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2018全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案


2018 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
时间:120 分钟 满分:150 分 姓名:

一、填空题(本题共 10 小题,每小题 107 分,满分 70 分.要求直接将答案写在横线上.) 1、函数 y ? cos x ? cos 2x( x ? R) 的值域为____.

? b? 2、已知 (a ? bi)2 ? 3 ? 4i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则 a ? 的值为____.
3、圆心在抛物线 x? ? 2 y 上,并且和该抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的方程为_____.

1 ? 4x ? x ,则不等式 f (1 ? x2 ) ? f (5x ? 7) ? 0 的解集为_____. 4、设函数 f ( x) ? x 2
5、已知等差数列 {an } 的前 12 项的和为 60,则 a1 ? a2 ? ?? a 12 的最小值为_____. 6、已知正四面体内切球的半径是 1,则该四面体的体积为_____. 7、在 ?ABC 中, AB ? 5,AC ? 4 ,且 AB ? AC ? 12 , 设 P 是平面 ABC 上的一点,则

PA? (PB ? PC) 的最小值为_____.

8、设 g (n) ? =_____.

? (k , n) ,其中 n ? N
k ?1

n

*

, ( k , n) 表示 k 与 n 的最大公约数,则 g (100) 的值为

9、将 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 ,这 9 个数随即填入 3 ? 3 的方格中,每个小方格恰填写一个数, 且所填的数各不相同,则使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为____.

10、在 1, 2,3, 4, ?,1000 中,能写成 a? ? b? ? 1(a,b ? N) 的形式,且不能被 3 整除的数有 ______个.

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,过点 P(0,1) 的直线

l 与圆 O 交于 A, B 两点,与 x 轴交于点 Q ,设 QA ? ? PA, QB ? ? PB ,求证: ? ? ? 为定
值.

y A P

Q

o
B

x

12、已知 {an } 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列,且 a1 ? t 2 ? a2 ? t 3 ? a3 ? t , (1)求实数 t,d 的值; (2)若正整数满足 m<p<r,am ? 2t ? a p ? 2t ? ar ? 2t ? 0 ,求数组 (m, p , r ) 和相
m p r

应的通项公式 an .

13、如图,在圆内接四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 P , ?ABD 与 ?ABC 的 内 心 分 别 为 I 1 和 I 2 , 直 线 I1 I 2 分 别 与 AC,BD 交 于 点 M , N , 求 证 : PM ? PN .

14、从 1, 2,3,?, 2050 这 2050 个数中任取 2018 个数组成集合 A ,把 A 中的每个数染上红 色或蓝色,求证:总存在一种染色方法,是使得有 600 个红数及 600 个蓝数满足下列两个条 件: ①这 600 个红数的和等于这 600 个蓝数的和; ②这 600 个红数的平方和等于这 600 个蓝数的平方和.

参考答案:
2 2 (1) [0, ] ;(2)5;(3) ( x ? 1) ? ( y ? ) ? 1 ;(4) (2,3) ;(5)60;

9 8

1 2

(6) 8 3 ;(7) ?

65 1 ;(8)520;(9) ;(10) 501 ; 14 8

(11)

8 1 3 1 ;(12)① t ? ? , d ? ;② (m, p, r ) ? (1,3, 4) , an ? (3n ? 11) ; 3 2 8 8



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