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2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值模拟演练理


2018 版高考数学一轮总复习 第 2 章 函数、导数及其应用 2.2 函数 的单调性与最值模拟演练 理
[A 级 基础达标](时间:40 分钟) 1.[2017·北京模拟]下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e 答案 B 解析 因为对数函数 y=ln x 的定义域不是 R,故首先排除选项 C;因为指数函数 y=e
-x -x

)

B.y=x

3

C.y=ln x

D.y=|x|

?1?x ,即 y=? ? ,在定义域内单调递减,故排除选项 A;对于函数 y=|x|,当 x∈(-∞,0) ?e?
3

时,函数变为 y=-x,在其定义域内单调递减,因此排除选项 D;而函数 y=x 在定义域 R 上为增函数,故选 B. 2.[2016·江西模拟]若 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数,则实数
2

a 的取值范围是(
A.a<-3 C.a>-3 答案 B

) B.a≤-3 D.a≥-3

解析 对称轴 x=1-a≥4,∴a≤-3. 3.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( 答案 A 解析 [1,2]. 4.[2017·郑州质检]函数 f(x)= x +x-6的单调增区间是( A.(-∞,-3) C.[0,2) 答案 B 解析 ∵x +x-6≥0, ∴x≥2 或 x≤-3, 又∵y= x +x-6是由 y= t, t∈[0, +∞) 和 t=x +x-6,x∈(-∞,-3]∪[2,+∞)两个函数复合而成,而函数 t=x +x-6 在[2, +∞)上是增函数,y= t在[0,+∞)上是增函数,又因为 y= x +x-6的定义域为(-∞, -3]∪[2,+∞),所以 y= x +x-6的单调增区间是[2,+∞),故选 B. 5. f(x)是定义在(0, +∞)上的单调增函数, 满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1, 当 f(x) +f(x-8)≤2 时,x 的取值范围是( 答案 B 解析 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由 f(x)+f(x-8)≤2,可得 f[x(x-8)]≤f(9), ) A.(8,+∞) B.(8,9] C.[8,9] D.(0,8)
2 2 2 2 2 2 2

)

A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞)
2

? ?x -2x,x≥2, 由于 f(x) = |x - 2|x = ? 2 ?-x +2x,x<2. ?

结合图象可知函数的单调减区间是

)

B.[2,+∞) D.[-3,2]

1

x>0, ? ? 因为 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有?x-8>0, ? ?x?x-8?≤9,
6.函数 f(x)= 答案 6 解析 易知 f(x)在[a,b]上为减函数,

解得 8<x≤9.

1 1 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 a+b=________. x-1 3

f?a?=1, ? ? ∴? 1 f?b?= , ? 3 ?

1 ? ?a-1=1, 即? 1 1 = , ? ?b-1 3

∴?

?a=2, ? ? ?b=4.

∴a+b=6.

7 .[2017·山西模拟 ] 若函数 f(x) = |2x + a| 的单调递增区间是 [3 ,+∞),则 a = ________. 答案 -6 解析 由图象的对称性,知函数 f(x)=|2x+a|关于直线 x=- 对称,因为函数 f(x)= 2 |2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),所以- =3,即 a=-6. 2 8.[2017·湖南模拟]函数 y= x-x(x≥0)的最大值为________. 答案 1 4

a

a

1 ? 1?2 1 2 解析 令 t= x,则 t≥0,所以 y=t-t =-?t- ? + ,结合图象知,当 t= ,即 x 2 2 ? ? 4 1 1 = 时,ymax= . 4 4 9.已知 f(x)=

x

x-a

(x≠a).

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 解 (1)证明:任取 x1<x2<-2,

则 f(x1)-f(x2) =

x1 x2 2?x1-x2? - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则

x1 x2 a?x2-x1? f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?
∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,
2

∴a≤1.综上所述知 a 的取值范围是(0,1]. 10.[2017·衡阳联考]已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y), 2 且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解 (1)证明:设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,且 f(0)+f(0)=f(0), ∴f(0)=0,又 f(-3)+f(3)=f(-3+3)=0, ∴f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. [B 级 知能提升](时间:20 分钟) 11.[2017·安徽合肥模拟]若 2 +5 ≤2 +5 ,则有( A.x+y≥0 B.x+y≤0 C.x-y≤0 D.x-y≥0 答案 B 解析 设函数 f(x) =2 - 5 ,易知 f(x) 为增函数,又 f( - y) = 2 - 5 ,由已知得
x
-x -y

x

y

-y

-x

)

y

f(x)≤f(-y),
∴x≤-y,∴x+y≤0. 12.[2017·山东泰安模拟]已知函数 f(x)=

a ,x>1, ? ? ?? a? ?4- ?x+2,x≤1 ? ?? 2?
答案 B

x

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围是(

)

A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)

解析

? a ? 4- >0, 由 f(x)在 R 上单调递增,则有? 2 a ? ????4-2???+2≤a,
a>1,
3

解得 4≤a<8.

13.已知函数 f(x)=

3-ax (a≠1). a-1

(1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________. 3? ? 答案 (1)?-∞, ?

?

a?

(2)(-∞,0)∪(1,3]

3? 3 ? 解析 (1)当 a>0 且 a≠1 时, 由 3-ax≥0 得 x≤ , 即此时函数 f(x)的定义域是?-∞, ?.

a

?

a?

(2)当 a-1>0, 即 a>1 时, 要使 f(x)在(0,1]上是减函数, 则需 3-a×1≥0, 此时 1<a≤3. 当 a-1<0,即 a<1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时 a<0. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 14.已知函数 f(x)=a- 1 . |x|

(1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 (1)证明:当 x∈(0,+∞)时, 1

f(x)=a- , x
设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2-x1>0,

? 1 ? ? 1 ? 1 1 x2-x1>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. f(x2)-f(x1)=?a- ?-?a- ?= - = ? x2? ? x1? x1 x2 x1x2
1 (2)由题意,a- <2x 在(1,+∞)上恒成立,

x

1 设 h(x)=2x+ ,

x

则 a<h(x)在(1,+∞)上恒成立. 任取 x1,x2∈(1,+∞)且 x1<x2,

h(x1)-h(x2)=(x1-x2)?2- ?. ? x1x2?
∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1, ∴2- 1

?

1 ?

x1x2

>0,∴h(x1)<h(x2),

∴h(x)在(1,+∞)上单调递增. 故 a≤h(1),即 a≤3, ∴a 的取值范围是(-∞,3].

4



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