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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用课时作业11 理 新人教A版


课时作业 11

函数与方程

一、选择题
?2 -1,x≤1, ? 1.已知函数 f(x)=? ? ?1+log2x,x>1,
x

则函数 f(x)的零点为(

)

A. ,0 C.
1 2
x

1 2

/>
B.-2,0 D.0

解析:当 x≤1 时,由 f(x)=2 -1=0,解得 x=0;当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0, 1 解得 x= ,又因为 x>1,所以此时方程无解.综上函数 f(x)的零点只有 0. 2 答案:D

? 1? ?1? 则方程 f(x)=0 在[- 3 2. 设 f(x)=x +bx+c 是[-1,1]上的增函数, 且 f?- ?·f? ?<0, ? 2? ?2?
1,1]内( ) B.可能有 2 个实数根 D.没有实数根

A.可能有 3 个实数根 C.有唯一的实数根

? 1? ?1? ? 1 1? 解析:由 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f?- ?·f? ?<0,知 f(x)在?- , ?上有唯一 ? 2? ?2? ? 2 2?
零点,所以方程 f(x)=0 在[-1,1]上有唯一实数根. 答案:C 3.函数 f(x)=-|x-5|+2
x-1

的零点所在的区间是( B.(1,2) D.(3,4)

)

A.(0,1) C.(2,3)

解析:依题意得 f(0)·f(1)>0,f(1)·f(2)>0,f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)>0,故 f(x) 的零点所在区间是(2,3),故选 C. 答案:C 4.(2014·湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x.则函 数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3}
2 2

) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3}
2

解析: 当 x<0 时, f(x)=-f(-x)=-[(-x) +3x]=-x -3x, 易求得 g(x)解析式 g(x)
1

?x -4x+3,x≥0, ? =? 2 ?-x -4x+3,x<0, ?

2

当 x -4x+3=0 时,可求得 x1=1,x2=3,当-x -4x+3=0 时

2

2

可求得 x3=-2- 7,x4=-2+ 7(舍去),故 g(x)的零点为 1,3,-2- 7,故选 D. 答案:D 5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=e -ax,若函数在 R 上有 4 个零点,则 a 的取值范围是( A.(e,+∞) C.(0,+∞) ) B.(-∞,e) D.(-∞,0)
x x

解析:当 x=0 时,f(0)=1,当 x≥0 时,f′(x)=e -a,要使函数在 R 上有 4 个零点, 必有 a>0.令 f′(x)=0 得 x=lna,所以当 x∈(0,lna)时,f(x)为减函数,当 x∈(lna,+ ∞)时,f(x)为增函数,只需 f(lna)=e -alna=a-alna<0,即 a>e.所以 a∈(e,+∞). 答案:A 6.(2014·山东卷)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不 相等的实根,则实数 k 的取值范围是( )
lna

? 1? A.?0, ? ? 2?
C.(1,2)

?1 ? B.? ,1? ?2 ?
D.(2,+∞)

解析:画出 f(x)=|x-2|+1 的图象如图所示.

由数形结合知识,可知若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数 g(x)与 f(x)的 图象应有两个不同的交点. 1 ?1 ? 所以函数 g(x)=kx 的图象应介于直线 y= x 和 y=x 之间, 所以 k 的取值范围是? ,1?. 2 ?2 ? 答案:B 二、填空题
?x +2x-3,x≤0, ? 7.函数 f(x)=? ? ?-2+lnx,x>0
2

的零点个数为________.

2

解析:法 1:令 f(x)=0,得? 以函数 f(x)有两个零点.

?x≤0, ? ?x +2x-3=0 ?
2

或?

?x>0, ? ?lnx=2, ?

解得 x=-3 或 x=e ,所

2

法 2:画出函数 f(x)的图象(图略)可得,图象与 x 轴有两个交点,则函数 f(x)有两个零 点. 答案:2 8.已知函数 f(x)= 解析: 1 -m|x|有三个零点,则实数 m 的取值范围为________. x+2

函数 f(x)有三个零点等价于方程 舍去;当 m≠0 时,∵ 1

1 =m|x|有且仅有三个实根.当 m=0 时,不合题意, x+2

x+2 m

1 =m|x|? =|x|(x+2),作函数 y=|x|(x+2)的图象,如图所示,

m

1 由图象可知 m 应满足 0< <1,解得 m>1. 答案:m>1 9.若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[-1,1]时,f(x)=1-x ,函数
2

g(x)=?

? ?lg|x|,x≠0, ?1,x=0, ?

则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为

________. 解析: 如图, 当 x∈[0,5]时, 结合图象知 f(x)与 g(x)的图象共有 5 个交点, 故在区间[- 5,0]上共有 5 个交点;

3

当 x∈(0,10]时,结合图象知共有 9 个交点. 故函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]上共有 14 个零点. 答案:14 三、解答题

x 1 3 2 10.已知函数 f(x)=x -x + + . 2 4

? 1? 证明:存在 x0∈?0, ?,使 f(x0)=x0. ? 2?
证明:令 g(x)=f(x)-x. 1 ?1? 1 ?1? 1 ∵g(0)= ,g? ?=f? ?- =- , 4 ?2? 8 ?2? 2

?1? ? 1? ∴g(0)·g? ?<0,又函数 g(x)在?0, ?上连续, ?2? ? 2? ? 1? ∴存在 x0∈?0, ?,使 g(x0)=0,即 f(x0)=x0. ? 2?
11.是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x +(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上与 x 轴有且只有一个交点.若存在,求出 a 的范围;若不存在,说明理由.
2

? 8?2 8 2 解:∵Δ =(3a-2) -4(a-1)=9?a- ? + >0, ? 9? 9
∴若存在实数 a 满足条件,则只需 f(-1)·f(3)≤0 即可.

f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,
1 所以 a≤- 或 a≥1. 5 检验:①当 f(-1)=0 时,a=1.所以 f(x)=x +x. 令 f(x)=0,即 x +x=0,得 x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠1. 1 ②当 f(3)=0 时,a=- , 5 13 6 2 此时 f(x)=x - x- . 5 5 13 6 2 令 f(x)=0,即 x - x- =0, 5 5 2 解得 x=- 或 x=3. 5 1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠- . 5 1? ? 综上所述,a 的取值范围是?-∞,- ?∪(1,+∞). 5? ?
4
2 2

1.方程 log5x=|sinx|的解的个数为( A.1 C.4

) B.3 D.5

解析:函数 y=log5x 和 y=|sinx|的图象的交点的个数即为方程解的个数,作出这两个 3π ? 3π ? 函数的图象(如图),log5 <1,?sin ?=1,但当 x>2π 时,log5x>1,而|sinx|≤1,故 2 ? 2 ? 两个函数图象有三个交点,即原方程有三个解.

答案:B
?x +2,x∈[0,1?, ? 2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:在[-1,1)上,f(x)=? 2 ?2-x ,x∈[-1,0?, ?
2

且 f(x+2)=f(x),g(x)= ( ) A.-7 C.-8

2x+5 ,则方程 f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为 x+2

B.-6 D.0
2

? ?x +2,x∈[0,1? 解析: ∵f(x)=? 2 ?2-x ,x∈[-1,0? ?

2x+5 1 , 且 f(x+2)=f(x), 又 g(x)= =2+ , x+ 2 x+2

1 ∴g(x-2)-2= .可知当 x≠2k-1,k∈Z 时,函数 f(x),g(x)的图象都关于(-2,2)对称.

x

由图象可得:方程 f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的实根有 3 个,设分别为 x1,x2,x3,则 可取 x1=-3,x2 满足-5<x2<-4,x3 满足 0<x3<1,x2+x3=-4.∴方程 f(x)=g(x)在区间[- 5,1]上的所有实根之和为-7.故选 A.

5

答案:A
? ?|x +5x+4|,x≤0, 3.(2014·天津卷)已知函数 f(x)=? ?2|x-2|,x>0, ?
2

若函数 y=f(x)-a|x|恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范围为________. 解析:分别作出函数 y=f(x)与 y=a|x|的图象,由图知,a<0 时,函数 y=f(x)与 y=

a|x|无交点;a=0 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有三个交点,故 a>0.当 x>0,a≥2 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有一个交点;当 x>0,0<a<2 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有两个交点;当 x<0 时,若 y=-ax 与 y=-x2-5x-4(-4<x<-1)相切,则由 Δ =0 得 a=1 或 a=9(舍).

因此当 x<0,a>1 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有两个交点;当 x<0,a=1 时,函数 y=

f(x)与 y=a|x|有三个交点;当 x<0,0<a<1 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有四个交点,所以当
且仅当 1<a<2 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|恰有 4 个零点. 答案:(1,2) 4.已知二次函数 f(x)的最小值为-4,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|- 1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数 f(x)的解析式;

6

(2)求函数 g(x)=

f?x? -4lnx 的零点个数. x

解:(1)∵f(x)是二次函数,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. ∴f(x)=a(x+1)(x-3)=ax -2ax-3a,且 a>0. ∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x -2x-3. (2)∵g(x)=
2 2

x2-2x-3 3 -4lnx=x- -4lnx-2(x>0), x x x x x

3 4 ?x-1??x-3? ∴g′(x)=1+ 2- = . 2 当 x 变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:

x g′(x) g(x)

(0,1) + ?

1 0 极大值

(1,3) - ?

3 0 极小值

(3,+∞) + ?

当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=-4<0. 又因为 g(x)在(3,+∞)单调递增,因而 g(x)在(3,+∞)上只有 1 个零点,故 g(x)在 (0,+∞)只有 1 个零点.

7


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