tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题


设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围. 解析:解法 1:令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对函数 g(x)求导数: g′(x)=ln(x+1)+1-a, 令 g′(x)=0,解得 x=ea-1-1. (1)当 a≤1 时,对所有 x>0,g′(x)>0, 所以 g(x)在[0,+∞)上是增函

数. 又 g(0)=0,所以对 x≥0,有 g(x)≥g(0), 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 f(x)≥ax. (2)当 a>1 时,对于 0<x<ea-1-1,g′(x)<0, 所以 g(x)在(0,ea-1-1)是减函数. 又 g(0)=0,所以对 0<x<ea-1-1,有 g(x)<g(0),即 f(x)<ax. 所以当 a>1 时,不是对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立. 综上 a 的取值范围是(-∞,1]. 解法 2:令 g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax, 于是不等式 f(x)≥ax 成立即为 g(x)≥g(0)成立. 对 g(x)求导数得 g′(x)=ln(x+1)+1-a, 令 g′(x)=0,解得 x=ea-1-1, 当 x>ea-1-1 时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 当-1<x<ea-1-1 时,g′(x)<0,g(x)为减函数. 要对所有 x≥0 都有 g(x)≥g(0)充要条件为 ea-1-1≤0. 由此得 a≤1,即 a 的取值范围是(-∞,1]. 1. e ? 1 ?
x

x x 2 x3 ? ? ? 1! 2! 3!

?

xn x n?1 ? x ? e , n! (n ? 1)!

其中 (0 ? ? ? 1) ; 2. ln(1 ? x) ? x ?

x 2 x3 ? ? 2! 3!
n

? (?1)n ?1

xn ? Rn , n!

其中 Rn ? (?1)

x n?1 1 n?1 ( ) ; (n ? 1)! 1 ? ? x ? (?1)k ?1 x 2 k ?1 ? Rn (2k ? 1)!

3. sin x ? x ?

x3 x5 ? ? 3! 5!
k

x 2 k ?1 cos ? x ; 其中 Rn ? (?1) (2k ? 1)!
4. cos x ? 1 ?

x2 x4 ? ? 2! 4!
k

? (?1)k ?1

x 2 k ?2 ? Rn (2k ? 2)!

其中 Rn ? (?1)

x2k cos ? x ; (2k )!

已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x ln x k ? , 求 k 的取值范围. x ?1 x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; ( Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? (Ⅰ)略解得 a ? 1 , b ? 1 . (Ⅱ)方法一:分类讨论、假设反证法 由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

ln x 1 ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? ,所以 f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? ). x ?1 x x ?1 x 1 ? x2 x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x . ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x2 x
k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 .因为 h(1) ? 0 , x2

(i)当 k ? 0 时,由 h '( x) ?

1 ? h( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,可得 1 ? x2 1 ln x k ln x k ? h( x) ? 0 ,从而当 x ? 0 且 x ? 1 时, f ( x) ? ( ? ) ? 0 ,即 f ( x ) ? ? ; 2 1? x x ?1 x x ?1 x 1 ) 时, (k ? 1)(x2 ? 1) ? 2x ? 0,故 h '( x) ? 0 ,而 ( ii)当 0 ? k ? 1 时,由于当 x ? (1, 1? k 1 1 ) 时, h( x) ? 0 ,可得 ? h( x) ? 0 ,与题设矛盾. h(1) ? 0 ,故当 x ? (1, 1? k 1 ? x2
所以当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 ( iii ) 当 k ? 1 时 ,

h '( x) ? 0 , 而 h(1) ? 0 , 故 当 x ? (1,? ? )时 , h( x ) ? 0, 可 得

1 ? h( x ) ? 0,与题设矛盾.综上可得, k 的取值范围为 (??, 0] . 1 ? x2 ln x k ln x 1 ln x k ? ,即 ? ? ? , x ?1 x x ? 1 x x ?1 x x ln x 1 x ln x 2 x ln x 2 x ln x ? ? ? ? 1,记 g ( x) ? ? 1 , x ? 0 ,且 x ? 1 也即 k ? 2 x ?1 x x ?1 1 ? x 1 ? x2
当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 则 g '( x) ?

2( x2 ? 1)ln x ? 2(1 ? x2 ) 2( x 2 ? 1) 1 ? x2 = (ln x ? ), (1 ? x 2 )2 (1 ? x2 )2 x2 ? 1

记 h( x) ? ln x ?

1 ? x2 1 ?4 x (1 ? x 2 )2 ,则 h '( x) ? + = ? 0, x2 ? 1 x (1+x 2 )2 x(1+x 2 )2

从而 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 且 h1 因此当 x ? (0,1) 时,h( x) ? 0 , 当 x ? (1, ??) ( ) 0 ? , 时,h( x) ? 0 ; 当 x ? (0 ,1 ) 时,g '( x) ? 0 , 当 x ? (1, ??) 时,g '( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 (0,1)

上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. 由洛必达法则有

lim g ( x) ? lim(
x ?1 x ?1

2 x ln x 2 x ln x 2 ln x ? 2 ? 1) ? 1 ? lim ? 1 ? lim ?0, 2 2 x ?1 1 ? x x ?1 1? x ?2 x

即当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,即当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 因为 k ? g ( x) 恒成立, 所以 k ? 0 .综上所述, 当x ? 0, 且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x k ? 成立, x ?1 x

k 的取值范围为 (??, 0] .

设函数 f ( x) ? ex ?1 ? x ? ax2 . (Ⅰ)若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 应用洛必达法则和导数
x 2 (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,即 e ? 1 ? x ? ax .

x 2 ①当 x ? 0 时, a ? R ;②当 x ? 0 时, e ? 1 ? x ? ax 等价于 a ?

ex ?1 ? x . x2

记 g ( x) ?

ex ?1 ? x ( x ? 2)e x ? x ? 2 g '( x ) ? ,则 . x ? (0 , + ? ) x2 x3
x x 时, x ? (0, +?) , 则 h ' ( x )? (x? 1) , + ? ) e? , 1 当 x?( 0

记 h( x) ? ( x ? 2)e ? x ? 2

+?) 上单调递增,且 h '( x) ? h '(0) ? 0 , h '( x) ? ( x ? 1)ex ? 1在 (0, h ' ' (x ) ? xx e ? ,所以 0
所以 h( x) ? ( x ? 2)e ? x ? 2 在 (0, 且 h( x) ? h(0) ? 0 , 因此当 x ? (0, +?) 上单调递增, +?)
x

时, g '( x) ?

ex ?1 ? x h( x ) ? 0 g ( x ) ? ,从而 在 (0, +?) 上单调递增. x3 x2

由洛必达法则有,

ex ?1 ? x ex ?1 ex 1 lim g ( x) ? lim ? lim ? lim ? x ?0 x ?0 x ?0 2 x x ?0 2 x2 2
即当 x ? 0 时, g ( x ) ?

1 1 1 ,所以当 x ? (0, +?) 时,所以 g ( x ) ? ,因此 a ? . 2 2 2

综上所述,当 a ?

1 且 x ? 0 时, f ( x) ? 0 成立. 2

若不等式 sin x ? x ? ax 对于 x ? (0,
3

?
2

) 恒成立,求 a 的取值范围.

应用洛必达法则和导数 当 x ? (0,

?
2

) 时,原不等式等价于 a ?

x ? sin x . x3

记 f ( x) ?

x ? sin x 3sin x ? x cos x ? 2 x ,则 f '( x) ? . 3 x x4

记 g ( x) ? 3sin x ? x cos x ? 2 x ,则 g '( x) ? 2cos x ? x sin x ? 2 . 因为 g ''( x) ? x cos x ? sin x ? cos x( x ? tan x) ,

? g '''( x) ? ? x sin x ? 0 ,所以 g ''( x) 在 (0, ) 上单调递减,且 g ''( x) ? 0 , 2
所以 g '( x ) 在 (0,

?

) 上单调递减,且 g '( x) ? 0 .因此 g ( x) 在 (0, ) 上单调递减, 2 2 g ( x) x ? sin x ? ? 0 ,因此 f ( x) ? 在 (0, ) 上单调递减. 4 3 x x 2

?

且 g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ? 由洛必达法则有

lim f ( x) ? lim
x ?0 x ?0

x ? sin x 1 ? cos x sin x cos x 1 ? lim ? lim ? lim ? , 3 2 x ? 0 x ? 0 x ? 0 x 3x 6x 6 6 1 1 ,即有 f ( x ) ? . 6 6

即当 x ? 0 时, g ( x ) ?

故a ?

1 ? 3 时,不等式 sin x ? x ? ax 对于 x ? (0, ) 恒成立. 6 2

通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: ① 可以分离变量; ②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性; ② 现“

0 ”型式子. 0

2010 海南宁夏文(21) 已知函数 f ( x) ? x(e x ?1) ? ax2 . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? ?1 时有极值,求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)略 (Ⅱ)应用洛必达法则和导数 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,即 x(e x ? 1) ? ax 2 . ①当 x ? 0 时, a ? R ;
x ②当 x ? 0 时, x(e x ? 1) ? ax 2 等价于 e ? 1 ? ax ,也即 a ?

ex ?1 . x

记 g ( x) ?

ex ?1 ( x ? 1)e x ? 1 , x ? (0, ??) ,则 g '( x) ? . x x

x ? (0, ??) , 记 h( x) ? ( x ?1)ex ? 1 , 则 h('x )

? x e

x

因此 h( x) ? ( x ?1)ex ? 1 在 (0, ??) 0? ,

上单调递增,且 h( x) ? h(0) ? 0 ,所以 g '( x) ? 单调递增. 由洛必达法则有

ex ?1 h( x ) ? 0 ,从而 g ( x) ? 在 (0, ??) 上 x x

lim g ( x) ? lim
x ?0

ex ?1 ex ? lim ? 1 , x ?0 x ?0 1 x

即当 x ? 0 时, g ( x) ? 1 所以 g ( x) ? 1 ,即有 a ? 1 . 综上所述,当 a ? 1 , x ? 0 时, f ( x) ? 0 成立.

2010 全国大纲理(22) 设函数 f ( x) ? 1 ? e . (Ⅰ)证明:当 x ? ?1 时, f ( x ) ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ( x) ? 解: (Ⅰ)略
?x

x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

(Ⅱ)应用洛必达法则和导数 由题设 x ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 .

1 x x ? 0 , f ( x) ? ,则 不成立; a ax ? 1 ax ? 1 x x ?x ②当 a ? 0 时,当 x ? 0 时, f ( x) ? ,即 1 ? e ? ; ax ? 1 ax ? 1 若 x ? 0 ,则 a ? R ;
①当 a ? 0 时,若 x ? ? 若 x ? 0 ,则 1 ? e
?x

1 ? e? x 1 xe x ? e x ? 1 x ? ? 等价于 ,即 a ? . ax ? 1 x ax ? 1 xe x ? x

记 g ( x) ?

e2 x ? x 2e x ? 2e x ? 1 ex xe x ? e x ? 1 ,则 g '( x ) ? = (e x ? x 2 ? 2 ? e ? x ) . x 2 x 2 xe x ? x ( xe ? x) ( xe ? x)

记 h( x) ? ex ? x2 ? 2 ? e? x ,则 h '( x) ? e x ? 2 x ? e? x , h ''( x) ? ex +e? x ? 2 ? 0 . 因此, h '( x) ? e x ? 2 x ? e? x 在 (0, ? ?) 上单调递增,且 h '(0) ? 0 ,所以 h '( x) ? 0 , 即 h( x) 在 (0, ? ?) 上单调递增,且 h(0) ? 0 ,所以 h( x) ? 0 .

因此 g '( x)=

ex h( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递增. ( xe x ? x)2

由洛必达法则有

lim g ( x) ? lim
x?0 x?0

xe x ? e x ? 1 xe x e x ? xe x 1 ? lim ? lim ? ,即当 x ? 0 时, x x x x x x?0 e ? xe ? 1 x?0 2e ? xe xe ? x 2

g ( x) ?

1 1 1 1 ,即有 g ( x ) ? ,所以 a ? .综上所述, a 的取值范围是 (??, ] . 2 2 2 2

设函数 f ( x) ?

sin x . 2 ? cos x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 当 2kπ ?

(2 ? cos x) cos x ? sin x(? sin x) 2cos x ? 1 ? . 2 (2 ? cos x) (2 ? cos x) 2

2π 2π 1 ? x ? 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 ; 3 3 2 2π 4π 1 ? x ? 2kπ ? 当 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 . 3 3 2

因此 f ( x ) 在每一个区间 ? 2kπ ?

? ?

2π 2π ? , 2kπ ? ? ( k ? Z )是增函数, 3 3 ?

2π 4π ? ? f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ ? , 2kπ ? ? ( k ? Z )是减函数. 3 3 ? ?
(Ⅱ)应用洛必达法则和导数

sin x ? ax 2 ? cos x 若 x ? 0 ,则 a ? R ; f ( x) ?
若 x ? 0 ,则

sin x sin x sin x ? ax 等价于 a ? ,即 g ( x) ? 2 ? cos x x(2 ? cos x) x(2 ? cos x)

则 g '( x) ?

2 x cos x ? 2sin x ? sin x cos x ? x . x 2 (2 ? cos x)2

记 h( x) ? 2 x cos x ? 2sin x ? sin x cos x ? x ,

h '( x) ? 2cos x ? 2 x sin x ? 2cos x ? cos 2 x ? 1 ? ?2 x sin x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2 x sin x ? 2sin x(sin x ? x)
因此,当 x ? (0, ? ) 时,h '( x) ? 0 ,h( x) 在 (0, ? ) 上单调递减,且 h(0) ? 0 ,故 g '( x ) ?0 , 所以 g ( x) 在 (0, ? ) 上单调递减, 而 lim g ( x) ? lim
x?0 x?0

sin x cos x 1 ? lim ? . x ? 0 x(2 ? cos x) 2+cos x ? x sin x 3 sin x 1 1 1 1 ? ? ? ,因此 a ? . 3 x(2 ? cos x) x ? 3

另一方面,当 x ?[? , ??) 时, g ( x) ?


推荐相关:

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题13.04.02

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题13.04.02_数学_高中教育_教育专区。2013-4-2 10 级数学 申请人:魏鹏飞 4×1000 打印人:L 那么 lim x ?a 导数结合洛必...


导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题_数学_高中教育_教育专区。设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围...


导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第○ 2 步,由不等式恒成立来求参数 的取值范围问题,分析难度大...


导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题第一部分:历届导数高考压轴题 (全国 2 理)设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求 ...


导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题_数学_高中教育_教育专区。数学 导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中...


导数结合洛必达法则巧解高考压轴题1

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第○ 2 步,由不等式恒成立来求参数的取值 范围问题,分析难度大...


郑进新导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题数学组 郑进新 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第○ 2 步,由不等式恒成立来求参数的取值范围 ...


导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第○ 2 步,由不等式恒成立来求参数的 取值范围问题,分析难度大...


洛必达法则巧解高考压轴题13.04.02

2013-4-2 印人:L 10 级数学 申请人:魏鹏飞 4×1000 打 g'(x)≠0; (3) lim 导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010 年和 2011 年高考中的全国新...


洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 王霖普求证:不等式 e ? x ? 1 恒成立. x 对于 x ??0, ??? ,不等式 e ? ax ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com