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2014年湖南省高中数学竞赛真题及答案解析(A卷)word


2014 年湖南高中数学竞赛试卷
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.设 M ? {a | a ? x2 ? y 2 , x, y ? Z} ,则 A. 9 ? M ,10 ? M B. 9 ? M ,10 ? M 2. 设条件 p :实数 m, n 满足 ? ( C. 9 ? M ,10 ? M D. 9 ? M ,10 ? M )

r />
?2 ? m ? n ? 4, ?0 ? m ? 1, 条件 q :实数 m, n 满足 ? 则 ( ) ?0 ? mn ? 3; ?2 ? n ? 3. A. p 是 q 的充分不必要条件 B. p 是 q 的必要不充分条件 C. p 是 q 的充要条件 D. p 既不是 q 的充分条件又不是 q 的必要条件 3. 若 {an } 是等差数列,若 a1 ? 0, a2013 ? a ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大 2014 ? 0, a 2013 ? a 2014 自然数 n 是 ( ) A. 4025 B. 4026 C. 4027 D. 4028 1? 3 1? 3 4. 给定平面向量 a ? (1,1) ,平面向量 b ? ( ) , ) 是向量 a 经过 ( 2 2 A.顺时针旋转 60 所得 B.顺时针旋转 120 所得 C.逆时针旋转 60 所得 D.逆时针旋转 120 所得 5. 在如图所示的三棱柱中,点 A 、 BB1 的中点 M 及 B1C1 的中点 N 所决定的平面
把三棱柱割成体积不同的两部分,则较小部分与原三棱柱的体积之比为 ( )

12 D. 23 * 2 2 2 O 6. 已知圆 C : x ? y ? r ,两点 P、P 在以 为起点的射线上,并且满足 | OP | ? | OP* |? r 2 ,则称 P、P* 关于圆对称,那么双曲线 x2 ? y 2 ? 1上的点 P( x, y) 关于圆 C : x2 ? y 2 ? 1 的对称点 P* 所满
足的方程是 A. x ? y ? x ? y
2 2 4 2 2 4 4 4

23 A. 36

13 B. 36

13 C. 23

( B. x ? y ? ( x ? y )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

C. x ? y ? 2( x ? y )

D. x ? y ? 2( x ? y )

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分) 7.已知 f ( x) ? x2 ? 53x ? 196? | x2 ? 53x ? 196 | ,则 f (20) ? f (14) ? ________________. 8.已知 0 ? x ?

?

2 4 a ? b ? c ? _______________. 9.不等式 | x |3 ?2 x2 ? 4 | x | ?3 ? 0 的解集是__________________.

,sin x ? cos x ?

?

, 若 tan x ?

1 a 可以表示成 的形式( a, b, c 为正整数),则 tan x b ?? c

10. 已 知 一 无 穷 等 差 数 列 中 有 3 项 ( 顺 序 排 列 单 不 一 定 相 连 ) : 13,25,41. 则 可 以 判 断 得 出 2013_________(填“是” 、 “不是”或“不能确定”)数列中的一项. 11.随机摸选一个三位数 I ,则 I 含有因子 5 的概率为_______________.

?x ? y ? 0 ? 2 2 2 12.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 . 若不等式 a( x ? y ) ? ( x ? y) 恒成立,则实数 a 的最大值是 ?y ?3 ? 0 ?
_____________. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 72 分) *13.(本小题满分 16 分)已知 O 为 ?ABC 的内部一点, ?BAO ? ?CAO ? ?CBO ? ?ACO ,试 研究 ?ABC 的三边满足的关系,并证明你的结论.

14.(本小题满分 16 分)某旅游区每年各月份接待的人数近似的满足周期性规律,即第 n 个月从事 旅游服务工作的人数 f ( n) 可近似地用函数 f (n) ? 100[ A cos(?n ? ? ) ? k ] 来刻画, 其中正整数 n 表
* 示月份且 n ? N .例如 n ? 1 表示 1 月份, A 和 k 是正整数, ? ? 0, ? ? (0,

?
2

) .统计发现,该地区每

年各月份从事旅游服务工作的人数有以下规律: ①每年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同; ②该地区从事旅游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差 400 人; ③2 月份该地区从事旅游服务工作的人数约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试根据已知信息,确定一个符合条件的 f ( n) 的表达式; (2)一般地,当该地区从事旅游服务工作的人数在 400 或 400 以上时,该地区也进入了一年中 的旅游“旺季” ,那么一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”?请说明理由.

15.(本小题满分 20 分)若实数 x0 满足 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x ? x0 为函数 f ( x ) 的一个不动点.已知

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 3 (其中 a , b 为常数)有互异的两个极值点 x1 和 x2 .试判断是否存在实数组 ( a, b) ,使得 x1 和 x2 皆为不动点,并证明你的结论.

16. ( 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列 {xn } 满 足 xn?2 ? 2 xn? 1 ? xn, x , 数 列 { yn } 满 足 1 ? 2, x 2? 6 ,求证:存在正整数 n0 ,使得对任意 n ? n0 都有 xn ? yn . yn?2 ? yn? 1 ? 2 yn, y1 ? 3, y2? 9


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