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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(21)


加试模拟训练题(21)
1、已知四边形 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,把 ?ABC 绕点 C 旋转某一角度得到

?A?B?C ,证明线段 A?D, BC , B?C 的中点在同一条直线上。

2、若 a、b、c ? R ,且a ? b ? c ? 2 ,求证: a ?

?

1 1 1 ? b? ? c? ?3 3 3 3

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3、 n(n≥4)个盘子里放有总数不少于 4 的糖块, 从任选的两个盘中各取一块放入另一 个盘子中,称为一次操作.问能否经过有限次操作,把所有糖块集中到一个盘子里去?证明 你的结论.

4、 设 n, k 是给定的正整数, n ? 0 且 k (n ? 1) 是偶数。 证明:存在整数 x, y 使得 ( x, n) ? ( y, n) ? 1 ,且 x ? y ? k (mod n) 。

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加试模拟训练题(21)
1、已知四边形 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,把 ?ABC 绕点 C 旋转某一角度得到 (23 届全苏) ?A?B?C ,证明线段 A?D, BC , B?C 的中点在同一条直线上。 证明 将 ?BCB? 平移 DC 得 ?EFG ,则 A?D, BC , B?C 的中点经位似变换 H ? D, 2 ? 变为

????

A?, E , G 。连 EB 交 AD 于 K ,由于 BE ? BK ? BA ,因此有 EA ? AD, EA ? EF ,从而
1 1 1 1 ?180? ? ?EFG ? ? ?EFG ? ?BCB? ? ?ACA? 。因 2 2 2 2 为直角梯形 ADFE 的腰 DF 的中点到两个直角顶点的距离相等,所以 EC ? AC ? A?C , 1 即 E , A, A? 在以 C 为圆心,以 CA 为半径的圆上,从而有 ?ACA? ? ?AEA? ,于是可得 2 ?AEG ? 90? ? ?FEG ? 90? ?

A?, E, G 三点共线。

4、若 a、b、c ? R ,且a ? b ? c ? 2 ,求证: a ?

?

1 1 1 ? b? ? c? ?3 3 3 3

x? y?z 证明: 当x,y,z ? R ?时, ? ? 3

x2 ? y 2 ? z 2 3
2 2 2

? 1? ? 1? ? 1? 1 1 1 ? a? ? ?? b? ? ?? c? ? a? ? b? ? c? 3? ? 3? ? 3? a ? b ? c ?1 3 3 3 ? ? ? ? ?1 3 3 3 ? a? 1 1 1 ? b? ? c? ?3 3 3 3
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证明二: a? 1 1 1 1? 1? 1? ? ? ? ? b ? ? c ? ? ? a ? ? ?1 ? ? b ? ? ?1 ? ? c ? ? ?1 3 3 3 3? 3? 3? ? ? ?

1? 1? 1? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ?? ? ? ? ? a ? ? ? 1 ? ? b ? ? ? 1 ? ? c ? ? ? 1 ? ?? a ? ? 1 ? ? ? b ? ? 1 ? ? ? c ? ? 1 ? ? ? 3 3? 3? 3? 2 ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ?? ? ? ? ? a? 1 1 1 ? b? ? c? ?3 3 3 3

3、 n(n≥4)个盘子里放有总数不少于 4 的糖块,从任选的两个盘中各取一块放入另一 个盘子中,称为一次操作.问能否经过有限次操作,把所有糖块集中到一个盘子里去?证明 你的结论. 【题说】1994 年中国数学奥林匹克(第九届数学冬令营)题 2. 【解】回答是肯定的.设有糖块的盘中的糖块数分别为 a1≥a2≥…≥ak(k≤n). 若 k≥3,可从最后两盘中各取 1 个放入第 1 盘,连续操作 ak 次,则上述各盘糖块数变为 (a1+2ak,a2,….ak-2,ak-1-ak,0) 继续采用这种作法,直至最后只有两盘有糖块,设糖块数为(a,b). (1)如果 b=0,则目的已经达到. (2)如果 b=1,则作如下操作: (a,1,0,0)→(a-1,0,2,0) →(a-2,2,1,0)→(a-3,2,0,2) →(a-1,1,0,1)→(a+1,0,0,0) (3)如果 b≥2,则作如下操作: (a,b,0,0)→(a-1,b-1,2,0) →(a-1,b-2,1,2)→(a-1,b,0,1) →(a+1,b-1,0,0) 重复进行这样的操作,便可使第二盘中糖块数减少为 1,化为(2)中情况,从而可将糖块集 中到第一个盘子中去. 4、 设 n, k 是给定的正整数, n ? 0 且 k (n ? 1) 是偶数。 证明:存在整数 x, y 使得 ( x, n) ? ( y, n) ? 1 ,且 x ? y ? k (mod n) 。 证明:我们先证明,当 n 为素数幂 p 时结论成立。实际上,能够证明,存在 x, y 使
?

p xy 且 x ? y ? k :
若 p ? 2 ,则条件表明 k 为偶数,此时可取 x ? 1, y ? k ? 1 ; 若 p ? 2 ,则 x ? 1, y ? k ? 1 与 x ? 2, y ? k ? 2 中有一对满足要求。 一般情形下,设 n ? p1 1 p2 2 ? pr r , i ? 1,2, ,?, r 是 n 的一个标准分解,上面已经证明,对每
a a a

个 p i 存在整数 xi , yi 使得 p i xi y i 且 xi ? yi ? k (i ? 1,2,?r ) ,而由中国剩余定理,

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同余式 x ? xi (mod pi i )(i ? 1,2,?, r ) 同余式 y ? yi (mod pi i )(i ? 1,2,?, r )
?

?

①有解 x , ②有解 y 。

现不难验证解 x, y 符合问题中的要求:因 p i xi y i ,故 p i xy (i ? 1,2,?r ) , 于是 ( xy, n) ? 1 ,又由①②知 x ? y ? xi ? yi (mod pi i )(i ? 1,2,?, r ) , 故 x ? y ? k (mod n) 。
?

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