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题组层级快练52-直线方程


题组层级快练(五十二)
1.直线 xcos140° +ysin40° +1=0 的倾斜角是( A.40° C.130° 答案 B cos40° 解析 将直线 xcos140° +ysin40° +1=0 化成 xcos40° -ysin40° -1=0,其斜率为 k= =tan50° , sin40° 倾斜角为 50° . 2.如图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则( ) ) B.50° D.140°

A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 答案 D 解析 直线 l1 的倾斜角 α1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角,且 α2>α3,所以 0<k3<k2,因此 k1<k3<k2,故选 D. 1 3.已知直线 l 的倾斜角为 α,且 sinα+cosα= ,则直线 l 的斜率是( 5 4 A.- 3 4 3 C.- 或- 3 4 答案 A 解析 ∵α 为倾斜角,∴0≤α<π. 1 4 3 ∵sinα+cosα= ,∴sinα= ,cosα=- . 5 5 5 4 ∴tanα=- . 3 4.若经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为( A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 答案 B 解析 方法一:直线过 P(1,4),代入,排除 A,D,又在两坐标轴上的截距为正,排除 C,故选 B. x y 1 4 方法二:设方程为 + =1,将(1,4)代入得 + =1. a b a b B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0 ) 3 B.- 4 4 D.± 3 )

1 4 b 4a a+b=(a+b)( + )=5+( + )≥9, a b a b 当且仅当 b=2a,即 a=3,b=6 时,截距之和最小. x y ∴直线方程为 + =1,即 2x+y-6=0. 3 6 5.已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋转 60° 所得的直线的斜率为( A. 3 C.0 答案 A 解析 直线 PQ 的斜率为- 3,则直线 PQ 的倾斜角为 120° ,所求直线的倾斜角为 60° ,tan60° = 3. 6.若直线 l1,l2 关于 x 轴对称,l1 的斜率是- 7,则 l2 的斜率是( A. 7 C. 7 7 B.- 7 7 ) B.- 3 D.1+ 3 )

D.- 7

答案 A 解析 画出图形,根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系,再判断其斜率之间的关系.

如图所示,显然直线 l2 的斜率为 7. 7.(2015· 海淀区)若直线 l 经过点 A(1,2),且在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范 围是( ) 1 B.k>1 或 k< 2 1 D.k> 或 k<-1 2

1 A.-1<k< 5 1 C. <k<1 5 答案 D

2 2 解析 设直线的斜率为 k, 则直线方程为 y-2=k(x-1), 直线在 x 轴上的截距为 1- , 令-3<1- <3, k k 解不等式可得.也可以利用数形结合. x y x y 8.两直线 - =1 与 - =1 的图像可能是图中的哪一个( m n n m )

答案 B 9.若直线 l 左移 3 个单位,再上移 1 个单位时,恰回到原来的位置,则直线的斜率是( 1 A.- 3 1 C. 3 答案 A 解析 设点 P(x0,y0)为 l 上一点,∴左移 3 个单位,上移 1 个单位后变为 P′(x0-3,y0+1),而 P 与 y0+1-y0 1 P′均在 l 上,∴k= =- . 3 x0-3-x0 10.过点 M(1,-2)的直线与 x 轴,y 轴分别交于 P,Q 两点,若 M 恰为线段 PQ 的中点,则直线 PQ 的方程为( ) B.2x-y-4=0 D.x-2y-5=0 B.-3 D.3 )

A.2x+y=0 C.x+2y+3=0 答案 B

解析 设 P(x0,0),Q(0,y0),∵M(1,-2)为线段 PQ 中点, x y ∴x0=2,y0=-4,∴直线 PQ 的方程为 + =1.即 2x-y-4=0. 2 -4 11.如果 AC<0 且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 C.第三象限 答案 C 解析 由条件知直线在两个轴上的截距为正数易知. 12.过点 M(3,-4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________. 4 答案 y=- x 或 x-y-7=0 3 1 13.已知直线 l 的斜率为 ,且和坐标轴围成面积为 3 的三角形,则直线 l 的方程为________. 6 答案 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0 x y 解析 设所求直线 l 的方程为 + =1. a b 1 b 1 ∵k= ,即 =- ,∴a=-6b. 6 a 6 1 又 S△ABC=3= |a|· |b|,∴|ab|=6. 2 则当 b=1 时,a=-6;当 b=-1 时,a=6. x y x y ∴所求直线方程为 + =1 或 + =1. 6 -1 -6 1 即 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. B.第二象限 D.第四象限 )

14.已知点 M 是直线 l: 3x-y+3=0 与 x 轴的交点,将直线 l 绕点 M 旋转 30° ,求所得到的直线 l′ 的方程. 答案 x+ 3=0 或 x- 3y+ 3=0 解析 在 3x-y+3=0 中,

令 y=0,得 x=- 3, 即 M(- 3,0). ∵直线 l 的斜率 k= 3, ∴其倾斜角 θ=60° . 若直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 30° ,则直线 l′的倾斜角为 60° +30° =90° ,此时斜率不存在,故其 方程为 x=- 3. 若直线 l 绕点 M 顺时针方向旋转 30° ,则直线 l′的倾斜角为 60° -30° =30° ,此时斜率为 tan30° = 故其方程为 y= 3 (x+ 3),即 x- 3y+ 3=0. 3 3 . 3

综上所述,所求直线方程为 x+ 3=0 或 x- 3y+ 3=0. 15.在△ABC 中,已知 A(1,1),AC 边上的高线所在直线方程为 x-2y=0,AB 边上的高线所在直线方 程为 3x+2y-3=0.求 BC 边所在直线方程. 答案 2x+5y+9=0 2 解析 kAC=-2,kAB= . 3 ∴AC:y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0, 2 AB:y-1= (x-1),即 2x-3y+1=0. 3
? ?2x+y-3=0, 由? 得 C(3,-3). ?3x+2y-3=0, ? ?2x-3y+1=0, ? 由? 得 B(-2,-1). ? ?x-2y=0,

∴BC:2x+5y+9=0. 16.过点 P(1,2)作直线 l,与 x 轴,y 轴正半轴分别交于 A,B 两点,求△AOB 面积的最小值及此时直 线 l 的方程. 答案 (S△AOB)min=4,l:2x+y-4=0 解析 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),

k-2 令 y=0,得 x= ,令 x=0,得 y=2-k. k k-2 ∴A,B 两点坐标分别为 A( ,0),B(0,2-k). k ∵A,B 是 l 与 x 轴,y 轴正半轴的交点, k<0, ? ?k-2 ∴? >0, k ? ?2-k>0.

∴k<0.

1 1 k-2 1 4 S△AOB= · |OA|· |OB|= · · (2-k)= (4- -k). 2 2 k 2 k 4 由- >0,-k>0,得 k 1 S△AOB≥ (4+2 2 4 ?- ??-k?)=4. k

当且仅当 k=-2 时取“=”. ∴S△AOB 最小值为 4,方程为 2x+y-4=0.

1.若过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( A.1 C.1 或 3 答案 A m-4 解析 ∵kMN= =1,∴m=1. -2-m B.4 D.1 或 4

)

2. 若直线 l: y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限, 则直线的倾斜角的取值范围是( π π A.[ , ) 6 3 π π C.( , ) 3 2 答案 B 解析 ∵直线 l 恒过定点(0,- 3), 作出两直线的图像,如图所示, π π B.( , ) 6 2 π π D.[ , ] 6 2

)

π π 从图中看出,直线 l 的倾斜角的取值范围应为( , ). 6 2 3.直线 x+a2y-a=0(a>0),当此直线在 x,y 轴上的截距和最小时,a 的值为________.

答案 1 x y 1 1 解析 方程可化为 + =1,因为 a>0,所以截距之和 t=a+ ≥2,当且仅当 a= ,即 a=1 时取等号, a 1 a a a 故 a 的值为 1. 4.过点(2,1)且在 x 轴上截距与在 y 轴上截距之和为 6 的直线方程为________. 答案 x+y-3=0 或 x+2y-4=0 x y 解析 由题意可设直线方程为 + =1. a b a+b=6, ? ? 则?2 1 ? ?a+b=1,

解得 a=b=3,或 a=4,b=2.

5.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 答案 (1)3x+y=0 或 x+y+2=0 (2)a≤-1 解析 (1)当直线过原点时,在 x 轴和 y 轴上的截距为零. ∴a=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不过原点时,由截距存在且均不为 0, ∴ a-2 =a-2,即 a+1=1. a+1

∴a=0,方程即为 x+y+2=0. 因此直线 l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,
?-?a+1?≥0, ? ∴? ∴a≤-1. ?a-2≤0. ?

综上可知 a 的取值范围是 a≤-1.


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