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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(72)


加试模拟训练题(72) (附详细答案) 1、在△ABC 中,AB=AC,有一个圆内切于△ABC 的外接圆,且与 AB、AC 分 别相切于 P、Q,求证:线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心。 A P O O Q B C D 图 9-4 2.设 a1,a2,a3,…是一不减的正整数序列,对于 m≥1,定义 bm=min{n|an≥m} (即 bm 是使 an≥m 的 n 最小值) ,若 a19=85,试求 a1+a2+…+a19+b1+b2+…+b85 的最 大值. 3.在有 n 个座位的旋转木马上,小孩依次玩了 n 次.他每骑一次木马后,便沿着顺时针方向 转换到另一个座位上. 每次换位的过程中不超过一圈(即不能转过原先的座位). 换位时移过 座位的个数称为换位长度(例如从第一位换到第四位,换位长度为 3).如果 n-1 次的换位 长度各不相同,问 n 为怎样的数时,才能使小孩在 n 次游戏中,每个座位恰都坐过一次? 4.求满足不等式 a2 ? b2 ? c2 ? 3 ? ab ? 3b ? 2c 的 a, b, c ? Z 。 加试模拟训练题(72) 1、在△ABC 中,AB=AC,有一个圆内切于△ABC 的外接 圆,且与 AB、AC 分别相切于 P、Q,求证:线段 PQ 的中点 O 是△ABC 的内心。 解:设小圆圆心为 O1 ,⊙ O1 与△ABC 的外接圆切于 D, 连 A O1 , 显然 A O1 ⊥PQ, 且△ABC 为等腰三角形, 所以 A O1 过 △ABC 的外接圆,D 在 A O1 的延长线上,从而 O 为△ABC 的顶 角∠BAC 的平分线的点,下面只需证 OB 平分∠ABC。为此, 连接 OB、PD、QD,由对称性易知,OD 平分∠PDQ,而∠APQ= ∠PDQ,PQ∥BC,故∠APQ=∠ABC,∠PDQ=∠ABC,由 P、B、D、 1 1 O 四点共圆得∠PBO=∠PDO= ∠PDQ。所以∠PBO= ∠ABC。 2 2 于是 O 为△ABC 的内心。 B P O O C Q A D 图 9-4 2.设 a1,a2,a3,…是一不减的正整数序列,对于 m≥1,定义 bm=min{n|an≥m} (即 bm 是使 an≥m 的 n 最小值) ,若 a19=85,试求 a1+a2+…+a19+b1+b2+…+b85 的最 大值. 【题说】第十四届(1985 年)美国数学奥林匹克题 5.本命题的一般 情况容易入手. 【解】我们证明一般命题:若 aq=p,则 a1+a2+…+aq+b1+…+bp=p(q+1) (1) 如果 a1=a2=…=aq=p,则 b1=b2=…=bp=1,易得(1)式. 若有 ai<p(1≤i<q) ,令 t 为使 at<p 的最大下标,且令 at=u,若 at 增加 1, 则 bj (j≠u+1) 保持不变, 而 bu+1 减少 1. 所以 (1 ) 左边总和不变. 经 过不断调整,最后可得常数序列.由此可导出所求证的结果. 因此,当 q=19,p=85 时,a1+…+a19+b1+…+b85=85×(19+1)=1700. 3.在有 n 个座位的旋转木马上,小孩依次玩了 n 次.他每骑一次木马后,便沿着顺时针方向 转换到另一个座位上. 每次换位的过程中不超过一圈(即不能转过原先的座位). 换位时移过 座位的个数称为换位长度(例如从第一位换到第四位,换位长度为 3).如果 n-1 次的换位 长度各不相同,问 n 为怎样的数时,才能使小孩在 n 次游戏中,每个座位恰都坐过

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