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2013大学物理竞赛辅导(力学)


竞赛内容

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1

质点运动学 1、描述质点运动的基本量:
1)位置矢量
2 2

? ? ? ? r ? xi + yj + zk
2

r? x +y +z
2)位移 3)速度

? ? ? ? ?

dr ? v i + v j + v k v? x y z dt
? ? ? ? ? dv a? ? ax i + a y j + az k dt ? 2 2 2 a ? ax + a y + az
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? ? ? ? ?r ? ?xi + ?yj + ?zk

x y z cos ? ? , cos ? ? , cos ? ? r r r

? 2 2 2 v ? v ? vx + v y + vz

4)加速度

2

在自然坐标系的表述:

? ? (1) 位置 P点起轨迹的弧长S ——弧坐标 r ? r (s) ? ds ? ? ? 0 ? v? 0 , (2) 速度 v ? dt
? dv ? v 2 ? ? 0 + n0 (3) 加速度 a ? dt ?
a?
矢量性: 叠加性:

? dv ? ? v ? 2 a?2 + a n ? ? ? + ? ? ? dt ? ? ? ?
2 2

2

瞬时性: 相对性:
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? ? ? vAC ? vAB + vBC
? ? ? aAC ? aAB + aBC

? ? ? rAC ? rAB + rBC

二、相对运动

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4

2.质点运动的几种典型形式
1) 匀变速直线运动

v ? v0 + at
2)

? x0 + v0t + 1 at2 x 2 2 v2 ? v0 + 2a(x - x0 )
? x ? v0 cos? ? t ? ? 1 2 ? y ? v0 sin ? ? t - 2 gt ?

抛体运动 运动方程

3) 匀变速圆周运动

w= w 0 + ? t
4) 线量和角量关系

2 w 2?w02 + 2 ? (? - ? 0 )
ds d? v? ?R ? Rw dt dt dv dw a? ? ?R ? R? dt dt 北京石油化工学院

? ? ?0 + w0t + 1 ?t 2

ds ? Rd ?

? ? ? v ?w ?r

v2 an? ? Rw 2 R

5

3、运动学中的两类问题:

dv ? (1)a ( t ) ? dt
0 ? dr ? v (t ) ? dt

2) 已知:a 及初值条件 ? ? 求: v 及 r (t ) ?
t ? ? ? v ? v0 + ?t a (t )dt

? ? 1) 已知:质点的运动学方程 r ? r (t ) 解法:求导 ? ? 以及 轨迹方程 等。 求:v , a ? ? 2? ? dr ? dv ? d r v? a? dt 2 dt ? dt
解法:积分

dv x dvx ? vx ( 2)a ( x ) ? dx dt dvx 分离变量 ( 3)a(v x ) ? dt
6

t ? ? ? r - r0 ? ?t v (t )dt
0

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1.一质点由静止开始作直线运动,初始加速度为a0, 以后加速度均匀增加,每经过τ秒增加a0,求经过 t 秒后质点的速度和运动的距离。 解:据题意知,加速度和时间的关系为:

a ? a0 +

a0

?

t

dv ?a ? ? dv ? adt dt

(直线运动中可用标量代替矢量)

a0 2 v ? ? adt ? ? ( a 0 + t )dt ? a 0 t + t + c1 ? 2? a0 2 ? t ? 0时v ? 0 ? c1 ? 0 v ? a0 t + t 2? 7 北京石油化工学院

a0

dx v? dt

dx ? vdt

a0 2 a0 2 a0 3 ? x ? ? vdt ? ? (a0t + t )dt ? t + t + c2 2? 2 6?

? t ? 0时x ? 0 ? c2 ? 0

a0 2 a0 3 x? t + t 2 6?

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质点(系)动力学

1、牛顿三定律

? ? ? dv d 2r ? F ? ma ? m ?m 2 2、力的瞬时效应 dt dt

适用于低速宏观惯性系

? ? ? 1)质点的角动量(固定点) L ? r ? mv ? ? ? 合外力对固定点的力矩 M ? r ? F

? ? dL 2)质点(系)的角动量定理(固定点) M ? dt
质点(系)角动量守恒定律 ? ? ? ? 若 M ? 0 ,则 L ? r ? mv ? 常矢量

同一问题中的力矩和角动量都是对于惯性系中的 同一固定点。 北京石油化工学院

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质点(系)动力学

3、力的时间积累效应
2 1

? ? t 1)冲量: 动量: P=m v I ? ?t Fdt ? t ? ? ? 2)质点的动量定理 I ? ? Fdt ? mv 2 - mv1
2

平均冲力概念 ? 1 F ? t 2 - t1

t1

?

t2

t1

? ? ? mv2 - mv1 Fdt ? t 2 - t1

质点系的动量定理

?

t2

t1

n n ? ? ? n ? ? ? ? Fi外 ?dt ? ? mi vi 2 - ? mi v i1 i ?1 i ?1 ? i ?1 ?

3)质点系的动量守恒定律(惯性系) n ? ? 则? mi vi ? 常矢量 如? Fi ? 0

如? Fix ? 0
i ?1

i ?1 n

则? mi v i x ? 常量
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i

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(1) 守恒条件是

?
i ?1

n

? Fi ? 0

而不是

?

t2

t1

? (? Fi )dt ? 0

(2) 若


?
i ?1

n

? Fi ? 0 或 ΣF ? ,则系统无论沿那个方向的动量都守恒; 外 F内

?
i ?1

n

? Fi ? 0 ,但若某一方向的合外力零,或该方向 ΣF外? 内 F

则该方向上动量守恒; (3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中; (4)若作用时间极短,而系统又只受重力作用,则可略去重力, 而运用动量守恒。
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4)质心

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几种系统的质心


两质点系统 m1 C

·r

×

m2 r2

1

·
dm

m1 r1 = m2 r2



连续体 z r rc
0

×C
m

? ? ? r dm rC ? m

? xdm xC ?
y

x ▲均匀杆、圆盘、圆环、球,质心为其几何中心。 13 ▲ “小线度”物体的质心和重心是重合的。 北京石油化工学院

……

m

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? ? ? ? dvC dP d F外 ? ? ( mv C ) ? m dt dt dt



? ? F外 ? maC

— 质心运动定理

质心的运动如同一个在质心位置处的质点的 该质点集中了整个质点系的质量和所受 运动, 的外力。 在质点力学中所谓“物体”的运动, 实际上是物体质心的运动。

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系统内力不会影响质心的运动,例如:
▲ 在光滑水平面上滑动

的扳手,其质心做匀 速直线运动
▲ 做跳马落地动作的运

动员尽管在翻转,但 其质心仍做抛物线运动
▲ 爆炸的焰火弹虽然碎片四散,

但其质心仍在做抛物线运动
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二 )动量守恒与质心的运动

若合外力为零,则

质点系动量守恒 ? ? aC ? 0 ? v C ? 常矢量

质点系分动量守恒
则 若合外力分量为0,
如 :? Fix ? 0
i

相应的质心分速度不变

v Cx ? 常量
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质点系动量守恒和质心匀速运动等价!

质点(系)动力学
1)功:
b

? ? A ? ?a F ? dr

4、力的空间积累效应 动能和势能:
2

2)质点的动能定理

?

1

? ? 1 1 2 2 F ? dr ? mv 2 - mv1 2 2

质点组动能定理 A外 + A 内非 ? 内保 + A 3)保守力的功和势能

?

Ek 2 - ? Ek1

?

r2

r1

? ? F保 ? dr ? -?EP
E p弹 ? 1 2 kx 2

若取坐标原点为弹性势能零点,则 c=0
若取坐标原点为重力势能零点,则

E p重=mgy
E p引= - G Mm r
18

若取无穷远处为引力势能零点,则
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质点(系)动力学
4)功能原理

A外 + A ? E2 - E1 内非

5)系统的机械能守恒定律(惯性系) 若

A内非=0 和 A外 ? 0 ,则系统的机械能保持不变。

解题方法:确定对象、分析受力、选取坐标、列解方程 基本思路:先功能,再动量,牛顿定律看情况; 先守恒,后定理,分析受力要紧。

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例3 质量为2kg的质点在力 F=12t i (SI) 的作用下,从静止出发,沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。
解:(一维运动可以用标量)

A=? F ? d r ? ? 12tvdt
t 12 t F v ? v 0 + ? adt ? 0 + ? dt ? ? dt ? 3t 2 0 0 m 0 2 t t

? A ? ? 12t ? 3t dt ? ? 36t dt ? 9t ? 729J
3 2 3 3 4 0 0
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§2-2

非惯性系

惯性力

我们知道牛顿定律只在惯性系中成立,可是,在实际问 题中,有时我们又必须在非惯性系中去观察和处理问题。那 么物理上如何解决这个问题的呢?

通过本节的讨论,我们将会看到,如果引入一个惯性力 的概念,那么我们在非惯性系中将仍可沿用牛顿定律的形式 而使问题得到简化。

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1、惯性力的提出 设有一质量为m的小球,放在一小车光滑的水平面上, 平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度)之外 别无他物,即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向 右对地作加速运动,这时小球将如何运动呢?

? - as
m

? as

(1)地面上的观察者:小球将静止在原地,符合牛顿第一定律; (2)车上的观察者:小球以-as 相对于小车作加速运动;
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注意:此时小车是非惯性系,那么小车上的观察者如何解释 呢? 我们假设车上的人熟知牛顿定律,尤其对加速度一定是由力 引起的印象至深,以致在任何场合下,他都强烈地要求保留这 一认知,于是车上的人说:小球之所以对小车有 -as 的加速度, 是因为受到了一个指向左方的作用力,且力的大小为 - mas;但 他同时又熟知,力是物体与物体之间的相互作用,而小球在水 平方向不受其它物体的作用,
因此,物理上把这个力命名为惯性力。(虚拟) 2、惯性力的特点 1)惯性力是参考系加速运动引起的附加力,本质上是物体惯性 的体现,它不是物体间的相互作用,没有反作用力,但有真实的 效果。
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2)惯性力的大小等于研究对象的质量m与非惯性系的加速度as 的乘积,——而方向与 as 相反,即

?* ? f ? -mas
注意式中 m 是研究对象的质量,即在同一非惯性系中若选 取的研究对象不同,其质量不同,则 f﹡ 不同;
另外 f﹡ 与 as 有关,非惯性系相对于惯性系的加速度的形式 不同,则 f﹡ 也不同。 后面将从三个方面加以说明。
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3、 非惯性系中的运动定律的形式

设有惯性系O和非惯性系O?,O?系以加速度as相对于O系运 动,现在O?系中有一质点,其质量为m,且相对于O?系以相对 加速度 a/ 运动,于是质点m相对惯性系的加速度 a=as+a/ 现 在惯性系O中运用牛顿定律得

? ? ? ? F ? ma ? ma ? + mas ?* ? f ? -mas 因为我们已引入惯性力

,所以上式为

? ?* ? F + f ? ma ?

这就是在非惯性系中运动定律的形式. 即:在非惯性系中运用牛顿定律时,对研究对象除了分析其 受到的真实力以外,还必须加上其受到的惯性力;而等式右边 则只考虑研究对象相对于非惯性系的相对加速度a/。
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例2-6 加速度计—— 小车上系有一物,当小车以 恒加速度运动时,重物与竖直 方向成?角,求小车之加速度。 yT

? as

f﹡

? mg

x

解:以小车为参照系(非 惯性系), 因为a/=0,这时动力学可简化为静力学 重力mg, 张力T, 惯性力f﹡,

重物受3个力: 而处平衡态,故有

T cos? - mg ? 0 (1) * * T sin ? - f ? 0 (2) ( f ? mas ) as ? as ? g ? tg? 联立,得 tg? ? g 北京石油化工学院

26

?匀角速转动的非惯性系中的——惯性离心力

*惯性离心力的引入:
如图所示,在光滑水平圆盘上,用一轻弹簧栓一小球,圆 盘以角速w匀速转动,这时弹簧被拉伸后而静止。

地面观察者:小球受到弹性力,且指向圆心,作圆周运动;

? w

? f弹
o

? r

?* fc

圆盘上观察者:小球受 到弹簧拉力,指向圆心, 但小球仍处于静止状态, 为解释这一现象引入

?* 2? f c ? mw r

此时

? 2? as ? -w r
27

?* 2? fc ? mw r

即称为惯性离心力。
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A

2

通过地球自转周期推出太阳相对地球转动的角速度,再由几何关系得到 杆的影长和时间的关系。

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如图所示,将一条长为r 的系链条静止的放在光滑的水平方 形台面上,链条的一半从台面上下垂,另一半平直放在台 面上。求链条刚滑离台面的速度。
T

解:对链条下垂部分和台面上部分分别出受力 分析,隐含整个链条的速率相同条件 以对链条为研究对象,单位长度 质量为m,建立坐标,列方程. 对台面上的链条 T 对下垂的链条

B

O

A

dv ? m( r - x )a ? m( r - x ) dt

x

GOA

dv ?xg - T ? ?xa ? ? (r - x) dt 初始条件x0=d/2,v0=0

1 v? 3 gr 2

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如图所示,将一条长为r的系链条静止的放在光滑的水平方 形台面上,链条的一半从台面上下垂,另一半平直放在台 面上。求链条刚滑离台面的速度。
T

解:对链条下垂部分和台面上部分分别出 受力分析,隐含整个链条的速率相同条件, 整个过程只有重力做功,机械能守恒,选 全部离开时坐标原点为重力势能零点。

B

O

以对链条为研究对象,单位长度 质量为λ,建立坐标,列方程.
x

A

GOA

r r r 1 - ? g ? - ?rg + ?rv 2 2 4 2 2
1 v? 3 gr 2

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A

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A

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A

变质量问题时,牛顿运动定律写成原始形式

? ? d ( mv ) F? dt

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A

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A

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B

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B

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B

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B

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