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数学专题:一元二次方程根的分布-人教版[整理]


澧县一中高一数学备课组
一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所 涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系 定理(韦达定理)的运用。 函数与方程思想:若 y = f ( x ) 与 x 轴有交点 x0 ? f ( x0 )=0 若 y = f ( x )与 y = g (

x )有交点( x0 , y0 ) ? f ( x ) = g ( x) 有解 x0 。 下面我们将主要结合二次函数图象的性质,分两种情况系统地介绍一元二次方程实 根分布的充要条件及其运用。

一.一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有 一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说, 这两个根分布在零的两侧。
2 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。

? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 【定理 1】 x1 ? 0 , x2 ? 0 (两个正根) ? ? , b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0 ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 推论: x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ?a ? 0 或 ?a ? 0 ? ? ? ? ? f (0) ? c ? 0 ? f (0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?b ? 0 ? ?

上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】 范围。

若一元二次方程 (m ? 1) x ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 有两个正根, m 的取值 求
2

? ?? ? 4(m ? 1) 2 ? 4m(m ? 1) ? 0 ? 分析:依题意有 ?? 2(m ? 1) ? 0 0< m <1。 ? m ?1 ? ? ?m ? m ?1 ? 0 ?

1

? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 ? 【定理 2】 x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ? x ? x ? ? b ? 0 , ? 1 2 a ? c ? ? x1 x 2 ? a ? 0 ?

推论: x1 ? 0 , x2 ? 0

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 或 ?a ? 0 ? ?a ? 0 ? ? ? ? f (0) ? c ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ?b ? 0 ?b ? 0 ? ?

由二次函数图象易知它的正确性。 【例2】 若 一 元 二 次
2





kx ? 3kx ? k ? 3 ? 0 的两根都是负数, 12 求 k 的取值范围。 k ? ? 或 k>3) ( 5 c 【定理 3】 x1 ? 0 ? x2 ? ? 0 a 【例3】 k 在何范围内取值, 一元二次方 2 程 kx ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有一个正根和一个负根? k ?3 分析:依题意有 <0=>0< k <3 k b 1 【定理 4】 ○ x1 ? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且 ? 0 ; a b 2 ○ x1 ? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且 ? 0 。 a

【例4】 若一元二次方程 kx ? (2k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 有一根为零,则另一根是正根 还是负根?
2

分析:由已知 k -3=0,∴ k =3,代入原方程得 3 x +5 x =0,另一根为负。

2

二.一元二次方程的非零分布—— k 分布 2 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。 k 为 常数。则一元二次方程根的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的位置)有以下若干定理。 【定理 1】 k ? x1 ? x2
? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?af (k ) ? 0 ? ? b ?? ?k ? 2a

2

【定理 2】 x1 ? x2 ? k

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 。 ?? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

【定理 3】 x1 ? k ? x2 ? af (k ) ? 0 。

推论 1 x1 ? 0 ? x2 ? ac ? 0 。 推论 2 x1 ? 1 ? x2 ? a(a ? b ? c) ? 0 。 【定理 4】有且仅有 k1 ? x1 (或 x2 ) ? k 2 ? f (k1 ) f (k 2 ) ? 0

?a ? 0 ?a ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 1 1 ? ? ? ? 【定理 5】 k1 ? x1 ? k 2 ? p1 ? x2 ? p2 ? ? f (k 2 ) ? 0 或 ? f (k 2 ) ? 0 ?f (p ) ? 0 ?f (p ) ? 0 1 1 ? ? ? f ( p2 ) ? 0 ? f ( p2 ) ? 0 ? ?
此定理可直接由定理 4 推出,请读者自证。

3

? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? 【定理 6】 k1 ? x1 ? x2 ? k 2 ? ? f (k1 ) ? 0 或 ? f (k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 2 ? ? b b ? ? ?k1 ? ? 2a ? k 2 ?k1 ? ? 2a ? k 2 ? ?

三、例题与练习
【例5】 已知方程 x ? 11x ? m ? 2 ? 0 的两实根都大于 1,求 m 的取值范围。
2

( 12 ? m ? 129 )
4

(2)若一元二次方程 mx2 ? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两个实根都大于-1,求 m 的取值范围。 ( m ? ?2或m ? 5 ? 2 6 ) (3)若一元二次方程 mx2 ? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两实根都小于 2,求 m 的取值范围。 1 ( m ? ? 或m ? 5 ? 2 6 ) 2 2 2 【例6】 已知方程 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 有一根大于 2,另一根比 2 小,求 m 的取 值范围。
2

( ?1 ?

2 2 ) ? m ? ?1 ? 2 2

(2)已知方程 x ? (m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 有一实根在 0 和 1 之间,求 m 的取值范围。 (1 ?m? 2) 2 3 2 (3)已知方程 x ? (m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 的较大实根在 0 和 1 之间,求实数 m 的取值范 1 围。 变式:改为较小实根 (不可能; ? m ? 2 ) 2 2 (4)若方程 x ? (k ? 2) x ? k ? 0 的两实根均在区间( ? 1 、1)内,求 k 的取值范围。

1 ) 2 2 (5)若方程 x ? (k ? 2) x ? 2k ?1 ? 0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 1 2 之间,求 k 的取值范围。 ( ?k? ) 2 3 2 2 ( 6 ) 已 知 关 于 x 的 方 程 (m ?1) x ? 2mx? m ? m ? 6 ? 0 的 两 根 为 ?、? 且 满 足
(?4? 2 3 ? k ? ?

0 ? ? ? 1 ? ? ,求 m 的取值范围。

( ?3? m ? ? 7 或 2 ? m ? 7 ) 【例7】 已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.
2

4

本题重点考查方程的根的分布问题,解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性 质所具有的意义. 技巧与方法:设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加 以限制. 解:(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1, 2)内,画出示意图,得 1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ?m ? R , 5 1 ? ? ?? 1 ∴? ?m?? . ? 6 2 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ? ? ?m ? ? 5 ? 6 ? ? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组 ? ?? ? 0, ?0 ? ? m ? 1 ?
1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? (这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0, 1)内通过) ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ?? 1 ? m ? 0. ?

练习: 1. 若方程 4x ? (m ? 3) ? 2x ? m ? 0 有两个不相同的实根,求 m 的取值范围。 提示:令 2 = t 转化为关于 t 的一元二次方程有两个不同的正实根。答案:0< m <1 2. 若关于 x 的方程 lg( x ? 20x) ? lg(8x ? 6a ? 3) ? 0 有唯一的实根,求实数 a 的 取值范围。
2
x

提示:原方程等价于 ?
2

? x 2 ? 20 x ? 0 ……① ? x ? ?20或x ? 0 ? 即? 2 2 ? x ? 20 x ? 8 x ? 6a ? 3 ? x ? 12 x ? 6a ? 3 ? 0……② ?
11 。 2
y

令 f ( x ) = x +12 x +6 a +3 (1) 若抛物线 y = f ( x ) 与 x 轴相切,有△=144-4(6 a +3)=0 即 a = 将a=

11 代入式②有 x =-6 不满足式①,∴ a 2

11 ≠ 。 2
(2) 若抛物线 y = f ( x ) 与 x 轴相交, 注意到其对 称轴为 x =-6, 故交点的横坐标有且仅有一 个满足式①的充要条件是 -20

-6

O

x

? f (?20) ? 0 163 1 ?a?? 。 解得 ? ? 6 2 ? f (0) ? 0 163 1 ? a ? ? 时原方程有唯一解。 ∴当 ? 6 2
5

另法:原方程等价于 x +20 x =8 x -6 a -3( x <-20 或 x >0)……③ 问题转化 为:求实数 a 的取值范围 ,使直线

2

y =8 x -6 a -3 与抛物线 y = x 2 +20 x ( x <-20 或

y
163 3

x >0)有且只有一个公共点。
虽然两个函数图像都明确, 但在什么条件下它们 有且只有一个公共点却不明显,可将③变形为 -20 -6

O

x

x +12 x +3=-6 a ( x <-20 或 x >0), 再在同一坐标
2 2 系中分别也作出抛物线 y = x +12 x +3 和直线 y =

-6 a ,如图,显然当 3<-6 a ≤163 即 ?

163 1 ? a ? ? 时直线 y =-6 a 与抛物线有且只 6 2

有一个公共点。 3. 已知 f ( x ) =( x - a )( x - b )-2( a < b ),并且 ? , ? 是方程 f ( x ) =0 的两根 ( ? < ? ),则实数 a , b , ? 、 ? 的大小关系是( A、 ? < a < b < ? ) D ) 、 B、 a < ? < ? < b C、 a < ? < b < ?

? < a < ? <b

4. 方程 f ( x ) = ax ? bx ? c =0( a >0)的两个根都大于 1 的充要条件是(
2

A、 △≥0 且 f (1)>0 B、 f (1)>0 且- C、 △≥0 且-

a >2 b

a c >2, >1 b a a D、 △≥0 且 f (1)>0,- >2。 b

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