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江苏省无锡市2016届高考数学一模试卷(解析版)


2016 年江苏省无锡市高考数学一模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知集合 A={﹣1,0,1},B={0,a,2},若 A∩B={﹣1,0},则 a= 2.若复数 z= (i 为虚数单位),则 z 的模为 . . .

3.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是

r />
4.随机抽取 100 名年龄在[10,20),[20,30),…[50,60)年龄段的市民进行问卷调查,由此得 到样本的频率分布直方图如图所示,从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 8 人, 则在[50,60)年龄段抽取的人数为 .

5.将函数 f(x)=2sin2x 的图象上每一点向右平移 = .

个单位,得函数 y=g(x)的图象,则 g(x)

6.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机抽取两个数,则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率 为 . ,且 0°<α<90°,则 cos2α 的值为 .

7.已知 sin(α﹣45°)=﹣

8.在圆锥 VO 中,O 为底面圆心,半径 OA⊥OB,且 OA=VO=1,则 O 到平面 VAB 的距离为

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9.设△ ABC 是等腰三角形,∠ABC=90°,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率 为 .

10.对于数列{an},定义数列{bn}满足:bn=an+1﹣an(n∈N*),且 bn+1﹣bn=1(n∈N*),a3=1,a4= ﹣1,则 a1= 11.已知平面向量 为 . , . 满足|β|=1,且 与 ﹣ 的夹角为 120°,则 的模的取值范围

12.过曲线 y=x﹣ (x>0)上一点 P(x0,y0)处的切线分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B,O 是坐标 原点,若△ OAB 的面积为 ,则 x0= .

13.已知圆 C:(x﹣2)2+y2=4,线段 EF 在直线 l:y=x+1 上运动,点 P 为线段 EF 上任意一点,若 圆 C 上存在两点 A,B,使得 14.已知函数 f(x)= 值范围是 . ? ≤0,则线段 EF 长度的最大值是 .

,若对于?t∈R,f(t)≤kt 恒成立,则实数 k 的取

二、解答题:本大题共 6 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 =(sinB﹣sinC,sinC﹣sinA), =(sinB+sinC,sinA),且 ⊥ . (1)求角 B 的大小; (2)若 = ?cosA,△ ABC 的外接圆的半径为 1,求△ ABC 的面积. 16.如图,平面 PAC⊥平面 ABC,AC⊥BC,PE∥CB,M 是 AE 的中点. (1)若 N 是 PA 的中点,求证:平面 CMN⊥平面 PAC; (2)若 MN∥平面 ABC,求证:N 是 PA 的中点.

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17.在一个直角边长为 10m 的等腰直角三角形 ABC 的草地上,铺设一个也是等腰直角三角形 PQR 的花地,要求 P,Q,R 三点分别在△ ABC 的三条边上,且要使△ PQR 的面积最小,现有两种设计 方案: 方案﹣:直角顶点 Q 在斜边 AB 上,R,P 分别在直角边 AC,BC 上; 方案二:直角顶点 Q 在直角边 BC 上,R,P 分别在直角边 AC,斜边 AB 上.请问应选用哪一种方 案?并说明理由.

18.已知椭圆 M:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,一个焦点到相应的准线的距离为 3,圆 N

的方程为(x﹣c)2+y2=a2+c2(c 为半焦距),直线 l:y=kx+m(k>0)与椭圆 M 和圆 N 均只有一 个公共点,分别为 A,B. (1)求椭圆方程和直线方程; (2)试在圆 N 上求一点 P,使 19.已知函数 f(x)=lnx+ =2 .

(a>0).

(1)当 a=2 时,求出函数 f(x)的单调区间; (2)若不等式 f(x)≥a 对于 x>0 的一切值恒成立,求实数 a 的取值范围. 20.已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣an=q(bn+1﹣bn),n∈N* (1)若 bn=2n﹣3,a1=1,q=2,求数列{an}的通项公式; (2)若 a1=1,b1=2,且数列{bn}为公比不为 1 的等比数列,求 q 的值,使数列{an}也是等比数列;

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(3)若 a1=q,bn=qn(n∈N*),且 q∈(﹣1,0),数列{an}有最大值 M 与最小值 m,求 的取值范 围.

附加题[选修 4-2:矩阵与交换] 21.已知矩阵 A= 直线 l 的方程. ,B= ,若矩阵 AB﹣1 对应的变换把直线 l 变为直线 l′:x+y﹣2=0,求

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,若直线 l 的极坐标 方程为 ρsin(θ﹣ )=3 .

(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (2)已知 P 为曲线 ,(θ 为参数)上一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值.

必做题.第 23、24 题,每小题 0 分,共 20 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 击中目标的次数记为 ξ. (1)求 ξ 的分布列及数学期望; (2)在概率 P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若 P(ξ=1)的值最大,求实数 a 的取值范围. 24.如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=1,D1D=2,点 P 为棱 CC1 的中点. (1)设二面角 A﹣A1B﹣P 的大小为 θ,求 sinθ 的值; (2)设 M 为线段 A1B 上得一点,求 的取值范围. (0<a<1),三人各射击一次,

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2016 年江苏省无锡市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知集合 A={﹣1,0,1},B={0,a,2},若 A∩B={﹣1,0},则 a= ﹣1 . 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】直接利用交集的运算求解 x 的值. 【解答】解:A={﹣1,0,1},B={0,a,2},A∩B={﹣1,0}, ∴a=﹣1, 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查了交集及其运算,是基础的概念题.

2.若复数 z=

(i 为虚数单位),则 z 的模为



【考点】复数求模;复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;规律型;转化思想;数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数的模运算法则化简求解即可. 【解答】解:复数 z= (i 为虚数单位),

则|z|=

=

=

=

=



故答案为:



【点评】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.

3.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是 5 .

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【考点】程序框图. 【专题】计算题. 【分析】由图知,每次进入循环体后,S 的值被施加的运算是乘以 2 加上 1,故由此运算规律进行计 算,经过次运算后输出的结果是 63,故应填 5 【解答】解:由图知运算规则是对 S=2S+1,故 第一次进入循环体后 S=2×1+1=3, 第二次进入循环体后 S=2×3+1=7, 第三次进入循环体后 S=2×7+1=15, 第四次进入循环体后 S=2×15+1=31, 第五次进入循环体后 S=2×31+1=63, 由于 A 的初值为 1,每进入一次循环体其值增大 1,第五次进入循环体后 A=5 故判断框中 M 的值应为 5,这样就可保证循环体只能被运行五次 故答案为 5. 【点评】本题考查循环结构,已知运算规则与最后运算结果,求运算次数的一个题.是算法中一种 常见的题型.

4.随机抽取 100 名年龄在[10,20),[20,30),…[50,60)年龄段的市民进行问卷调查,由此得 到样本的频率分布直方图如图所示,从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 8 人, 则在[50,60)年龄段抽取的人数为 2 .

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【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】根据频率分布直方图,求出样本中不小于 40 岁的人的频率与频数,再求用分层抽样方法抽 取的人数. 【解答】解:根据频率分布直方图,得; 样本中不小于 40 岁的人的频率是 0.015×10+0.005×10=0.2, ∴不小于 40 岁的人的频数是 100×0.2=20; 从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 8 人, 在[50,60)年龄段抽取的人数为 8× 故答案为:2. 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了分层抽样方法的应用问题,是基础题. =8× =2.

5.将函数 f(x)=2sin2x 的图象上每一点向右平移 2sin(2x﹣ ) .

个单位,得函数 y=g(x)的图象,则 g(x)=

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 【解答】解:将函数 f(x)=2sin2x 的图象上每一点向右平移 ﹣ )=2sin(2x﹣ )的图象, ). 个单位,得函数 y=g(x)=2sin2(x

故答案为:2sin(2x﹣

【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
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6.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机抽取两个数,则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为 . 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计. 【分析】从 1,2,3,4 这四个数中一次随机抽取两个数,先求出基本事件总数,再求出取出的数中 一个是奇数一个包含的基本事件个数,由此能求出取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率. 【解答】解:从 1,2,3,4 这四个数中一次随机抽取两个数, 基本事件总数 n= =6, =4, .

取出的数中一个是奇数一个包含的基本事件个数 m= ∴取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率 p= = 故答案为: .

【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合 理运用.

7.已知 sin(α﹣45°)=﹣

,且 0°<α<90°,则 cos2α 的值为



【考点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】由 0°<α<90°,则﹣45°<α﹣45°<45°,求得 cos(α﹣45°),再由 α=(α﹣45°)+45°,求 出余弦,再由二倍角的余弦公式,代入数据,即可得到. 【解答】解:由于 sin(α﹣45°)=﹣ 则﹣45°<α﹣45°<45°, 则有 cos(α﹣45°)= = , ,且 0°<α<90°,

则有 cosα=cos(α﹣45°+45°)=cos(α﹣45°)cos45°﹣sin(α﹣45°)sin45° = 则 cos2α=2cos2α﹣1=2× = , ﹣1= ,
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故答案为:



【点评】本题考查三角函数的求值,考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式,考查角的变换的 方法,考查运算能力,属于中档题.

8.在圆锥 VO 中,O 为底面圆心,半径 OA⊥OB,且 OA=VO=1,则 O 到平面 VAB 的距离为

【考点】点、线、面间的距离计算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;立体几何. 【分析】以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OV 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能 求出 O 到平面 VAB 的距离. 【解答】解:以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OV 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则由题意:O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),V(0,0,1), =(﹣1,0,0), =(﹣1,0,1), =(﹣1,1,0),

设平面 VAB 的法向量 =(x,y,z), 则 ,取 x=1,得 =(1,1,1),

则 O 到平面 VAB 的距离 d=

=

=



故答案为:



【点评】本题考查点到平面的距离的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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9. B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为 1+ ∠ABC=90°, 设△ ABC 是等腰三角形, 则以 A, 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程.



【分析】设|AB|=2c,以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系,可求 得该双曲线的实轴长 2a=|CA|﹣|CB|的值,从而可求得其离心率. 【解答】解:设|AB|=2c,以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系, ∵△ABC 为等腰直角三角形, ∴|CA|= ?(2c)=2 c,|CB|=2c,

∴由双曲线的定义可得, 该双曲线的实轴长 2a=|CA|﹣|CB|=(2 ∴双曲线的离心率 e= 故答案为:1+ . = ﹣2)c, = = +1.

【点评】本题考查双曲线的简单性质,建立适当的坐标系,得到实轴长与焦距是关键,考查分析问 题解决问题的能力,属于中档题.

10.对于数列{an},定义数列{bn}满足:bn=an+1﹣an(n∈N*),且 bn+1﹣bn=1(n∈N*),a3=1,a4= ﹣1,则 a1= 8 . 【考点】数列递推式. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出 bn,进而得出 b2,b1,a1. 【解答】解:∵bn=an+1﹣an(n∈N*),a3=1,a4=﹣1,则 b3=a4﹣a3=﹣2. ∵bn+1﹣bn=1,∴数列{bn}是等差数列,公差为 1. ∴bn=b3+(n﹣3)×1=n﹣5. ∴b2=a3﹣a2=1﹣a2=﹣3,解得 a2=4. ∴b1=a2﹣a1=4﹣a1=﹣4,解得 a1=8. 故答案为:8. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系,考查了观察推理能力与计算能力,属于中档 题.
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11.已知平面向量 ] .



满足|β|=1,且





的夹角为 120°,则

的模的取值范围为 (0,

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】设 围即可. 【解答】解:设 则由 = ﹣ = , 与 = 如图所示: ﹣ 的夹角为 120° = , = ,得到∠ABC=60°由正弦定理得:| |= sinC≤ ,从而求出其范

,又∵

∴∠ABC=60° 又由| |=| |=1 = , ] ]. 得:

由正弦定理 | ∴| |= sinC≤ |∈(0,

故答案为:(0,

【点评】本题主考查了向量的加法运算的三角形法则,考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质, 综合性较大.

12.过曲线 y=x﹣ (x>0)上一点 P(x0,y0)处的切线分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B,O 是坐标 原点,若△ OAB 的面积为 ,则 x0= .

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】方程思想;分析法;导数的概念及应用;直线与圆.

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【分析】求得切点坐标,把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率,由切点坐标和斜率写出切线 的方程,分别令 x=0 和 y=0,求出三角形的底与高,由三角形的面积公式,解方程可得切点的横坐 标. 【解答】解:由题意可得 y0=x0﹣ ∵y′=1+ , ,x0>0,

∴切线的斜率为 1+



则切线的方程为 y﹣x0+ 令 x=0 得 y=﹣ ;

=(1+

)(x﹣x0),

令 y=0 得 x=



∴△OAB 的面积 S= ? 解得 x0= 故答案为:

?

= ,

(负的舍去). .

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及三角形面积的计算,同时考查了 运算求解的能力,属于基础题.

13.已知圆 C:(x﹣2)2+y2=4,线段 EF 在直线 l:y=x+1 上运动,点 P 为线段 EF 上任意一点,若 圆 C 上存在两点 A,B,使得 ? ≤0,则线段 EF 长度的最大值是 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】不妨设圆的切线为 PM,PN,则由 结合题意点 E、F 到点 C 的距离等于 2 ? ≤0,得∠APB≥90°,故∠MPN≥90°,求得 PC≤2 ,

.再利用勾股定理求得 EF 的最大值. = >2(半径),故直线 l 和圆

【解答】解:由题意,圆心到直线 l:y=x+1 的距离为 相离.

从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,∠APB 才是最大的角,
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不妨设切线为 PM,PN,则由 ∴sin∠MPC= ≥sin45°=

?

≤0,得∠APB≥90°,∴∠MPN≥90°. . . = ,

,∴PC≤2

故在直线 l 上,当 EF 最大时,点 E、F 到点 C 的距离等于 2 故 EF 的长度的最大值为 2 故答案为: . =2

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,直线和圆的位置关系,勾股定理的应用,属于中 档题.

14.已知函数 f(x)=

,若对于?t∈R,f(t)≤kt 恒成立,则实数 k 的取

值范围是 [ ,1] . 【考点】函数恒成立问题;分段函数的应用. 【专题】数形结合;转化法;函数的性质及应用. 【分析】由 x<1 时函数的单调性,画出函数 f(x)的图象,作出直线 y=kx,设直线与 y=lnx(x≥1) 图象相切于点(m,lnm),求出切点和斜率,设直线与 y=x(x﹣1)2(x≤0)图象相切于点(0,0), 得切线斜率 k=1,由图象观察得出 k 的取值范围. 【解答】解:当 x<1 时,f(x)=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x(x﹣1)2|= 当 x<0,f′(x)=(x﹣1)(3x﹣1)>0, ∴f(x)是增函数; 当 0≤x<1,f′(x)=﹣(x﹣1)(3x﹣1),
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∴f(x)在区间(0, )上是减函数, 在( ,1)上是增函数; 画出函数 y=f(x)在 R 上的图象,如图所示; 作出直线 y=kx,设直线与 y=lnx(x≥1)图象相切于点(m,lnm), 则由(lnx)′= ,得 k= , 即 lnm=km,解得 m=e,k= ; 设直线与 y=x(x﹣1)2(x≤0)的图象相切于点(0,0), ∴y′=[x(x﹣1)2]′=(x﹣1)(3x﹣1),则有 k=1, 由图象可得,当直线绕着原点旋转时,转到与 y=lnx(x≥1)图象相切, 以及与 y=x(x﹣1)2(x≤0)图象相切时,直线恒在上方,即 f(t)≤kt 恒成立, ∴k 的取值范围是[ ,1]. 故答案为:[ ,1].

【点评】本题考查不等式恒成立以及分段函数的应用问题,利用导数以及数形结合是解决本题的关 键.综合性较强,有一定的难度.

二、解答题:本大题共 6 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 =(sinB﹣sinC,sinC﹣sinA), =(sinB+sinC,sinA),且 ⊥ . (1)求角 B 的大小; (2)若 = ?cosA,△ ABC 的外接圆的半径为 1,求△ ABC 的面积.
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【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】方程思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】(1)根据 ⊥ ,结合正弦定理和余弦定理求出 B 的值即可,(2)根据正弦定理以及三角 形的面积公式求出即可. 【解答】解:(1)∵ =(sinB﹣sinC,sinC﹣sinA), =(sinB+sinC,sinA),且 ⊥ , ∴(sinB﹣sinC)?(sinB+sinC)+(sinC﹣sinA)?sinA=0, ∴b2=a2+c2﹣ac, ∴2cosB=1, ∴B= ; ,故 C= ,

(2)∵ ⊥ ,∴△ABC 是 RT△ ,而 B=



=

=2R,得: , ?1= .

=

=2,

解得:a=1,b= 故 S△ ABC= ?

【点评】本题考察了向量数量积的运算,考察三角恒等变换,是一道中档题.

16.如图,平面 PAC⊥平面 ABC,AC⊥BC,PE∥CB,M 是 AE 的中点. (1)若 N 是 PA 的中点,求证:平面 CMN⊥平面 PAC; (2)若 MN∥平面 ABC,求证:N 是 PA 的中点.

【考点】直线与平面平行的性质;平面与平面垂直的判定. 【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】(1)由已知得 BC⊥平面 PAC,MN∥PE,从而 MN∥BC,进而 MN⊥平面 PAC,由此能 证明 CMN⊥平面 PAC.
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(2)由 MN∥平面 ABC,PE∥CB,得 MN∥PE,由此能证明 N 是 PA 的中点. 【解答】证明:(1)∵平面 PAC⊥平面 ABC,AC⊥BC, ∴BC⊥平面 PAC, ∵PE∥CB,M 是 AE 的中点,N 是 PA 的中点, ∴MN∥PE,∴MN∥BC, ∴MN⊥平面 PAC, ∵MN?平面 CMN,∴平面 CMN⊥平面 PAC. (2)∵MN∥平面 ABC,PE∥CB, ∴MN∥PE, ∵M 是 AE 的中点,∴N 是 PA 的中点.

【点评】本题考查面面垂直的证明,考查点是线段中点的证明,是中档题,解题时要认真审题,注 意空间思维能力的培养.

17.在一个直角边长为 10m 的等腰直角三角形 ABC 的草地上,铺设一个也是等腰直角三角形 PQR 的花地,要求 P,Q,R 三点分别在△ ABC 的三条边上,且要使△ PQR 的面积最小,现有两种设计 方案: 方案﹣:直角顶点 Q 在斜边 AB 上,R,P 分别在直角边 AC,BC 上; 方案二:直角顶点 Q 在直角边 BC 上,R,P 分别在直角边 AC,斜边 AB 上.请问应选用哪一种方 案?并说明理由.

【考点】解三角形的实际应用.
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【专题】计算题;方程思想;综合法;解三角形. 【分析】分别求出两种方案,面积的最小值,即可得出结论. 【解答】解:方案﹣:直角顶点 Q 在斜边 AB 上,R,P 分别在直角边 AC,BC 上,则 P,Q,R,C 四点共圆,且 AB 与圆相切时△ PQR 的面积最小,最小面积为 = ;

R, P 分别在直角边 AC, ∠ORC=α, 方案二: 直角顶点 Q 在直角边 BC 上, 斜边 AB 上, 设 QP=QR=l, ∴2lsinα+lcosα=10, ∴l= ∴最小面积为 ∵ >10, = =10, ≥ ,

∴应选用方案二. 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

18.已知椭圆 M:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,一个焦点到相应的准线的距离为 3,圆 N

的方程为(x﹣c)2+y2=a2+c2(c 为半焦距),直线 l:y=kx+m(k>0)与椭圆 M 和圆 N 均只有一 个公共点,分别为 A,B. (1)求椭圆方程和直线方程; (2)试在圆 N 上求一点 P,使 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)先根据题意通过离心率和焦点到准线的距离联立方程求得 a 和 c,则 b 可得,进而求 得椭圆的方程.利用直线 l:y=kx+m(k>0)与椭圆 M 和圆 N 均只有一个公共点,可得直线方程; (2)由(1),可得 A(﹣1,1.5),B(0,2),利用 可得 P 的坐标. =2 ,求出 P 的轨迹方程,与圆 N 联立, =2 .

【解答】解:(1)由题意有

,解得 a=2,c=1,

从而 b=


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∴椭圆的标准方程为

+

=1;

圆 N 的方程为(x﹣1)2+y2=5,圆心到直线的距离 d=

=



直线 l:y=kx+m 代入

+

=1,整理可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,

∴△=0,可得 m2=3+4k2,② 由①②,k>0,可得 m=2,k= , ∴直线方程为 y= ;

(2)由(1),可得 A(﹣1,1.5),B(0,2), 设 P(x,y),则 x2+(y﹣2)2=8(x+1)2+8(y﹣1.5)2,∴7x2+7y2+16x﹣20y+22=0 与(x﹣1)2+y2=5 联立,可得 x=﹣1,y=1 或 x=﹣ ∴P(﹣1,1)或(﹣ ,y= ). ,y= ,

【点评】本题主要考查了直线与椭圆方程.考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题.

19.已知函数 f(x)=lnx+

(a>0).

(1)当 a=2 时,求出函数 f(x)的单调区间; (2)若不等式 f(x)≥a 对于 x>0 的一切值恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】(1)对函数求导,令导函数为 0,得导函数的根,做表,通过导函数的正负确定原函数的 增减. (2)将所要证明的式子变形,建立一个函数,求导后再建立一个新的函数,再求导.需要用到两次 求导.再来通过最值确定正负号,再来确实原函数的单调性. 【解答】解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), a=2 时,f(x)=lnx+

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f′(x)= ﹣

=

令 f′(x)=0,得 x=e ①当 0<x<e 时,f′(x)<0,则 f(x)在区间(0,e)上是单调递减的 ②当 e<x 时,f′(x)>0,则 f(x)在区间(e,+∞)上是单调递增的 ∴f(x)的递减区间是(0,e),单增区间是(e,+∞). (2)原式等价于 xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0 在(0,+∞)上恒成立. 令 g(x)=xlnx+a+e﹣2﹣ax. ∵g′(x)=lnx+1﹣a 令 g′(x)=0,得 x=ea﹣1 ①0<x<ea﹣1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减 ②ea﹣1<x 时,g′(x)>0,g(x)单调递增 ∴g(x)的最小值为 g(ea﹣1)=(a﹣1)ea﹣1+a+e﹣2﹣aea﹣1=a+e﹣2﹣ea﹣1. 令 t(x)=x+e﹣2﹣ea﹣1.∵t′(x)=1﹣ea﹣1. 令 t′(x)=0.得 x=1.且 ③0<x<1 时,t′(x)>0,t(x)单调递增 ④1<x 时,t′(x)<0,t(x)单调递减 ∴当 a∈(0,1)时,g(x)的最小值 t(a)>t(0)=e﹣2﹣ = 当 a∈[1,+∞)时,g(x)的最小值为 t(a)=a+e﹣2﹣ea﹣1≥0=t(2). ∴a∈[1,2]. 综上得:a∈(0,2]. 【点评】本题主要考查函数求导来寻找单调区间及机制和最值.尤其是第二问需要对函数求导后再 建立一个新的函数求导,这也是一个常见类型. > 0.

20.已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣an=q(bn+1﹣bn),n∈N* (1)若 bn=2n﹣3,a1=1,q=2,求数列{an}的通项公式; (2)若 a1=1,b1=2,且数列{bn}为公比不为 1 的等比数列,求 q 的值,使数列{an}也是等比数列; (3)若 a1=q,bn=qn(n∈N*),且 q∈(﹣1,0),数列{an}有最大值 M 与最小值 m,求 的取值范 围.
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【考点】数列递推式;等差数列与等比数列的综合. 【专题】综合题;转化思想;定义法;转化法;等差数列与等比数列. 【分析】(1)由 bn=2n﹣3,可得 bn+1﹣bn=2.又 a1=1,q=2,可得 an+1﹣an=4,再利用等差数列的 通项公式即可得出; (2)由于数列{bn}是公比为 k 不为 1 的等比数列,b1=2.可得 bn=2?kn﹣1.利用 an+1﹣an=q(bn+1﹣ bn),a1=1.可得 a2,a3,再利用 =a1a3,即可得出.

(3)由于 a1=q,bn=qn(n∈N*),可得 an+1﹣an=qn+2﹣qn+1.利用“累加求和”可得:an=qn+1+q﹣q2, 利用 q∈(﹣1,0),可得:q3≤qn+1≤q2,再利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:(1)∵bn=2n﹣3,∴bn+1﹣bn=2. 又 a1=1,q=2, ∴an+1﹣an=q(bn+1﹣bn)=2×2=4, ∴数列{an}是等差数列,首项为 1,公差为 4. ∴an=1+4(n﹣1)=4n﹣3. (2)∵数列{bn}是公比为 k 不为 1 的等比数列,b1=2. ∴bn=2?kn﹣1. ∵an+1﹣an=q(bn+1﹣bn),a1=1. ∴a2=1+q(2k﹣2), 同理可得:a3=a2+q(b3﹣b2)=1+q(2k﹣2)+q(2k2﹣2k), ∵ =a1a3,

∴[1+q(2k﹣2)]2=1×[1+q(2k﹣2)+q(2k2﹣2k)],k≠1. 化为 2q=1,解得 q= . (3)∵a1=q,bn=qn(n∈N*), ∴an+1﹣an=q(qn+1﹣qn)=qn+2﹣qn+1. ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =(qn+1﹣qn)+(qn﹣qn﹣1)+…+(q3﹣q2)+q =qn+1+q﹣q2, ∵q∈(﹣1,0), ∴qn+1∈(﹣1,1),q3≤qn+1≤q2, ∴数列{an}有最大值 M=q,最小值 m=q3﹣q2+q.
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∴ =

=

=





【点评】本题考查了数列的通项公式、等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、“累加求 和”、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

附加题[选修 4-2:矩阵与交换] 21.已知矩阵 A= 直线 l 的方程. 【考点】几种特殊的矩阵变换. 【专题】矩阵和变换. 【分析】计算出 AB﹣1 的值,设出变换,计算即可. 【解答】解:∵ ∴ ,∴ , , , ,B= ,若矩阵 AB﹣1 对应的变换把直线 l 变为直线 l′:x+y﹣2=0,求

设直线 l 上任意一点(x,y)在矩阵 AB﹣1 对应的变换下为点(x',y')

∴ 代入 l',



l':(x﹣2y)+(2y)﹣2=0,化简后得:l:x=2. 【点评】本题考查了矩阵的变换,属基础题.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,若直线 l 的极坐标 方程为 ρsin(θ﹣ )=3 .

(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (2)已知 P 为曲线 ,(θ 为参数)上一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值.

【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】转化思想;转化法;坐标系和参数方程.

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【分析】(1)由 ρsin(θ﹣ 可化为直角坐标方程. (2)P 到直线 l 的距离 d= 调性即可得出.

)=3

展开化为:

(ρsinθ﹣ρcosθ)=3

,利用



=

,再利用三角函数的单

【解答】解:(1)由 ρsin(θ﹣ 程:y﹣x=6,即 x﹣y+6=0. P 到直线 l 的距离 d= (2) =﹣1 时,取等号. ∴P 到直线 l 的距离的最大值为

)=3

展开化为:

(ρsinθ﹣ρcosθ)=3

,化为直角坐标方

=



=

, 当 sin (θ+φ)



【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、三角函数的和差公式、点到直线的距离公式、椭圆的参 数方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

必做题.第 23、24 题,每小题 0 分,共 20 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 击中目标的次数记为 ξ. (1)求 ξ 的分布列及数学期望; (2)在概率 P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若 P(ξ=1)的值最大,求实数 a 的取值范围. 【考点】离散型随机变量及其分布列;n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率;离散型随机变量 的期望与方差. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】(1)先求出 ξ 的可能取值,然后分别求出 ξ 取值的概率,从而得到分布列,最后利用数学 期望的公式进行求解即可; (2)要使 P(ξ=1)的值最大,只需 P(ξ=1)﹣P(ξ=0),P(ξ=1)﹣P(ξ=2),P(ξ=1)﹣P(ξ=3) 都大于等于 0,解之即可求出实数 a 的取值范围. 【解答】解:(1)P(ξ)是“ξ 个人命中,3﹣ξ 个人未命中”的概率.其中 ξ 的可能取值为 0,1,2, 3. , ,
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(0<a<1),三人各射击一次,

, . 所以 ξ 的分布列为 ξ P ξ 的数学期望为 (2) , , . 0 1 2 3





和 0<a<1,得

,即 a 的取值范围是



【点评】此题重点在于准确理解好题意,还考查了离散型随机变量的定义及其分布列,利用期望定 义求出离散型随机变量的期望.

24.如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=1,D1D=2,点 P 为棱 CC1 的中点. (1)设二面角 A﹣A1B﹣P 的大小为 θ,求 sinθ 的值; (2)设 M 为线段 A1B 上得一点,求 的取值范围.

【考点】二面角的平面角及求法. 【专题】整体思想;向量法;空间角. 【分析】(1)建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可;
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(2)分别求出 AP 和 AM 的取值范围进行求解即可. 【解答】(1)建立以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴的空间直角坐标系如图: ∵AD=1,D1D=2,点 P 为棱 CC1 的中点, ∴A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,1),D(0,0,0),P(0,1,1),A1(1,0,2), 设平面 A1BP 的法向量为 =(x,y,z),则 则由 ? =﹣y+2z=0, ? =﹣x+z=0,得 =(0,﹣1,2), , =(﹣1,0,1),

令 z=1 则 y=2,x=1,则 =(1,2,1), 同理可得平面 AA1B 的法向量为 =(1,0,0), 则 cos< , >= = ,

则 sinθ= (2) ∵A1B= ∴0≤AM≤ 则 0≤ 即 ≤ , = ,

= =(﹣1,1,1),则 AP=| = ,

. |= = ,

的取值范围是[0,

].

【点评】本题主要考查二面角的求解以及线段长度的范围,建立坐标系利用向量法是解决空间角常 用的方法.

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