 OAB 的 个数。 【答案】不妨设点 A 在第一象限。

? tan ? ? 1 7 ? 1 3 ? ? 。 设 ?xOI ? ? ,则 tan ? ? 7 ,直线 OA 的斜率 kOA ? tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? 1 ? 7 4

4 kOB ? ? 。 3

……………………… 5 分

由 A 、 B 为整点,设 A(4t1 , 3t1 ) , B(?3t2 , 4t2 ) ,其中 t1 , t 2 为正整数。 ∴ ∵

O A ? 5 1t, OB ? 5t2 。
△O A B 内切圆的半径 r ?

2 2 OI ? ? 5 2 ? 2015 ? 5 ? 2015 。 2 2

又r ?
AB
2

OA ? OB ? AB , AB ? OA ? OB ? 2r , 2
? ( OA ? OB ? 2r ) 2 ? OA
2

? OB

2

。 ………………… 10 分

∴ ∴ ∴

2 。 ( 5 t1 ? 5 t2 ? 2? 5 ? 2 021 5 ? ) t21 2 ? 5 t 25 2。 2 。 ( t1 ? t2 ? 2 ? 2015 )2 ? t12 ? t2

设 t1 ? x ? 2015 , t2 ? y ? 2015 ,则 ( x ? y )2 ? ( x ? 2015)2 ? ( y ? 2015)2 。

xy ? 2015x ? 2015 y ? 20152 , ( x ? 2015)( y ? 2015) ? 2 ? 20152 ? 2 ? 52 ?132 ? 312 。
……………………………
2 2 2

15 分

由 OA ? 2r , OB ? 2r 知, x ? 2015 , y ? 2015 为正整数,又 2 ? 5 ?13 ? 31 的正因数有
2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 54 个。

∴ ∴

y) 有 54 组。 符合条件的 ( x ,

符合条件的三角形有 54 个。

……………………… 20 分

11

15.若对任意的正整数 m ,集合 ? m , m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 的任意 n ( n ? 3 )元子集中, 总有 3 个元素两两互素,求 n 的最小值。 【答案】考察集合 ? 1,,, 2 3 L, 100 ? ( m ? 1 时)的 67 元子集: 。 P ? ? 2 ,,, 4 6 L, 100 ,,, 3 9 15 , L, 99 ?(偶数与被 3 整除的奇数) 显然 P 中不存在 3 个两两互素的元素。 ∴
n ? 67 不符合要求。

…………………… 5 分

引理:对任意的正整数 m ,集合 ? m , m ?1, m ? 2, m ? 3, m ? 4, m ? 5 ? 的任意 5 元子集中, 总有 3 个元素两两互素。 引理的证明:设集合 A 是集合 ? m , m ?1, m ? 2, m ? 3, m ? 4, m ? 5 ? 的一个 5 元子集。 ∵ ∴

m , m ? 1 , m ? 2 , m ? 3 , m ? 4 , m ? 5 这 6 个数中,3 奇 3 偶,恰有 1 个 5 的倍数。
若 A 中含有 3 个奇数,则这 3 个奇数必两两两互素,结论成立。

若 A 中元素为 2 奇 3 偶。 由于 3 个偶数中至多有 1 个为 3 的倍数,至多有 1 个为 5 的倍数。 因此,3 个偶数中必有 1 个数既不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数,它与 2 个奇数两两互素。结 论成立。 ∴ 引理成立。 …………………… 10 分 对任意的正整数 m ,将集合 ? m , m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 划分成如下 17 个集合:

A1 ? ? m , m ?1, m ? 2, m ? 3, m ? 4, m?5 ?, A2 ? ? m ? 6 , m? 7, m ? 8, m ? 9, m ?10 , m ?11 ? ,
……………

A16 ? ? m ? 90 , m ? 91, m ? 92 , m ? 93 , m ? 94 , m ? 95 ?,
显然上述 17 个集合的两两交集为空集,并集为集合 ? m , m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 。 设集合 M 是集合 ? m , m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 的 68 元子集。 若集合 M 有 4 个元素来自集合 A17 。由于 m 为奇数时, m ? 96 、 m ? 97 、 m ? 98 两两互素;

A17 ? ? m ? 96 , m ? 97 , m ? 98 , m ? 99 ? 。

………………………

15 分

m 为偶数时, m ? 97 、 m ? 98 、 m ? 99 两两互素。因此, M 中至少有 3 个元素两两互素。 若集合 M 至多 3 个元素来自集合 A17 。则 M 至少有 65 个元素来自集合 A1 、 A 2 、…、 A16 。
根据抽屉原理,M 至少有 5 个元素来自同一个集合,不妨设它们来自集合 A1 。由前面的引理可 知,它们中存在 3 个两两互素的元素。 ∴ ∴ ∴ 集合 M 中总有 3 个两两互素的元素。
n ? 68 符合要求,即对任意的正整数 m ,集合 ? m , m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 的任意 68

元子集中,总有 3 个元素两两互素。

n 的最小值为 68。

…………………………

20 分

12


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