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椭圆与双曲线必背经典结论


椭圆与双曲线必背经典结论)

1. 2.

双曲线
1. 2.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) a 2 b2



x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) a 2 b2

点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角.

PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点 的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射 影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3. 4. 5.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 (内右外左) 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 上 , 则 过 P 0 的双曲 线的切 线 方程是
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

3. 4. 5.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若P 0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 上 , 则 过 P 0 的椭圆的切线方程是
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

6.

若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、 P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

6.

若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

7.

双曲线的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,点 P 为双曲线上任意一点

7.

椭圆的左右焦点分别为 F1 ,F 2,点 P 为椭圆上任意一点

?F1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 co t
8. 双曲线的焦半径公式: F1 (?c,0) , F2 (c,0) 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a . 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 9.

?
2

.

?F1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 tan
8. 椭圆的焦半径公式:

?
2

.

| MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0)
9.

M ( x0 , y0 ) ).

设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长 轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线 于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长 轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆 准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、 Q, A1、 A2 为双曲 线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N, 则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、 Q, A1、 A2 为椭 圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于 点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦, M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点, 则 kOM ? k AB ? ?

K OM ? K AB ?

b 2 x0 b2 ,即 。 K ? ? AB a2 a 2 y0

b 2 x0 b 2 x0 ,即 。 K ? AB a 2 y0 a 2 y0

12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是
x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b

12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是
x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b

13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是
x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是
x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

椭圆与双曲线的对偶性质-(会推导的经典结论)
第 1 页


1.



11. 设 P 点 是 椭 圆 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1 、 F2 为 其 焦 点 记

椭圆的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) , 与 y 轴平行的直线 交椭圆于 P1 、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是
x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |?

? 2b2 .(2) S?PF1F2 ? b 2 tan . 2 1 ? cos ?

12. 设 A、B 是椭圆的长轴两端点, P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? ,
?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有.

2.

过椭圆上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线 交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向 且 kBC

(1) tan ? tan ? ? 1 ? e2 (2) S?PAB ? (3) | PA |?
2a 2 b 2 cot ? b2 ? a 2

b2 x0 ? 2 (常数). a y0
2

2ab2 | cos ? | a 2 ? c 2co s2 ?

3.

若 P 为椭圆上异于长轴端点的任一点 ,F1, F

是焦点 ,

13. 已知椭圆的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与 椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则 相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦 点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径

?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则
4.

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

设椭圆的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆 上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1PF2 ? ? ,

?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有
5.

sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

若椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到 对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

6.

P 为椭圆上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点, 则 2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | , 当且仅当 A, F2 , P

之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别

三点共线时,等号成立. 7. 椭圆
( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公 a2 b2

称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

共点的充要条件是 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 . 8. 已知椭圆,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且
OP ? OQ .

(1)

1 1 1 1 ? ? 2? 2; 2 2 | OP | | OQ | a b 4a 2 b 2 ; a 2 ? b2

(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为 (3) S?OPQ 的最小值是 9.

a 2b 2 . a 2 ? b2

过椭圆的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点, 弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则
| PF | e ? . | MN | 2

10. 已知椭圆

,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直 x 轴 相 交 于 点 P( x0 , 0, ) 则

平 分 线 与

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? ? x0 ? . a a

椭圆与双曲线的对偶性质-(会推导的经典结论)
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双曲线
1. 双曲线的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行 的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹 方程是
x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

| PF | e ? . | MN | 2

10. 已知双曲线 A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线 与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ?
a 2 ? b2 a 2 ? b2 或 x0 ? ? . a a

11. 设 P 点是双曲线上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记

2. 过双曲线上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补 的直线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且

?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |?

? 2b2 .(2) S?PF1F2 ? b 2 cot . 2 1 ? cos ?

12. 设 A 、 B 是双曲线的长轴两端点, P 是双曲线上的一点,
?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦

kBC ? ?

b x0 (常数). a 2 y0

2

3. 若 P 为双曲线右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F
2

距离心率,则有 (1) | PA |?

是 焦 点 ,

?PF1F2 ? ? ,

?PF2 F1 ? ? , 则

c?a ? ? c?a ? ? ? t a n co t(或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

2ab2 | cos ? | . | a 2 ? c 2co s2 ? |

(2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 . (3) S?PAB ?
2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

4. 设双曲线的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点) 为双曲线上任意一点, 在△PF1F2 中, 记 ?F1PF2 ? ? ,

?PF1F2 ? ?
?(

,

?F1F2 P ? ?
s i


n


)



13. 已知双曲线的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过双曲线右焦点 F 的 直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.

s ?i n c ? ? e. ? s? i? n a

5. 若双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L, 则当 1<e≤ 2 ? 1 时, 可在双曲线上求一点 P, 使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内 一 定 点 , 则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | , 当 且 仅 当 等号成 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时, 立. 7. 双曲线与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件 是 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 . 8. 已知双曲线,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动 点,且 OP ? OQ . (1)
1 1 1 1 ? ? 2? 2; 2 2 | OP | | OQ | a b 4a 2b 2 ; b2 ? a2

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆 相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则 该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的 焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点 分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线 段分成定比 e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为 (3) S?OPQ 的最小值是

a 2b 2 . b2 ? a2

9. 过双曲线的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则

第 3 页

抛物线焦点弦性质总结

切点 AB 的 弦必过焦点. 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径.
A(X1,Y1)

A'

3、AB 是抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)焦点弦,Q 是 AB 的中点,l 是抛物线的 准线, AA1 ? l , BB1 ? l ,过 A,B 的切线相交于 P,PQ 与抛物线交于
C' C(X3,Y3)

a O B' F

B(X2,Y2)

点 M.则有 结论 6 PA⊥PB. 结论 7 PF⊥AB. 结论 8 M 平分 PQ. 结论 9 PA 平分∠A1AB,PB 平分∠B1BA. 结论 10 FA ? FB ? PF 结论 11 S ?PAB min ? p2 二)非焦点弦与切线 思考:当弦 AB 不过焦点,切线交于 P 点时, 也有与上述结论类似结果: 结论 12 结论 13 结论 14 结论 15 结论 16 ① xp ?
y ? y2 y1 y2 , yp ? 1 2 2p
2

基础回顾 1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切; p2 2. x1 x 2 ? ; 4 3. y1 y 2 ? ? p2 ; 4. ?AC ' B ? 90 ; 5. ?A ' FB ' ? 90 ; p 2p 6. AB ? x1 ? x2 ? p ? 2( x3 ? ) ? ; 2 sin 2 ? 1 1 2 7. ? ? ; AF BF P 8. A、O、 B ' 三点共线; 9. B、O、 A' 三点共线; P2 10. S AOB ? ; 2sin ? S 2 AOB P ? ( )3 (定值) 11. ; AB 2
P P ; BF ? ; 1 ? cos ? 1 ? cos ? 13. BC ' 垂直平分 B ' F ; 14. AC' 垂直平分 A ' F ; 15. C ' F ? AB ; 16. AB ? 2P ;

PA 平分∠A1AB,同理 PB 平分∠B1BA. ?PFA ? ?PFB 点 M 平分 PQ

FA ? FB ? PF

2

12. AF ?

17. CC ' ? 18. KAB=

1 1 AB ? ( AA ' ? BB ' ) ; 2 2

P ; y3 y 19. tan ? = 2 p ; x2 - 2

20. A'B' ? 4 AF ? BF ; 21. C'F ?
1 A'B' . 2

2

22. 切线方程 y0 y ? m?x0 ? x ? 性质深究 一)焦点弦与切线 1. 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线 的切线,两切线交点位置有 何特殊之处? 结论 1:交点在准线上先猜后证:

? p ? 当弦 AB ? x 轴时, 则点 P 的坐标为 ? ? ,0 ? 在准线. ? 2 ?
证明: 从略 结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时,切线 交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的 弦必过焦点 先猜后证:过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线,则过两
第 4 页


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