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圆的极坐标方程教学案例


《圆的极坐标方程》案例
一、教学目标: 知识目标:认识曲线的极坐标方程的条件,比较与曲线的直角坐标方程的 区别与联系,掌握各种圆的极坐标方程,能根据圆的极坐标方程 画出其对应的图形 能力目标: 通过求圆的极坐标方程,培养学生的转化能力和全面分析问题 的能力,帮助学生进一步认识极坐标系的作用。 情感目标: 通过求圆的极坐标方程.培养学生数与形相互联系,对立统一 的辩证唯物

主义观。 二、情景描述: 1、回顾旧知 师:在上一节课, 我们已经学习了极坐标的定义及如何进行极坐标与直角坐 标的互化。那大家回顾一下,我们是如何建立极坐标? (学生思考片刻后,教师提问并板书。 ) 生1:在平面内取任意一点 O,引一条射线 OX,选定一个单位和角度单位及它的正方向, 建立起来的坐标为极坐标。 师:那怎样表示极坐标系里的点 M 的坐 标? 生2:用有序数对 ( ? ,? ) 表示 M. 师:那这里的 ? 跟 ? 分别代表什么意思? 生2: ? 表示点 M 到极点 O 的距离, ? 表示以 OX 为始边,射线 OM 为终边的 角。 师:上一节课,我们已经学习了极坐标与直角坐标的互化,那么,它们的互 化公式是什么? 生3:直角坐标化为极坐标 ? 2 ? x 2 ? y 2 , tan ? ? 极坐标化为直角坐标 x ? ? cos?
y ( x ? 0) x y ? ? sin ?

M
? O

.
? X

,

师: 这些是我们上一节课所学习的极坐标知识。在前面我们已经学习了简单 曲线的直角坐标方程。 这一节课开始, 我们将共同来探讨简单曲线的极坐标方程。 【设计意图】 由极坐标系的定义、极坐标的表示以及极坐标与直角坐标的互 化导入新课, 一方面是对已经学习的知识点的复习巩固,另一方面是因为这部分 的知识与新课内容有很大的联系,除了能自然地过渡到新课内容,还有利于新知 识的学习。 2、共探新知

师:在平面直角坐标系中,平面曲线 C 可以用方程 f(x,y)=0 表示,曲线与方 程满足如下关系: ①曲线 C 的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解; ②以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点. 师:那么,在极坐标系中,平面曲线是否可以用方程 f(ρ ,θ )=0 表示呢? 我们一起来探讨一下下面的问题。 探究:如图,半径为 a 的圆的圆心坐标 为(a,0)(a>0), 你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(?,?)满足的条件吗? (多媒体演示,学生思考,互相讨论) 师: 大家先回忆一下我们在直角坐标系 中求曲线方程的一般步骤。 生众: 建系→设点→列式→化简→结论 师:其实,采用相同的办法,我们可以求极坐标系中曲线的方程。我们可以 以点 O 为极点, Ox 为极轴建立如右图所示的极坐标系, 设圆与极轴的另一个交点为 A ,那么 | OA |? ? 生众:2a 师: 设 M ( ? ,? ) 为圆上除点 O , A 以外的任意一点,则 OM ? 生众:AM 师:在 RT ?AMO 中, | OM |? ? ,即 ? ? ? 生众: | OM |? ? , ? ? OA ? cos? ? 2a cos? · · · · · ·① 师:注意,我们可以可以验证,点 O (0,0) , A (2a,0) 的坐标满足等 式①,也就是说等式①就是圆上任意一点的极坐标 ( ? ,? ) 满足的条件。 , 师:像这样(1)曲线 C 的点的极坐标都是方程 f(ρ,θ )=0 的解; (2)以方程 f(ρ,θ )=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. 那么方程 f(ρ ,θ )=0 叫做曲线 C 的极坐标方程 【设计意图】 由直角坐标系中求曲线的方程的一般步骤类比出求曲线的极坐 标方程的一般步骤, 从而得到如何求曲线极坐标方程的思路。由上述例子得到曲 线的极坐标方程的定义,层层递进,有利于我们对知识点的理解。 (教师板书) 曲线的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任意一点的 极坐标中至少有一个满足方程 f ( ? ,? ) ? 0 ,并且坐标适合方程 f ( ? ,? ) ? 0 的点都 在曲线 C 上,那么方程 f ( ? ,? ) ? 0 叫做曲线 C 的极坐标方程. 师:那么,在极坐标系中,求曲线的极坐标方程的一般步骤是什么? ? ? ? A M

O

C(a,0)

x

生众:建系→设点→列式→化简→结论 师:很好。我们来看一下下面的例题。 3、例题讲解与练习 例1 已知圆 O 的半径为 a (a>0),建立怎样的极坐标系,可以使圆的极坐 M ρ O θ x 标方程最简单? 师:大家有什么想法没有啊? 生众:可以以圆心 O 为极点,建立极坐标系。 师:很好。那么,圆上的各点的几何特征是什么? 生众:它们的极径都等于半径 r 师:很好,那我们一起来解这道题。 (教师板书演示) 解:以圆心 O 为极点,从 O 出发的一条射线为极轴建立坐标系, 设 M(ρ,θ)为圆上任意一点,则 ρ=a 为所求圆的极坐标方程。 师:显然,使极点与圆心重合的圆的极坐标方程在形式上比较简单。圆的极 坐标方程除了上述两种形式还有其它形式。我们来看下面的这个问题。 思考:在极坐标系中,圆心 C 在 ( ? 0 ,? 0 ) ,半径为 r,求圆的极坐标方程。 师:我们已经知道求曲线方程的一般步骤。 生众:建系→设点→列式→化简→结论 师: 很好, 我们就按照这样的步骤来试着求一下满足上述条件圆的极坐标方 程。第一步是要建立极坐标系并画出满足条件的圆。 (教师一边讲解一边板书) 解:如图,建立极坐标系并作圆 C 使其圆心 为 ( ? 0 ,? 0 ) ,则 OC ? ?0

, ?COX ? ?0

M

设 点 M 的 坐 标 为 ( ρ , θ ), 则

OM ? ? , ?MOX ? ?
师:除上述条件,还有其他的条件吗? 生众: MC ? r , ?MOC ? ? ? ? 0 师:那这个问题可以转化为哪一类问题? 生众:解三角形问题。

ρ
?0

C

ρ

0

O

X

师:在△MOC 中,我们知道有哪一些已知条件,能运用哪些知识点求解? 生众:已知三条边和一个内角,可以用余弦定理求解。 在△MOC 中,由余弦定理得 MC 即 ?0 ? ? 2 ? 2?0 ? cos(? ? ? 0 ) ? r 2
2
2

? OM

2

? OC ? 2 OM OC cos ?MOC

2

师:这就是对于圆心在任意位置 ( ? 0 ,? 0 ) ,半径为 r 的圆的极坐标方程。

【设计意图】由圆心在某些特殊点的极坐标方程的探究到圆心在任意点的极 坐标的方程的探究, 由特殊过渡到一般,使学生明确曲线的极坐标方程的求解思 路,能解答圆心在任意点的圆的极坐标方程。 师:那么,大家一起来动动手。 练习:在极坐标系中,求适合下列条件的圆的极坐标方程

? (1) 圆心在 A (1, ) ,半径为1的圆; 4
(2) 圆心在 ( a , ? ) ,半径为 a 的圆。
2

(学生做题,教师巡视,挑选部分学生作品进行展示并讲解) 【设计意图】测试学生对于已经学习的知识的掌握情况,有利于及时反馈学 生的学习情况,从而纠正学生的错误,加深学生对知识点的理解与掌握。 师:那我们一起来探讨下列的极坐标方程表示什么曲线。

?? ? (1) ? ? 2 cos?? ? ? 4? ? (2) ? ? 2 sin ?
(3) ? ? 6 师: 一下子要大家看出上述极坐标方程表示什么曲线是有点难度,但如果能 把它们转化成我们熟悉的曲线方程,那我们就能很容易知道它们代表什么曲线。 那怎样将它们转化成我们熟悉的曲线方程? 生众:可以转化为直角坐标方程。 师:很好。在上一节课已经学习了怎么把极坐标转化为直角坐标,请大家回 忆一下它们的互化公式。 生4:直角坐标化为极坐标 ? 2 ? x 2 ? y 2 , tan ? ? 生5:极坐标化为直角坐标 x ? ? cos?
y ( x ? 0) x

,

y ? ? sin ?

(教师一边讲解一边板书演示) ?? ? 解: (1) Q ? ? 2 cos?? ? ? ? 2 cos? ? 2 sin ? 4? ? 两边同乘以 ? ,得 ? 2 ? 2?cos? ? 2? sin ? 由 ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ? cos?
2 2

,

y ? ? sin ? 可得 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y

? 2? ? 2? ? ? ? 即? ?x ? 2 ? ?? y ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2? ? 所以,该曲线为圆心为 ? ? 2 , 2 ? ,半径为1的圆(注意这是在直角坐 ? ?

标系的) 师:如果在极坐标系中,又应该怎么表示?

(学生动手计算,教师巡视) ? ?? 生众:圆心为 ?1, ? ,半径为1的圆 ? 4? 【设计意图】 一方面是对上一节课的极坐标方程与直角坐标方程的互化的巩 固学习,另一方面可以让我们很好的认识圆的极坐标方程与直角坐标方程的形 式,探讨它们之间的关系。 师:对。那大家完成其它两道题。 (学生做题,教师巡视,挑选部分学生作品进行展示并讲解) 师:接下来,请大家完成下列练习。 练习1:求以极坐标中点(1,1)为圆心,半径为1的圆的极坐标方程。

?? ? 练习2:将曲线的极坐标方程 ? ? 2 cos? , ? cos?? ? ? ? 1 化为直角坐标方 6? ?
程。 (学生做题,教师巡视,挑选部分学生作品进行展示并讲解) 【设计意图】 测试学生对于已经学习的知识的掌握情况,有利于及时反馈学 生的学习情况,从而纠正学生的错误,加深学生对知识点的理解与掌握。 4、课堂小结与布置作业 三、教学反思 圆的极坐标方程是高中选修 4-4 的的一个比较重要的知识点, 在平时的测试 或者高考中也时常会出现(主要是选做题部分),因此,这部分我们要掌握好在 极坐标系中建立简单曲线(过极点或圆心在极点的圆)的方程,初步掌握求曲线 的极坐标方程的方法和步骤, 即求曲线的极坐标方程的一般步骤,能够熟练地进 行圆的极坐标方程与直角坐标方程的转化。通过教学,使学生体会类比的思想、 进一步认识数形结合的数学思想。从本节课的教学过程中,我看到了很多学生对 于主要的知识点掌握还是比较好的,解题思路也比较清晰,但是,他们往往错在 一些细节上,例如对于方程式的化简或者计算容易出错,计算能力还有待提高, 缺少一些必要的文字叙述,解题格式不规范等。所以,在接下来的教学过程中, 除了主要知识的学习,要不断提高学生的计算能力,规范他们的解题过程。


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