2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(25)

加试模拟训练题（25） （附详细答案） 1．四边形 ABCD 内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD， △ABC 的内心依次记为 IA，IB，IC，ID.试证： IAIBICID 是矩形. IB D IA C IC ID A B 2. 设 x, y, z 都是正数,并且 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,求证: xy yz zx ? 3 ? ? z x y 3. 正五边形的每个顶点对应一个整数使得这五个整数的和为正．若其中三个相连顶点相应 的整数依次为 x、y、z，而中间的 y＜0，则要进行如下的操作：整数 x、y、z 分别换为 x＋ y、－y、z＋y．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是 否这样的操作进行有限次后必定终止？ 4、试证：当 2 ? n ? 11 时，不存在 n 个连续自然数，使得它们的平方和是完全平方数. 加试模拟训练题（25） 1．四边形 ABCD 内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC 的内心依次记为 IA， IB，IC，ID.试证：IAIBICID 是矩形. 分析：连接 AIC，AID，BIC，BID 和 DIB.易得 D 1 1 ∠AICB=90°+ ∠ADB=90°+ 2 2 IB IA ∠ACB=∠AIDB ? A，B，ID，IC 四点 C 共圆. 同理，A，D，IB，IC 四点共圆.此时 IC ID 1 ∠AICID=180°-∠ABID =180°- ∠ABC， 2 A B 1 ∠AICIB=180°-∠ADIB=180°- ∠ADC， 2 1 1 ∴∠AICID+∠AICIB=360°- (∠ABC+∠ADC)=360°- ×180°=270°. 2 2 故∠IBICID=90°. 同样可证 IAIBICID 其它三个内角皆为 90°.该四边形必为矩形. 2. 设 x, y, z 都是正数,并且 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,求证: xy yz zx ? 3 (根据前苏联第 22 届数学竞赛试题改编) ? ? z x y 分析与证明: 以 3 ? 3( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 代入原不等式可得齐次不等式: xy yz zx ? ? ? 3( x 2 ? y 2 ? z 2 ) . z x y ? xy yz zx ? x2 y2 y2 z2 z2 x2 ? ? 2 ? 2 ? 2( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? ? ? 因为 ? 2 ? z ? x y? z x y ? 2 ? x2 y2 y2 z2 z2 x2 而 2? ? z2 ? x2 ? y2 ? ? x2 y2 z2 x2 +? ? z2 ? y2 ? ? ? x2 y2 y2 z2 ? ? =? ? 2 ? x2 ? ? z ? ? y2 z2 z2 x2 ? ? +? ? 2 ? y2 ? ? x ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? 2( x ? y ? z ) . ? 从而原不等式得证. 3. 正五边形的每个顶点对应一个整数使得这五个整数的和为正．若其中三个相连顶点相应 的整数依次为 x、y、z，而中间的 y＜0，则要进行如下的操作：整数 x、y、z 分别换为 x＋ y、－y、z＋y．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是 否这样的操作进行有限次后必定终止？第二十七届(1986 年)国际数学奥林匹克题 【解】为方便计，把五个数写成一列：v、w、x、y、z，并注意 v 与 z 是相邻